劉文波　常軍　胡皞　鞏文龍

(蘇州科技學(xué)院土木工程學(xué)院, 蘇州　215011)

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快速獨立分量分析法識別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)研究*

劉文波常軍?胡皞鞏文龍

(蘇州科技學(xué)院土木工程學(xué)院, 蘇州215011)

采用快速獨立分量分析(FastICA)算法,快速、準(zhǔn)確地識別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù).該算法以模態(tài)響應(yīng)之間的獨立性為依據(jù)構(gòu)建出目標(biāo)函數(shù),并以此目標(biāo)函數(shù)為基準(zhǔn)采用ICA算法對結(jié)構(gòu)輸出信號進行分離,而得到結(jié)構(gòu)振型向量.進而通過單模態(tài)識別技術(shù)-希爾伯特(Hilbert)變換,識別出結(jié)構(gòu)的頻率和阻尼比.最后通過白噪聲激勵下六層框架結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識別,驗證了快速獨立分量分析算法識別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的可行性和魯棒性.

快速獨立分量算法,模態(tài)參數(shù)識別,模態(tài)響應(yīng),目標(biāo)函數(shù),希爾伯特變換

引言

模態(tài)分析是依據(jù)輸入和輸出響應(yīng),采用不同的參數(shù)識別方法,獲得系統(tǒng)的固有頻率、模態(tài)陣型和阻尼等模態(tài)參數(shù),屬于系統(tǒng)識別的重要部分.傳統(tǒng)的模態(tài)識別方法需要根據(jù)系統(tǒng)激勵信號和響應(yīng)信號求出頻響函數(shù)進行參數(shù)識別.但是,由于環(huán)境條件的復(fù)雜多變和實際結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度的諸多限制,往往很難準(zhǔn)確測得激勵和理想的結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號.因此,僅依靠系統(tǒng)輸出響應(yīng)的無監(jiān)督參數(shù)識別方法顯示出了獨特的優(yōu)越性.盲源分離技術(shù)(Blind Source Separation, BSS)作為無監(jiān)督的參數(shù)識別技術(shù),逐漸成為研究的熱點.

獨立分量分析(Independent Component Analysis, ICA)屬于盲源分離的一種,是指在輸入信號未知或不可觀測,并且混合系統(tǒng)特性也未知或僅知其少量先驗知識(如循環(huán)平穩(wěn)性、非高斯性等)時,僅從觀測到的輸出信號中提取、恢復(fù)出無法直接觀測的各個輸入信號的過程[1-3].與其它時域方法相比,該技術(shù)無需對響應(yīng)數(shù)據(jù)進行預(yù)先處理,提高了參數(shù)識別的精度,計算更加簡便.文章對ICA進行模態(tài)識別的相關(guān)理論和識別過程進行了詳細描述,并用六自由度框架驗證方法的可行性及良好的抗噪性能.

1　ICA的理論基礎(chǔ)

1.1ICA問題的描述

考慮混疊信號系統(tǒng):

X(k)=AS(k)+N(k)

(1)其中,X(k)∈RM,S(k)∈RN分別表示M維觀測信號矢量和N維未知輸入信號矢量,N(k)∈RM為M維加性觀測噪聲矢量,A∈RM×N為未知混合矩陣.ICA的實質(zhì)在于尋找一個適當(dāng)?shù)姆蛛x矩陣B,通過分離矩陣從觀測信號X(k)中恢復(fù)輸入信號S(k),即Y(k)=BX(k),Y(k)為輸入信號的估計矢量[4-6].

1.2ICA的基本假定

由于輸入信號和混疊系統(tǒng)未知,如果缺少其它的先驗知識,僅僅依靠觀測信號很難將輸入信號恢復(fù).因此,為了使問題得到解決,根據(jù)存在的實際情況,對該算法提出幾點假定[7-8]：

(1) 輸入信號S(k)各分量si(k)為零均值的平穩(wěn)隨機信號,且分量相互獨立;

(2) 混合矩陣A為列滿秩矩陣(即A-1存在),通常假定A為方陣;

(3) 為了避免多個信號混合后成為無法分離的高斯信號,假定輸入信號最多只有一個高斯信號.

