王校鋒

（海裝上海局，上海　200083）

基于擴(kuò)展有限元的裂隙巖體錨固數(shù)值分析

王校鋒

（海裝上海局，上海200083）

擴(kuò)展有限元法是近年來(lái)提出的在標(biāo)準(zhǔn)有限元框架上解決不連續(xù)問(wèn)題的一種有效數(shù)值方法.介紹了擴(kuò)展有限元分析裂紋擴(kuò)展的方法，應(yīng)用擴(kuò)展有限元法分析了裂隙巖體錨固，在裂紋擴(kuò)展時(shí)引入了損傷準(zhǔn)則.計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)給出的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比表明：擴(kuò)展有限元法能較為精準(zhǔn)地模擬裂紋的擴(kuò)展，且不需要在裂紋處布置高密度的網(wǎng)格，裂紋擴(kuò)展時(shí)也不需要網(wǎng)格重劃分，為分析裂巖錨固提供了一種有效的模擬途徑.

擴(kuò)展有限元；裂隙巖體；裂紋擴(kuò)展；損傷；數(shù)值模擬

大量工程實(shí)踐表明：巖石邊坡和大型洞室開(kāi)挖等工程失穩(wěn)破壞都與其內(nèi)部節(jié)理或裂隙擴(kuò)展貫通有關(guān)［1］.裂紋缺陷的擴(kuò)展機(jī)制和錨桿對(duì)裂紋擴(kuò)展的抑制機(jī)理研究一直是當(dāng)今巖力學(xué)研究的難點(diǎn)和熱點(diǎn)問(wèn)題，大量學(xué)者運(yùn)用數(shù)值方法［2-5］或試驗(yàn)分析［6-7］對(duì)其進(jìn)行了研究.

擴(kuò)展有限元法（Extended Finite Element Method，XFEM）于1999年由美國(guó)西北大學(xué)的Belytschko研究組首次提出［8-9］，在標(biāo)準(zhǔn)有限元框架下，連續(xù)區(qū)域采用標(biāo)準(zhǔn)有限元方法，不連續(xù)區(qū)域內(nèi)，對(duì)有限元的位移近似函數(shù)進(jìn)行修正，增加了對(duì)不連續(xù)邊界的描述方法.

本文介紹了擴(kuò)展有限元分析裂紋擴(kuò)展的方法，并首次利用擴(kuò)展有限元法對(duì)裂隙巖體錨固進(jìn)行了分析，分析裂紋擴(kuò)展時(shí)引入了損傷準(zhǔn)則.

1　擴(kuò)展有限元法

常規(guī)有限元方法中，位移可以表示為：

式（1）僅適用于連續(xù)介質(zhì)，對(duì)于非連續(xù)介質(zhì)，Belytschko等［8-9］基于單位分解的思想，將位移插值函數(shù)定義為：

式中，N為不含裂紋的常規(guī)單元節(jié)點(diǎn)集合；N1為被裂紋完全貫穿的單元節(jié)點(diǎn)集合；N2為包含裂尖的單元節(jié)點(diǎn)集合，如圖1所示；ui、αj和bαk分別為常規(guī)單元、貫穿單元和裂尖單元節(jié)點(diǎn)的位移；H（x）為Heaviside函數(shù)，在裂紋面上、下側(cè)分別取+1和-1，用來(lái)表示裂紋面位移的不連續(xù)性：

φα（x）為裂尖漸進(jìn)位移場(chǎng)附加函數(shù)，用于反映裂尖的應(yīng)力奇異性.根據(jù)線彈性斷裂力學(xué)［10］，I型、II型復(fù)合裂紋尖端位移場(chǎng)可以表示為：

式中，

于是得到φα（x）（α=1～4）由以下基函數(shù)組成：

式中，r、θ滿足以裂紋尖端為坐標(biāo)原點(diǎn)建立的極坐標(biāo)系（圖1）.

圖1　含裂紋單元示意圖

2　控制方程

將位移插值函數(shù)表達(dá)式（2）帶入虛功原理方程，可以得到擴(kuò)展有限元法的控制方程：

K為整體剛度矩陣，由單元?jiǎng)偠染仃嚱M裝而成：

其中，

f為等效節(jié)點(diǎn)力向量：

Γt、Γu和Γc分別表示外力施加邊界、位移約束邊界和裂紋邊界；ft和fb分別表示外力和體力（圖2）.

圖2　裂紋體邊界條件

3　裂紋擴(kuò)展及損傷準(zhǔn)則

在裂紋擴(kuò)展時(shí)引入損傷準(zhǔn)則，當(dāng)裂紋達(dá)到初始損傷準(zhǔn)則時(shí)材料會(huì)根據(jù)損傷演化定律發(fā)生損傷.

初始損傷準(zhǔn)側(cè)采用最大主應(yīng)力準(zhǔn)則：

當(dāng)損傷準(zhǔn)則f大于1時(shí)，之后每一步迭代時(shí)將會(huì)發(fā)生裂紋擴(kuò)展，且滿足：

式中，ftol為容差.

