關(guān)寶玲，韓　旸

(齊齊哈爾大學(xué)理學(xué)院，黑龍江，齊齊哈爾 161006)

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Leibnizn-代數(shù)的Frattini擴(kuò)張

關(guān)寶玲，韓旸

(齊齊哈爾大學(xué)理學(xué)院，黑龍江，齊齊哈爾 161006)

通過將李代數(shù)的Frattini擴(kuò)張推廣到Leibnizn-李代數(shù)，得到了Leibnizn-代數(shù)的Frattini擴(kuò)張的一些重要性質(zhì)，給出了Leibnizn-代數(shù)的Frattini擴(kuò)張的幾個(gè)充分必要條件.

Leibnizn-代數(shù)；Frattini擴(kuò)張；Frattini理想

作為李代數(shù)的推廣，F(xiàn)ilippov在1985年提出了n-李代數(shù)的概念，并給出了n+1維n-李代數(shù)的分類.[1]近年來n-李代數(shù)得到了豐富的結(jié)果.[2-4]同時(shí)，人們將n-李代數(shù)推廣到Leibnizn-代數(shù).[5-6]

在群理論中，F(xiàn)rattini研究了所有極大子群的交集，現(xiàn)稱其為Frattini群，并于1885年提出了Frattini子群的概念.1967年，F(xiàn)rattini群的理論被引入到李代數(shù)中.[7]同時(shí)，Stagg對(duì)Frattini子代數(shù)理論進(jìn)行了深入研究，引入了李代數(shù)的廣義Frattini子代數(shù)及Frattini理論.[8]21世紀(jì)初，F(xiàn)rattini群和廣義Frattini群的理論已經(jīng)完善，一些代數(shù)的Frattini理論也得到了廣泛研究.[2，9，10-17]本文類比廣義Frattini群理論，研究Leibnizn-代數(shù)的Frattini擴(kuò)張.以下總假設(shè)L是特征零域F上的有限維Leibnizn-代數(shù).

1　預(yù)備知識(shí)

定義1[6]若L是域F上具有n元線性運(yùn)算的向量空間且滿足

則稱L為Leibnizn-代數(shù).

定義2[5]設(shè)L是Leibnizn-代數(shù)，若L的子空間B對(duì)換位運(yùn)算封閉，即[B，B，…，B]?B，則B是L的子代數(shù).若L的子代數(shù)I滿足[I，L，…，L]?I，則稱I為L的理想.設(shè)I是L的理想，如果[I，I，L，…，L]=0，則稱I為L的交換理想.

定義3[6]設(shè)L是Leibnizn-代數(shù)，M是向量空間.若在M上定義n元運(yùn)算

[-，…，-]：L?i?M?L?n-1-i→M，0≤i≤n-1，

滿足(2n-1)個(gè)方程，其中這(2n-1)個(gè)方程是從下面方程(1)中，分別令(2n-1)個(gè)變?cè)獂1，…，xn，y1，…，yn-1中的每一個(gè)屬于M，而其余的都屬于L得到，

(1)

則稱M為Leibnizn-代數(shù)L的模.

定義4設(shè)L是Leibnizn-代數(shù)，L的所有極大子代數(shù)的交集稱為Frattini子代數(shù)，用F(L)表示.包含于F(L)中的L的極大理想稱為Frattini理想，用φ(L)表示.

稱此為正合列代表擴(kuò)張(L，ε).若Ker(ε)?φ(L)，則稱擴(kuò)張(L,ε)是Frattini擴(kuò)張.

2　Frattini擴(kuò)張

引理1設(shè)(L，ε)是H的擴(kuò)張，其中Ker(ε)是交換的有限維H-模.若J是L的極大子代數(shù)，且Ker(ε)J，則(J，α)是一個(gè)擴(kuò)張，且Ker(α)是Ker(ε)的極大H-子模.

(1) 由于N=Ker(ε)J，且J是L的極大子代數(shù)，則J?J+N?L.由于J是極大的，則J+N=L，注意到(L，ε)是擴(kuò)張，有L/N?H，故J+N/N=L/N?H.又由于J+N/N?J/J∩N?H，故J是H通過J∩N的擴(kuò)張.

