萬(wàn)成高， 李藝璇， 邢韻

(湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430062)

?

一類(lèi)隨機(jī)變量序列線性形式的強(qiáng)穩(wěn)定性

萬(wàn)成高， 李藝璇， 邢韻

(湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430062)

研究一類(lèi)隨機(jī)變量序列線性形式的強(qiáng)穩(wěn)定性，得到這類(lèi)隨機(jī)變量序列具有線性形式強(qiáng)穩(wěn)定性的充分條件.

隨機(jī)變量序列；線性形式；強(qiáng)穩(wěn)定性

稱(chēng)隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1}是尾概率一致有界的，若存在非負(fù)的隨機(jī)變量X及正常數(shù)C，使對(duì)任意的x及n≥1，都有P(|Xn|>x)≤CP(X>x)成立，此時(shí)記為{Xn}

約定：文中出現(xiàn)的C總表示正常數(shù)，它在不同的地方可以代表不同的值.IA表示集合A的示性函數(shù).記

引理1設(shè)X為隨機(jī)變量，且對(duì)任意的x>0，都有P(|X|>x)≤CP(V>x)，其中V為非負(fù)隨機(jī)變量，C>0為常數(shù)，則對(duì)任意的x>0,q>0，有E|X|qI{|X|≤x}≤CxqP(V>x)+CEVqI{V≤x}.

有

引理2設(shè){an,n≥1}和{bn,n≥1}是任意的兩個(gè)正實(shí)數(shù)列，cn=bn/an,bn↑∞,{Xn,n≥1}為零均值的隨機(jī)變量序列且{Xn}0，定義N(x)=Card{n:cn≤x}，若其滿(mǎn)足：

(i)EN(X)<∞;

引理2的證明因?yàn)?/p>

由Kronecker引理知引理2的結(jié)論成立.

(i)EN(X)<∞;

由于

由引理1有

因此有

(1)

以及

(2)

上面最后一個(gè)不等式成立基于下列事實(shí)：

推論1的證明由定理1及引理2即得.

(i)EN(X)<∞;

定理2的證明只證{Xn,n≥1}?Hp的情形.由于

由引理1有

(3)

(4)

(i)EN(X)<∞;

由于

(i)EN(X)<∞;

由條件(i)，(ii)有

(i)EN(X)<∞;

下文中總是記α(x):→是正的非降函數(shù)，且滿(mǎn)足

(A)bn→∞;

(C)xα(log+x),x>0是非降的.

定理5設(shè){Xn,n≥1}是同分布的的隨機(jī)變量序列，E|X1|α(log+|X1|)<∞，如果{Xn,n≥1}滿(mǎn)足下列兩條件之一：

定理5的證明因?yàn)?<α(x)↓,bn↑∞.由條件(B)，可選取m0≥1,α>0,β<0使得當(dāng)n≥m0時(shí)

αn≤cnα(logcn)≤βn

(5)

于是有

(6)

從而有

(7)

先證(i)，只證{Xn,n≥1}?H2的情形.對(duì)n≥m≥m0,由(5)式有cn≥αn(α(logcn))-1，從而

這里m≥m0.于是當(dāng)m≥m0時(shí)有

O(1)+Cβα-2E|X1|α(log+|X1|)<∞,

再證(ii)，同樣只證{Xn,n≥1}?H1的情形.由于

(8)

取c0=0有

(9)

如果{Xn,n≥1}不是同分布的，我們有下面的結(jié)論.

定理6的證明只證{Xn,n≥1}?Hp的情形，并采用定理5同樣的證明方法，易得

(3) 對(duì)ρ混合、φ混合等序列，當(dāng)ρ(n)、φ(n)等滿(mǎn)足一定條件時(shí)，其混合序列{Xn,n≥1}?Hp，其中1≤p≤2這里不一一列舉.

[1] Jamison B，Orey S，Pruitt W.Convergence of weighted averages of independent random variables[J].Z Wahrsch verw Gebiete，1965(1)：40-44.

[2] Chow Y S， Teicher H.Almost certain summability of independent，identically distributed random variables[J].Ann Math Statist，1971(3)：401-404.

[3] 王岳寶， 嚴(yán)繼高.關(guān)于不同分布兩兩NQD列的Jamison 型加權(quán)乘積和的強(qiáng)穩(wěn)定性[J].數(shù)學(xué)年刊，2001(3)：701-706.

[4] 甘師信.兩兩NQD列的強(qiáng)穩(wěn)定性[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2008(4)：612-618.

[5] 王岳寶， 周斌， 蘇淳.關(guān)于NA列部分和上升的階[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，1998(2)：213-219.

[6] 王瑤， 譚成良，吳群英,等.ρ-混合序列的Hajek-Renyi型不等式及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2011，41(13)：152-158.

(責(zé)任編輯趙燕)

Strong stability of linear forms with a class of random variable series

WAN Chenggao， LI Yixuan， XING Yun

(Faculty of Mathematics and Statistics， Hubei University， Wuhan 430062,China)

We discussed strong stability of linear forms in a class of random variable series and got sufficient conditions for strong stability of linear forms with this class of random variable series.

random variable series;linear forms;strong stability

2016-02-18

國(guó)家自然科學(xué)基金(10571139)資助

萬(wàn)成高(1959-)，男，教授

1000-2375(2016)05-0383-07

O211.4

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2016.05.001