采用雙線性損傷演化定律［11］，如圖3所示，當(dāng)材料達(dá)到初始損傷點(diǎn)A時(shí)，材料開(kāi)始損傷.若沒(méi)有損傷演化定律，材料特性如直線OD所示為線彈性；由于損傷演化定律，材料的裂紋擴(kuò)展時(shí)，材料特性將沿著直線AC方向.若達(dá)到B點(diǎn)時(shí)卸載，材料特性將會(huì)沿著直線BO回到O點(diǎn)；重新加載后材料特性會(huì)沿著折線OBC達(dá)到點(diǎn)C，此時(shí)材料將破壞.

圖3　雙線性損傷演化定律

4　裂隙巖體錨固數(shù)值模擬

裂隙巖體模型如圖4（a）所示，寬為70 mm，高140 mm，厚度為20 mm，巖體中部有一穿透型裂紋，長(zhǎng)度為42 mm，與水平軸夾角為45°；裂紋處布置3根錨桿，采用2種加錨方式.巖體的彈性模量為1.44 GPa，泊松比為0.233；錨桿的彈性模量為10.1 GPa，泊松比為0.3，直徑為2.5 mm.

巖體網(wǎng)格劃分不考慮裂紋的影響，且裂紋本身為幾何特征，無(wú)需劃分網(wǎng)格；巖體采用八節(jié)點(diǎn)六面體單元?jiǎng)澐?，? 000個(gè)單元、9 471個(gè)節(jié)點(diǎn)；錨桿采用二節(jié)點(diǎn)桿單元，共60個(gè)單元、63個(gè)節(jié)點(diǎn).

巖體上下受壓板擠壓，壓板設(shè)為剛體，與壓板間的摩擦系數(shù)為0.15.

圖4　裂隙巖體與加錨方式示意圖

圖5所示為巖體在無(wú)錨固、垂直加錨和垂直裂紋加錨情況下的裂紋擴(kuò)展路徑示意圖，可以看出三種情況下裂紋的擴(kuò)展方向均平行于加載方向，與文獻(xiàn)［12］的實(shí)驗(yàn)及計(jì)算結(jié)果一致，說(shuō)明了本文的計(jì)算方法的正確性.

從圖5的比較中可以看出，在裂紋處添加錨桿能夠在一定程度上減小開(kāi)裂程度.在巖體在同樣的荷載作用下，無(wú)錨固巖體裂紋擴(kuò)展約20 mm，垂直加錨巖體裂紋擴(kuò)展約15 mm，垂直裂紋加錨巖體裂紋擴(kuò)展約17 mm.

垂直加錨方式錨桿布置方向與裂紋擴(kuò)展方向垂直，能較為有效地抑制裂紋擴(kuò)展；對(duì)于垂直裂紋加錨方式，雖然錨桿布置方向與初始裂紋的方向垂直，但裂紋不沿著初始裂紋方向擴(kuò)展，錨桿無(wú)法起到應(yīng)有的效果.

從圖5的裂紋擴(kuò)展路徑中可以看出，巖體網(wǎng)格不需要重劃分，裂紋從單元內(nèi)部擴(kuò)展；且裂紋與巖體網(wǎng)格相互獨(dú)立，在需要分析不同夾角的裂紋時(shí)，僅需調(diào)整裂紋的幾何模型，不需要重新劃分巖體網(wǎng)格.

5　結(jié)論

本文介紹了擴(kuò)展有限元方法并用其對(duì)裂隙巖體錨固進(jìn)行了分析，分析裂紋擴(kuò)展時(shí)引入了損傷準(zhǔn)則，得到如下結(jié)論：

（1）擴(kuò)展有限元法能準(zhǔn)確高效地模擬裂紋擴(kuò)展，分析時(shí)不需要在裂紋處布置高密度網(wǎng)格，裂紋擴(kuò)展時(shí)也無(wú)需網(wǎng)格重劃法.

圖5　不同錨固方式裂紋擴(kuò)展路徑與最大主應(yīng)力云圖

（2）開(kāi)裂基體的網(wǎng)格和裂紋相互獨(dú)立，對(duì)于不同裂紋僅需調(diào)整裂紋的幾何模型，無(wú)需重新劃分基體網(wǎng)格.

（3）裂隙巖體上下受壓的情況下，開(kāi)裂方向與加載方向一致，垂直加錨方式效果優(yōu)于垂直裂紋加錨方式.

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AbstractThe extended finite element method（XFEM）presented recentlyis an effective numerical method for modeling discontinuity within a standard finite element method framework.The method for crack growth analysis with XFEMis introduced.XFEMand damage criteria are used to analyze the fractured rock mass anchorage.Compared with the experimental results in the literature，the result shows the accuracy of XFEM in simulating crack growth without massive meshes in the crack tip and remeshing during the crack growth.XFEM is an effective way for simulating the fractured rock mass anchorage.

Numerical Analysis for Fractured Rock Mass Anchorage Based on Extended Finite Element Method

WANG Xiaofeng
（Shanghai MilitaryRepresentative Bureau of NavyEquipment Department，Shanghai 200083，China）

extended finite element method；fractured rock mass；crack growth；damage；numerical simulation

TU452

A

1001-4217（2016）03-0062-07

2015-10-13

王校鋒（1979—），男（漢族），浙江省嵊州市人，工程師，研究方向：數(shù)值計(jì)算、控制理論與控制工程.E-mail：wangxiaofeng_sh@sina.con