唐　瑞，郭　健，羅　忠，王德友，劉永泉

（1.東北大學機械工程與自動化學院，沈陽110819；2.中航工業(yè)沈陽發(fā)動機設計研究所，沈陽110015）

鼠籠式彈性支承結(jié)構(gòu)參數(shù)分步優(yōu)化設計方法

唐瑞1，郭健1，羅忠1，王德友2，劉永泉2

（1.東北大學機械工程與自動化學院，沈陽110819；2.中航工業(yè)沈陽發(fā)動機設計研究所，沈陽110015）

為進一步提高鼠籠式彈性支承結(jié)構(gòu)支承剛度設計的準確性，同時最大限度地減小鼠籠受到的最大應力，在相關研究的基礎上，基于參數(shù)化建模思想，并結(jié)合有限元優(yōu)化技術(shù)提出分步優(yōu)化設計方法。采用鼠籠式彈性支承的剛度和應力計算公式并結(jié)合加工裝配條件初定1組滿足設計要求的結(jié)構(gòu)參數(shù)值；建立鼠籠式彈性支承的有限元優(yōu)化模型，并將初定的結(jié)構(gòu)參數(shù)值代入到有限元優(yōu)化模型作為優(yōu)化的初始迭代值，同時以鼠籠籠條的長度和厚度為優(yōu)化參數(shù)，經(jīng)過迭代計算得到滿足工程需求的結(jié)構(gòu)參數(shù)。該方法可提高設計精度，節(jié)省設計時間。最后，結(jié)合具體算例驗證了優(yōu)化設計方法的有效性和實用性。

鼠籠式彈性支承；有限元法；優(yōu)化設計；參數(shù)化建模；支承剛度；航空發(fā)動機

0　引言

鼠籠式彈性支承常用于航空發(fā)動機中，以調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速并實現(xiàn)減振［1-2］，但其在工作中易發(fā)生疲勞破壞［3-4］，因此其剛度和強度特性對發(fā)動機性能影響很大。為了能高效地設計出滿足要求的鼠籠式彈性支承，有必要完善其設計方法。

目前，鼠籠式彈性支承的設計有2種思路：1種思路是憑借設計經(jīng)驗，結(jié)合其剛度和應力計算公式，通過試湊的方法尋找滿足設計要求的結(jié)構(gòu)參數(shù)值，這種方法設計效率偏低；另1種思路是根據(jù)其剛度和應力計算公式建立優(yōu)化模型，再結(jié)合遺傳算法等優(yōu)化算法搜索滿足要求的參數(shù)值［3］。這種方法的精確取決于計算公式的精確性，但在籠條剛性較大和籠條根部有圓角的情況下，剛度和應力計算公式的精度會大大下降［5］，因此這種優(yōu)化方法設計精度不夠，適用范圍也不夠廣泛。

隨著計算技術(shù)的發(fā)展，計算效率高的有限元法成為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計的重要方法之一［6-9］，其不但能對不同對象的動態(tài)特性進行優(yōu)化［10-11］，也能對設計對象進行位置布局［12］、拓撲結(jié)構(gòu)［13］和結(jié)構(gòu)尺寸的優(yōu)化［14-15］。因此鼠籠式彈性支承的設計也可以采用基于有限元法的優(yōu)化技術(shù)。但當設計變量較多時，有限元優(yōu)化設計的計算量很大。因此，本文提出1種針對鼠籠式彈性支承的分步優(yōu)化設計方法，第1步通過應力和剛度計算公式初定1組參數(shù)值，第2步建立考慮了籠條根部圓角和兩端圓環(huán)柔性的有限元優(yōu)化模型，然后基于序列2次規(guī)劃算法反復進行迭代計算，從而找到精確滿足設計要求的結(jié)構(gòu)參數(shù)值，最后結(jié)合算例驗證了這種設計方法的有效性和實用性。