(2) 由于N是交換的，且L=J+N，則[J∩N，L，…，L]?J∩N，即J∩N是L的理想.

(3) 不妨假設(shè)N∩J=0，下面證明N是L的極小理想.設(shè)K是L的理想，使得0?KN，則

dimJ

故J(J+K).又由于

dimL=dim(J+N)=dimJ+dimN-dim(J∩K)=dimJ+dimN>dimJ+dimK=dim(J+K)，

這與J是極大子代數(shù)矛盾，故不存在這樣的K，即N是極小的，因此N∩J在N中是極大的.

定理1設(shè)(L，ε)是H的擴(kuò)張，且Ker(ε)是交換的.若Ker(ε)是非平凡的不可約H-模，則(L，ε)是Frattini擴(kuò)張，當(dāng)且僅當(dāng)(L，ε)是不可分的.

證明假設(shè)

(2)

是不可分?jǐn)U張的.需要證明N=Ker(ε)是φ(L)的子代數(shù).若Nφ(L)，則存在L的極大子代數(shù)J，使得NJ，由引理1知(J，α)是擴(kuò)張，有α=ε|J，Ker(α)是Ker(ε)的最大的H-子模.由于Ker(ε)作為一個(gè)H-模是不可約的，則有Ker(α)=J∩N={0}，因此α是單射的.又由于(J，α)是擴(kuò)張，故α是滿射，從而α是同構(gòu)的.因此(1)可分，矛盾.

反過來，假設(shè)(L，ε)是廣義Frattini擴(kuò)張，我們需證(1)是不可分的.假設(shè)(1)可分，則存在同態(tài)φ：H→L，使得εφ=IH，故φ是單同態(tài)，H?Imφ，從而φ：H→Im(φ)是同構(gòu)的.同樣有Im(φ)?L，Ker(ε)?L.由于擴(kuò)張可分，則L=Ker(ε)+Im(φ)，且Ker(ε)∩Im(φ)={0}.由于Ker(ε)Im(φ)，則Im(φ)不是L的極大子代數(shù)，因此存在L的極大子代數(shù)J使得Im(φ)?J?L.但又由J的極大性，Ker(ε)?φ(L)?J，從而Ker(ε)?J，且φ(L)?J，這與L=Ker(ε)+Im(φ)?J矛盾.

定理2設(shè)(L，ε)是H的Frattini擴(kuò)張，則(φ(L),ε)是φ(H)通過Ker(ε)的擴(kuò)張.

證明由于(L，ε)是H的Frattini擴(kuò)張，則L/Ker(ε)?H，故φ(L/Ker(ε))?φ(H).又由Ker(ε)?φ(L)，故φ(L/Ker(ε))=φ(L)/Ker(ε).

令L1∶=[L，L，…，L]，若L=L1，則稱Leibnizn-代數(shù)L是完美的.

定理3設(shè)L是有限維Leibnizn-代數(shù).若(L，ε)是H通過N的Frattini擴(kuò)張，H是完美Leibnizn-代數(shù)，則L是完美的.

證明假設(shè)L不是完美的，且N=Ker(ε)，由于(L，ε)是H的Frattini擴(kuò)張，則有

(L/Ker(ε))=L/N?H.

由于H是完美的，有(L/H)1?H1=H，即(L1+N)/N?(L/N)?L/N.又由L是有限維的，故L1+N=L.注意到N?φ(L)?F(L)?L1，因此L=N+L1?L1?L，故L1=L.

定理4若ε：J→M是有限維Leibnizn-代數(shù)的滿射，L是J的子代數(shù)中極小的子代數(shù)，且ε(L)=M，則(L，ε|L)是Frattini擴(kuò)張.

證明設(shè)K是L的極大子代數(shù)，且假設(shè)Ker(ε|L)K，則K?K+Ker(ε|L)?L.由K的極大性知K+Ker(ε|L)=L.同樣有

Ker(ε)?J，Ker(ε|L)?Ker(ε)，

且K?J，因此

K?J?K+Ker(ε)?J.

(3)

設(shè)W=K+Ker(ε)，則

ε(W)={ε(k+x)|k∈K，x∈Ker(ε)}=

{ε(k)+ε(x)|k∈K，x∈Ker(ε)}={ε(k)|k∈K}=ε(K).