1.3優(yōu)化判據(jù)

ICA算法是一種尋求最優(yōu)解的過程,即尋找與各輸入信號最逼近的獨立成分值.因此,ICA主要的兩個方面包括優(yōu)化判據(jù)和尋優(yōu)算法.優(yōu)化判據(jù)即根據(jù)各成分獨立性判斷的不同方面,選擇最優(yōu)的目標(biāo)函數(shù).函數(shù)的概率密度是最基本的優(yōu)化判據(jù),但是實際應(yīng)用時概率密度函數(shù)是未知的而且一般很難進行估計,因此大多通過其它途徑解決.這里采用的是信息理論中的負熵判據(jù)[9-10].

當(dāng)信噪比較高時,輸入和輸出間互信息量的最大化表明二者的信息冗余量達到最小,即各輸出間互信息量最小,也就是負熵最大,從而保證各輸出量間的統(tǒng)計獨立.

負熵表示與變量密度具有相同均值、方差的高斯變量密度的非負的K-L距離,且對坐標(biāo)的可逆線性變換具有不變性,定義為：

(2)

式中,ki是正常數(shù);v為一個具有零均值和單位方差的高斯隨機變量;yi是具有零均值和單位方差的輸出變量;E(·)為均值運算;G(·)種形式的非線性函數(shù).

中心極限定理表明,多個獨立隨機變量的和比單個信號更接近高斯分布.因此,當(dāng)負熵最大時分離結(jié)束,此時y的非高斯性最強.

1.4快速獨立分量分析(FastICA)

快速獨立成分分析(FastICA)是一種無監(jiān)督的盲信號分離算法.該算法基于非高斯性最大化原理,使用固定點迭代理論尋找輸入信號非高斯性最大的估計矢量,是一種進行ICA處理的快速、效算法[5,11].

(1) 預(yù)處理數(shù)據(jù)

一般所測得的響應(yīng)數(shù)據(jù)都具有一定的相關(guān)性,為了保證算法的收斂性和提取獨立分量過程的簡化,通常要對采集的數(shù)據(jù)進行預(yù)處理.預(yù)處理的方法有主成成分分析(PCA)、白化(球化)、模型降維、小波包變換、稀疏變換等.文章主要采用白化進行預(yù)處理,白化是對信號施加一個線性變換,使其變?yōu)榫哂袉挝环讲钋一ゲ幌嚓P(guān)的白色信號的過程[6-7].

對觀測信號X(t),尋找一個線性變換,使X(t)投影到新的子空間后變?yōu)榘谆盘枺?/p>

Z(t)=UX(t)

(3)

式中,U為白化矩陣,Z(t)為白化后的信號.

白化矩陣可以根據(jù)特征值分析由下列公式得出：

U=Λ-1/2ψT

(4)

式中Λ=diag[λ1,λ2,…,λN],ψ=[l1,l2,…,lN].λi表示觀測數(shù)據(jù)x(t)的協(xié)方差矩陣RX=E{X(t)XT(t)}對應(yīng)的最大特征值,li為相應(yīng)的特征向量.

(2) 盲源分離

尋找分離矩陣w,使得分離出的估計信號y=wX(t)能達到最大函數(shù)值.用牛頓迭代法求解目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解,算法的迭代公式為

(5)

(6)

(3) 分離步驟

步驟一：令n=0,對權(quán)值向量w(0)進行初始化;

步驟二：調(diào)整更新w,w(n+1)=E{Xg(wT(n)X)}-E{g′(wT(n)X)}w(n);

在第三步調(diào)整權(quán)值時,需要利用期望值.實際計算中,采用樣本平均值來簡化代替.理論上要求所有樣本參與期望值的求解運算,但是這樣會導(dǎo)致很大的計算量.因此,每次計算可以隨機提取一段長度適中的數(shù)據(jù)進行平均值的計算,要求提取數(shù)據(jù)的位置盡可能的分散,其長度要依據(jù)迭代算法的收斂效果進行調(diào)整.

(7)

(8)

2　正則坐標(biāo)和獨立分量

多自由度運動方程：

(9)

其中M、K、C、X(t)分別是系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣,剛度矩陣,阻尼矩陣,外力向量和位移坐標(biāo).