1　鼠籠式彈性支承結(jié)構(gòu)分析與參數(shù)計算

航空發(fā)動機中常用的鼠籠式支承屬于懸臂式結(jié)構(gòu)，其一端由安裝邊固定于機匣軸承座上，另一端懸臂，內(nèi)部安裝軸承以支承轉(zhuǎn)子，支承懸臂端機匣內(nèi)一般裝有鋼制圓環(huán)，該圓環(huán)與彈性支承懸臂端之間留有一定間隙，對彈性支承起到減振和限幅作用。由于鼠籠受載時的變形主要發(fā)生在剛性小的籠條部分，鼠籠的剛性可以通過改變籠條的數(shù)目、長度、寬度和厚度進行調(diào)整［1］。為緩解籠條上應力集中，設計鼠籠式彈性支承時要盡可能加大籠條間的轉(zhuǎn)接圓弧的半徑，鼠籠式彈性支承結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1　鼠籠式彈性支承結(jié)構(gòu)

文獻［1］假設鼠籠兩端的環(huán)是剛性的，同時靠近安裝邊一端的籠條和環(huán)固接，既不能發(fā)生線位移也不能轉(zhuǎn)動，另一端的連接環(huán)是自由的，且內(nèi)部裝有軸承，所以在徑向力作用下僅能徑向移動而不能轉(zhuǎn)動。在此假設的基礎上，根據(jù)材料力學方法推導出鼠籠式彈性支承剛度k和應力σ的計算公式

式中：N為鼠籠籠條數(shù)量；E為鼠籠彈性模量；b為籠條寬度；h為籠條厚度；L為籠條長度；u為鼠籠變形量。

由于該方法未考慮各籠條截面主彎曲方向與籠條受力方向不平行的因素，實踐中多次發(fā)現(xiàn)該方法與有限元法分析和試驗結(jié)果不一致，這一誤差在籠條截面是正方形時較小，但在籠條截面是矩形時很大，因此，本文采用考慮了各籠條截面主彎曲方向和籠條的受力方向不平行特點的剛度、應力計算公式［3］

2　鼠籠式彈性支承結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設計

2.1設計要求

為了達到調(diào)整轉(zhuǎn)子-支承系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速以降低整機振動的目的，設計鼠籠式彈性支承時一般會給定1個滿足調(diào)整臨界轉(zhuǎn)速要求的剛度值kdesign，同時，為了提高使用過程中鼠籠式彈性支承的強度，還需要使設計的彈性支承滿足一定的應力限制條件，即彈性支承變形最大時對應σmax≤［σ］，另外，在工程實際中設計鼠籠式彈性支承時往往需要考慮加工工藝性和安裝空間的限制?？傊?，在鼠籠式彈性支承的優(yōu)化設計中，需要在滿足加工工藝性和安裝空間限制的設計可行域內(nèi)，合理配置鼠籠的結(jié)構(gòu)參數(shù)（包括L、b、h、N），使鼠籠式彈性支承同時滿足工程實際中的支承剛度要求和最大應力限制條件。

2.2設計思路

本文提出的鼠籠式彈性支承結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設計思路，是結(jié)合鼠籠式彈性支承的剛度和應力計算公式以及有限元優(yōu)化技術(shù)對其進行分步優(yōu)化設計的。先利用計算公式在加工工藝性限制的設計可行域里初選1組滿足剛度和強度設計要求的結(jié)構(gòu)尺寸；以計算公式初定的尺寸為有限元優(yōu)化的初始迭代值，然后利用有限元優(yōu)化方法優(yōu)化其結(jié)構(gòu)參數(shù)。具體步驟如下：

（1）根據(jù)工程實際需要，對鼠籠式彈性支承給出一定的強度和剛度設計要求，即設計出彈性支承的支承剛度滿足k=kdesign，且籠條變形最大時對應最大應力σmax≤［σ］，并根據(jù)彈性支承安裝處轉(zhuǎn)子軸的直徑選定彈性支承內(nèi)圈所安裝軸承的型號。

（2）根據(jù)選定軸承型號確定彈性支承的內(nèi)徑D，并根據(jù)彈性支承安裝處的空間條件，確定彈性支承懸臂端允許的最大變形量umax，同時選定制作鼠籠式彈性支承的材料，確定彈性支承的彈性模量E和泊松比μ。

（3）根據(jù)結(jié)構(gòu)空間確定結(jié)構(gòu)參數(shù)的設計可行域，并初選籠條寬度b（0）和厚度h（0）。

（4）根據(jù)式（3）、（4），可由初定的寬度b（0）和厚度h（0）以及最大變形量umax算出滿足設計要求的籠條長度L（0）和數(shù)目N（0）。計算公式為