由(2)式知ε(L)?ε(W)?ε(J)，即M?ε(W)?M，因此ε(W)=M，即ε(K)=M，這與L的極小性矛盾.因此Ker(ε|L)包含在L的任意極大理想中，即Ker(ε|L)?φ(L).故(L，ε|L)是Frattini擴(kuò)張.

性質(zhì)1設(shè)(L，ε)是H的Frattini擴(kuò)張.若α：L→H，β：H→L是同態(tài)，且αβ是滿射，則β為滿射.

證明設(shè)K=Im(β)=β(H).由于αβ是滿射，則有

α(L)=H=(αβ)(H)=α(β(H))=α(K).

故?l∈L，?k∈K，使得α(l)=α(k)，則有

α(l)-α(k)=α(l-k)={0}.

引理2設(shè)N是L的極小理想.若N在L中是可補(bǔ)的，則N∩φ(L)={0}.

證明若N在L中可補(bǔ)，則對(duì)某些HL，L=N+H，且N∩H={0}.由于N?L，且φ(L)?L，有N∩φ(L)?L.由N的極小性，N∩φ(L)={0}或N.若N∩φ(L)=N，則N?φ(L)，因此N+H?φ(L)+H.故L=φ(L)+H，即L=H，矛盾.從而N∩φ(L)={0}.

定理5設(shè)L是H通過N的擴(kuò)張，N是交換的.則L是N的極小Frattini擴(kuò)張，當(dāng)且僅當(dāng)N是L的極小理想且不可補(bǔ).

證明設(shè)N是L的極小理想且不可補(bǔ).若Nφ(L)，則存在L的極大子代數(shù)M，使得NM.由于N?L且M?L，則M?N+M?L.再由M的極大性知N+M=L.由N∩M?M，N∩M?N，有N∩M?N+M=L.而N的極小性表明N∩M={0}，矛盾.因此N?φ(L)，L是N的極小Frattini擴(kuò)張.反過來，假設(shè)N是L的極小理想且是可補(bǔ)的，由引理2知N∩φ(L)=0，因此N不是φ(L)的子代數(shù)，從而L不是極小的Frattini擴(kuò)張.這與已知條件矛盾，故N是L的極小理想且不可補(bǔ).

定理6Frattini擴(kuò)張的復(fù)合是Frattini擴(kuò)張.

β是滿射，且Ker(β)?φ(H).需要證明βα是滿射，Ker(βα)是滿射，且Ker(βα)?φ(L).

由于h∈H，α是滿射，則存在l∈L，使得α(l)=h.若m∈M，由于β是滿射，則存在h∈H，使得β(h)=m.因此

(βα)(l)=β(α(l))=β(H)=m，

故βα是滿射.

由α(L)=H，有

α(φ(L))=φ(α(L))=φ(H)，

因此φ(L)=α-1(φ(H)).但

Ker(βα)={l|(βα)(l)=0，l∈L}={l|β(α(l))=0，l∈L}=

{l|α(l)∈Ker(β)，l∈L}={l|l∈α-1(Ker(β))}.

由于Ker(β)?φ(H)，有

α-1Ker(β)?α-1(φ(H))=φ(L).

因此Ker(βα)?φ(L).

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(責(zé)任編輯：李亞軍)

The Frattini extensions of Leibnizn-algebras

GUAN Bao-ling，HAN Yang

(School of Science，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China)

The Frattini extensions of Lie algebras are generalized to Leibnizn-algebras.Some important properties of the Frattini extentions for Leibnizn-algebras are obtained.Several necessary and sufficient conditions of the Frattini extensions for Leibnizn-algebras are given.

Leibnizn-algebras；Frattini extensions；Frattini ideal

1000-1832(2016)03-0005-04

2015-05-01

黑龍江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(B2015019).

關(guān)寶玲(1974—)，女，博士，副教授，主要從事李代數(shù)研究；韓旸(1969—)，男，博士，副教授，主要從事數(shù)據(jù)挖掘研究.

O 152.5[學(xué)科代碼]110·21

A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.03.002