許雪

(湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430062)

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繞積馬氏鏈函數(shù)加權(quán)和的強(qiáng)收斂性

許雪

(湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430062)

研究繞積馬氏鏈函數(shù)加權(quán)和的極限定理，得到繞積馬氏鏈函數(shù)加權(quán)和強(qiáng)收斂性成立的一系列充分條件.

隨機(jī)環(huán)境;繞積馬氏鏈;加權(quán)和;強(qiáng)收斂性

0　引言

20世紀(jì)80年代初，R.Cogburn等人開(kāi)始研究隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈的一般理論，取得了一系列深刻的結(jié)果[1-3].S.Orey[4]在R.Cogburn等人的研究基礎(chǔ)上對(duì)隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈進(jìn)行了深入的研究，并提出了一系列的問(wèn)題，引起了眾多概率論學(xué)者的廣泛關(guān)注，使得隨機(jī)環(huán)境 中馬氏鏈一般理論的研究成為國(guó)際上又一新的研究方向.國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)這一領(lǐng)域也進(jìn)行了深 入的研究[5-8].大家知道，隨機(jī)變量加權(quán)和的強(qiáng)收斂性的研究一直是經(jīng)典極限理論研究中的熱門課題，取得的 結(jié)果已十分深入.這種研究不僅僅是受到大數(shù)定律研究的推動(dòng)，而且在考慮線性模型最小二乘估計(jì)的相容性時(shí)就要討論隨機(jī)變量加權(quán)和的強(qiáng)收斂性，因此這種研究無(wú)疑是非常重要的.據(jù)筆者所知，對(duì)隨機(jī)環(huán)境情形， 馬氏鏈函數(shù)加權(quán)和強(qiáng)收斂性的研究結(jié)果并不多見(jiàn).本文中研究了繞積馬氏鏈函數(shù)的強(qiáng)極限定理，得到了繞積馬氏鏈函數(shù)加權(quán)和強(qiáng)收斂性成立的一系列充分條件.本文中約定：C總表示正常數(shù)， 且在不同的地方可以表示不同的值.集合A的示性函數(shù)記為IA.

如果對(duì)任意A∈A,n≥0有

(1)

設(shè){Xn,n≥0}是隨機(jī)變量序列，V為一非負(fù)隨機(jī)變量，C>0為常數(shù)， 若對(duì)任意的x>0，n≥0,都有P(|Xn|>x)≤CP(V>x)， 則稱{Xn,n≥0}尾概率一致有界于V，并記為{Xn}

1　引理及主要結(jié)論

引理1設(shè)Y為隨機(jī)變量，且對(duì)任意的x>0，都有P(|Y|>x)≤CP(V>x)，其中V為非負(fù)隨機(jī)變量，C>0為常數(shù)，則對(duì)任意的x>0，q>0有

E|Y|qI{|Y|≤x}≤CxqP(V>x)+CEVqI{V≤x}.

下面我們研究繞積馬氏鏈函數(shù)加權(quán)和的強(qiáng)收斂性.

(i)EN(V)<∞;

則對(duì)任意的k≥1，有

(2)

及

(3)

這里我們約定：對(duì)任意的k≥1,X-k≡0.

(i)EN(V)<∞;

則對(duì)任意的k≥1，有(2)，(3)式成立.

定理3在定理1或定理2的條件下，若

(4)

則對(duì)任意的N≥1，有

其中

定理4在定理3的條件下，若

(5)

則

(6)

2　主要結(jié)論的證明

引理2的證明甚易，故略去.

由于

(7)

(8)

從而

(9)

故

(10)

(11)

由引理2知(Zn,σn,n≥0)是鞅差序列， 再由鞅差序列的正交性及引理1知，對(duì)任意的1≤p≤2,

(12)

而

(13)

上式最后一個(gè)不等式成立基于下列事實(shí)：

(14)

綜合(10)，(11)及(14)式知(2)式對(duì)k=1的情形成立，又由Kronecker引理知(3)式對(duì)k=1的情形也成立.

從而

亦即(2)式對(duì)k>1成立，又由Kronecker引理知式對(duì)k>1也成立.

定理2的證明沿用定理1證明中的記號(hào)，并采用同樣的證明方法，我們只需證

定理3的證明由定理1或定理2可知對(duì)任意的N≥1和k=1,2,…,N，有

注意到

從而有

而

(15)

其中

于是有

(16)

(17)

類似于(11)式的證明有

從而

(18)

由(12)式，完全類似地可以證明

再由H?lder不等式

及

知

(19)

(20)

定理4的證明由于

由定理3，欲證(6)式成立，只需證

(21)

而

從而由(5)式知(21)式成立，繼而(6)式成立.

[1] Cogburn R.The ergodic theory of Markov chains in random environments[J].Z Wahrsch Verw Gebiete， 1993， 66(2)：109-128.

[2] Cogburn R.Markov chains in random environments：the case of Markovian environment[J].Ann Prob， 1980， 8(3)：908-916.

[3] Cogburn R.On the central limit theorem for Markov chains in random environments[J].Ann Prob， 1991， 19(2)：587-604.

[4] Orey S.Markov chains with stochastically stationary transition probabilities[J].Ann Prob， 1999， 19(4)：907-928.

[5] 王漢興，戴永隆.馬氏環(huán)境中馬氏鏈的Poisson極限律[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1997， 40(2)：265-270.

[6] 方大凡.馬氏環(huán)境中馬氏鏈的Shannon-McMillan-Breiman定理[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2000， 16(3)：295-298.

[7] 李應(yīng)求.雙無(wú)限隨機(jī)環(huán)境中Markov鏈的常返性與不變測(cè)度[J].中國(guó)科學(xué)(A輯)，2001， 31(8)：702-707.

[8] 郭明樂(lè).雙無(wú)限隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，2005， 18(1)：174-180.

[9] 萬(wàn)成高.隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)加權(quán)和的極限定理[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2015，35A(1)：163-171應(yīng)用數(shù)學(xué)，2016， 29(1)：31-39.

(責(zé)任編輯趙燕)

Strong convergence for weighted sums of skew product Markov chains

XU Xue

(Faculty of Mathematics and Statistics， Hubei University， Wuhan 430062，China)

We studied the limit theorems for the weighted sums of skew product Markov chains， and obtained some sufficient conditions for the strong convergence of the weighted sums.

random environments; skew product Markov chains; weighted sums; strong convergence

2016-02-17

許雪(1992-)，女，碩士生

1000-2375(2016)05-0390-06

O211.62

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2016.05.002