（5）為方便加工裝配，工程設計中常限定籠條寬度的總和不大于周長的一半，即

若初定的結(jié)構(gòu)參數(shù)b（0）、N（0）、h（0）、L（0）不滿足式（7）和設計可行域，則跳回第（3）步，在設計可行域中重新選取籠條寬度b（0）和厚度h（0）；若滿足式（7）和設計可行域，則繼續(xù)。

（6）建立以b、N為常量，L、h為變量的有限元優(yōu)化模型，并賦給其初始值：b=b（0），N=N（0），L=L（0），h=h（0），然后利用鼠籠有限元優(yōu)化模型根據(jù)序列2次規(guī)劃優(yōu)化算法對其進行優(yōu)化，在L和h的取值范圍中選取1組同時滿足剛度和強度要求的設計值L*和h*，如果經(jīng)過多次迭代計算仍無法找到滿足設計要求的L*和h*，則跳回第（3）步，在設計范圍中重新選取b（0）和N（0），然后重復上述優(yōu)化設計過程，直至找到滿足設計要求的L*和h*為止。此步建立的有限元優(yōu)化模型如下：

①優(yōu)化目標：籠條最大應力的絕對值最??；

②設計變量：L、h；

③約束條件如下：

a.通過有限元方法計算得到的鼠籠剛度kFEA等于設計要求值kdesign，此處允許剛度值kFEA相比于設計要求值kdesign有Δk的誤差，即

由于有限元方法不能直接計算出彈性支承剛度RFEA并將其代入優(yōu)化模型中計算，所以對剛度的約束條件需要轉(zhuǎn)化為對鼠籠加載一定力時變形量的約束，同時，為使鼠籠在滿足剛度要求的同時也滿足籠條變形最大時對應最大應力的限制條件，迭代計算前需要對彈性支承加載能讓其支承剛度為kdsign的同時變形也最大的力Fload，即

由此，剛度約束條件可轉(zhuǎn)化為對彈性支承加載力Fload時變形量Δu的限制，即

將式（10）和式（9）聯(lián)立，化簡后可得

b.鼠籠變形最大時對應的籠條最大應力滿足設計限制條件，即

c.設計變量L和h滿足設計經(jīng)驗和結(jié)構(gòu)空間限定的取值范圍，即

至此，具備了上述約束條件、變量范圍以及優(yōu)化目標，即可結(jié)合鼠籠有限元模型對其進行結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化，從而得到滿足設計要求的結(jié)構(gòu)參數(shù)，上述優(yōu)化流程如圖2所示。

3　設計實例

本文選取與文獻［3］中算例相同的設計要求，即給定某型發(fā)動機鼠籠式彈性支承設計要求為：

（1）設計目標：σmax最小。

（2）設計變量：N、b、L、h。

（3）約束條件：支承剛度等于轉(zhuǎn)子動力學設計要求的剛度值kdesign=1.667×104N/mm；根據(jù)結(jié)構(gòu)空間限制取定設計變量可行域為 L∈［20，45］mm，N∈［24，60］，h∈［3，6］mm，b∈［3，6］mm；籠條變形最大時對應的鼠籠最大應力值滿足σmax≤［σ］=200 MPa。

設計時采用本文提出的分步優(yōu)化設計方法，具體步驟如下：

（1）根據(jù)轉(zhuǎn)子軸直徑選定軸承型號為6309，內(nèi)徑d=45 mm，外徑D=100 mm，同時選定彈性支承的材料為40 Cr，其彈性模量E=2.1×105N/mm2，泊松比μ=0.3。

（2）在結(jié)構(gòu)空間限定的設計可行域中初選籠條寬度b（0）=3 mm，籠條厚度h（0）=4 mm。

（3）本算例中結(jié)構(gòu)空間限制的最大變形量umax=0.1177 mm，所以根據(jù)式（3）、（4），可由初定的籠條寬度b（0）和厚度h（0）結(jié)合最大變形量umax計算出滿足強度和剛度要求的籠條長度L（0）=43 mm，籠條數(shù)目N（0）=42。

因初定的參數(shù)值b（0）和h（0）滿足加工裝配條件，即b（0）和h（0）滿足b（0）N（0）≤0.5πD，且初定的參數(shù)N（0）、b（0）、L（0）、h（0）均在結(jié)構(gòu)空間限制的變量范圍內(nèi)，所以至此可得到結(jié)構(gòu)參數(shù)的設計初值：b（0）=3 mm，N（0）=42 mm，L（0）=43 mm，h（0）=4 mm，可直接將此結(jié)構(gòu)參數(shù)代入鼠籠式彈性支承的有限元優(yōu)化模型中，并以其作為迭代計算的初始值。

（4）在Pro/Engineer軟件中建立以籠條數(shù)目N、長度L、寬度b、厚度h以及籠條根部圓角半徑r為變量的鼠籠參數(shù)化幾何模型，并賦給變量初值：b（0）=3 mm，N（0）=42 mm，L（0）= 43 mm， h（0）=4 mm，r=1 mm幾何模型如圖3所示。

圖3　鼠籠式彈性支承參數(shù)化幾何模型

（5）利用Pro/Engineer中Mechanica（M）程序模塊對建好的幾何模型進行有限元分析：定義E=2.1× 105N/mm2，μ=0.3，ρ=7.9 g/cm3。

因為實際中鼠籠式彈性支承的一端由螺釘固定，另一端安裝軸承，因此在有限元模型中將其中一端完全約束，另一端加載ΔF=50 N，其方向為全局坐標系的x軸正方向，然后用Auto GEM工具完成有限元網(wǎng)格的自動劃分，總共為此模型創(chuàng)建了3469個元素和1637個節(jié)點。

至此，鼠籠有限元計算模型建立完畢，借此計算出其在力ΔF下變形量Δx=4.985×10-3mm，可得結(jié)構(gòu)參數(shù)為設計初值時對應的支承剛度=ΔF/Δx= 1.003×104N/mm2。為使此彈性支承變形最大，應在其懸臂端內(nèi)圓面加載N，此時通過有限元方法可算出籠條最大應力=174 MPa，可知結(jié)構(gòu)參數(shù)為設計初值的彈性支承的強度達到了設計要求，但是剛度沒有達到設計要求，需要繼續(xù)修改結(jié)構(gòu)參數(shù)值以同時滿足強度和剛度要求，有限元分析模型如圖4所示。

圖4　鼠籠式彈性支承有限元分析模型

（6）為使彈性支承在滿足剛度要求的同時變形量達到最大，需在迭代計算前于其懸臂端內(nèi)圓面加載模擬安裝軸承作用的載荷力Fload=umaxkdesign=1962 N，方向為全局坐標系x軸正方向。

（7）利用Pro/Mechanica中的優(yōu)化設計研究功能對鼠籠進行基于有限元方法的優(yōu)化設計，即對建立的優(yōu)化任務做出規(guī)定：

①優(yōu)化目標：σmax的絕對值最小。

②設計變量：h、L。

③約束條件：需優(yōu)化的設計變量滿足h∈［3，6］mm，L∈［3，6］mm；滿足|σmax|≤［σ］=200 MPa；通過有限元法算出的彈性支承剛度值 kFEA=kdesign=1.667×104N/mm，將其轉(zhuǎn)化為對其加載載荷Fload時對應變形量Δx=0.1177 mm，本算例中允許設計剛度值相比于設計要求值的相對誤差為5%。

采用序列2次規(guī)劃優(yōu)化算法對其進行優(yōu)化計算，經(jīng)過4次迭代計算后，得最終優(yōu)化結(jié)果為：h（4）=5.65 mm，L（4）=45 mm，對應k（4）=1.667×104N/mm，=178 MPa，為便于加工，取最終結(jié)構(gòu)參數(shù)設計值為：N*=42，b*=3 mm，h*=5.5 mm，L*=45 mm，經(jīng)過有限元方法計算知結(jié)構(gòu)參數(shù)為最終設計值k*=1.582×104N/mm，=176 MPa，設計值k*相比于要求值kdesign的相對誤差為相比于設計允許值［σ］的相對降低幅度為12%，所以由此分步優(yōu)化設計方法設計出的彈性支承的剛度和強度基本滿足設計要求。

考慮到鼠籠式彈性支承在實際中的工作情況，比如籠條根部圓角、兩端圓環(huán)柔性等問題，剛度和應力計算公式所考慮到的情況和彈性支承的實際工作情況往往有出入。而有限元法在計算其支承剛度和籠條最大應力時考慮的因素比計算公式考慮的因素更全面，因此本算例采用有限元法而非剛度和應力計算公式來分別確定通過上述2種設計方法最終設計出的彈性支承的支承剛度以及籠條變形最大時對應的最大應力。對比文獻［3］中采用遺傳算法得到的設計值和本文采用分步優(yōu)化設計方法得到的設計值，可以發(fā)現(xiàn)本文的設計結(jié)果能更好地滿足給定的剛度和強度設計要求，2種方法對應的設計結(jié)果見表1。

表1　2種設計方法的設計結(jié)果比較

4　結(jié)論

本文針對鼠籠式彈性支承的結(jié)構(gòu)設計，分析了其結(jié)構(gòu)特點、強度和剛度特性以及不同設計方法的優(yōu)缺點，提出了1種分步優(yōu)化的設計方法，并通過1個算例驗證了該方法的有效性和實用性，在對鼠籠式彈性支承設計方法的探討過程中，得到如下結(jié)論：

（1）在鼠籠式彈性支承的結(jié)構(gòu)設計過程中，運用所提出的分步優(yōu)化設計方法，既能克服用計算公式進行優(yōu)化設計時不精確的缺點，又能克服用有限元方法進行優(yōu)化設計時計算復雜而耗時長的缺點，在工程實際中有一定推廣應用價值。

（2）提出的分步優(yōu)化設計思想，在除鼠籠式彈性支承之外的其他結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計中也可推廣運用，即在設計初期利用設計對象的數(shù)學計算模型初定1個粗略滿足要求的設計值，在設計后期以初定設計值為有限元優(yōu)化的迭代起始值，再對其進行迭代計算，能快速又精確地找到滿足設計要求的最優(yōu)解。

（3）優(yōu)化設計的一般思路是在設計可行域通過一定的算法選取滿足設計要求的最優(yōu)解，在優(yōu)化過程中，設計可行域過大往往會讓設計時間變長甚至找不到滿足設計要求的最優(yōu)解，因此在運用優(yōu)化迭代算法尋找最優(yōu)解之前可以先全方位分析優(yōu)化設計的要求，盡量運用一些設計限制條件提前縮小設計可行域，這樣往往能有效縮短尋找到最優(yōu)解的時間。

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（編輯：栗樞）

Optimal Design Method of Squirrel Cage Elastic Support by Stages

TANG Rui1，GUO Jian1，LUO Zhong1，WANG De-you2，LIU Yong-quan2
（1.School of Mechanical Engineering&Automation，Northeastern University，Shenyang 110819，China；2.AVIC Shenyang Engine Design and Research Institute，Shenyang 110015，China）

In order to improve the accuracy of support stiffness design for squirrel cage elastic support and reduce the maximal stress of squirrel cage into capacity，a kind of by-stages optimization design method based on the idea of the parametric modeling as well as the finite element optimization techniques was proposed on the basis of correlation research.In this design，the stiffness and stress calculation formula of squirrel cage elastic support combined with processing and assembly condition were used to previously select a combination of structure parameter meeting the design requirements，then the finite element optimization model of the squirrel cage elastic support was established，and the structural parameters were substituted into the model as the initial values to optimize the length and thickness of squirrel cage elastic support，a reasonable structure parameter meeting the engineering demands was obtained after several iterative computations.The optimization design method saves much time and improves the accuracy of results in design.Finally，efficiency and applicability of the method were validated through a concrete example of squirrel cage elastic support.

squirrel cage elastic support；finite element method；optimization design；parametric modeling；support stiffness；aeroengine

V 231.92

A

10.13477/j.cnki.aeroengine.2016.02.008

2015-05-29基金項目：國家重點基礎研究發(fā)展計劃（2012CB026005）、國家自然科學基金（51105064，11572082）資助

唐瑞（1992），男，在讀碩士研究生，研究方向為轉(zhuǎn)子動力學；E-mail：1524468523@qq.com。

引用格式：唐瑞，郭健，羅忠，等.鼠籠式彈性支撐結(jié)構(gòu)參數(shù)分步優(yōu)化設計方法［J］.航空發(fā)動機，2015，42（2）：38-43.TANGRui，GUOJian，LUOZhong，etal. Optimaldesignmethodofsquirrelcageelasticsupportbystages［J］.Aeroengine，2015，42（2）：38-43.