位移坐標(biāo)可以用正則坐標(biāo)和陣型向量表示為：

=Φq(t)

(10)

其中：Φi、wi、ωDi、ξ為第i階模態(tài)振型向量、固有頻率、阻尼頻率、阻尼比;Φ、q(t)為振型矩陣和正則坐標(biāo)向量.

正則坐標(biāo)映射采用的是動力反應(yīng)的振型疊加法.當(dāng)不同正則坐標(biāo)間的振動頻率不相等時,對應(yīng)的正則坐標(biāo)可以看做統(tǒng)計獨立的源信號[13].結(jié)合ICA分離原理,把正則坐標(biāo)看作時間響應(yīng)序列的一種特殊的輸入信號,即結(jié)構(gòu)響應(yīng)是由正則坐標(biāo)按振型矩陣線性疊加而成的.將結(jié)構(gòu)自由振動的振型分解看作是一個盲分離問題,從結(jié)構(gòu)的響應(yīng)中分離得到混合矩陣和分離矩陣Φ-1,其逆矩陣為振型矩陣,從而利用傅里葉變換 (FT)、希爾伯特變換 (HT)或?qū)?shù)變換(LT)進行結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識別.

3　數(shù)值模擬

建立六層框架模型的數(shù)值模型,如圖1所示.采用瑞利阻尼模型,并由質(zhì)量和剛度矩陣得到結(jié)構(gòu)的理論參數(shù)值,模型特性如表1所示.以自由響應(yīng)為研究對象,利用ICA直接從結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)信號中得到結(jié)構(gòu)的模態(tài)坐標(biāo)分量并進行結(jié)構(gòu)振型的估計,再結(jié)合HT從單一正則坐標(biāo)分量中計算出結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的固有頻率和阻尼比.

圖1　六層框架模型

floormass/kgstiffness/(kN·m-1)dampratio127622.485E+065.00E-3227601.921E+063.34E-3327601.921E+063.82E-3427601.921E+064.44E-3527601.921E+065.00E-3627601.522E+065.38E-3

圖2　位移響應(yīng)曲線Fig. 2　Displacement response curves

圖3　模態(tài)響應(yīng)時程曲線Fig. 3　Modal response time-history curves

比較圖3和圖4可以看出,FastICA算法識別出的時程曲線與實際輸入信號的時程曲線之間基本沒有差別,只是二者間的順序不同,而且某些信號還存在相位角和幅值不同的問題.但是這些不確定性屬于算法固有的特性,并不影響振型的提取和模態(tài)參數(shù)的識別.因為可以依據(jù)模態(tài)的相關(guān)知識確定與分離信號相對應(yīng)的信號源,進一步處理分離的獨立分量.

圖4　Fast-ICA識別的時程曲線Fig. 4　Time-history curves identified by FastICA

圖5　對應(yīng)的幅頻曲線Fig. 5　Amplitude-frequency curves

FastICA識別的原輸入信號是自由衰減的簡諧振動,對應(yīng)于各階模態(tài)的正則坐標(biāo).因此,可以直接利用Hilbert變換相應(yīng)的相位角和對數(shù)幅值曲線,采用最小二乘擬合得到曲線斜率,進一步計算得到結(jié)構(gòu)的頻率和阻尼比.為驗證本文方法的魯棒性和有效性,按照公式(11)以信號能量為基準(zhǔn)附加一定比率的白噪聲,并和傳統(tǒng)頻域識別方法峰值法(pick-peaking,PP)進行比較.

(11)

式中,RMS代表信號的標(biāo)準(zhǔn)差值.表2給出了對應(yīng)工況下的識別結(jié)果.

FastICA識別模態(tài)振型的準(zhǔn)確度,可以利用識別振型與結(jié)構(gòu)模態(tài)振型理論解的模態(tài)置信度(Modal Assurance Criterion)準(zhǔn)則來描述,其定義為：

(12)式中為理論振型,φ為識別振型.MAC值介于0和1之間,其值越接近1意味著兩個模態(tài)振型之間的相關(guān)性越好.框架各階對應(yīng)的振型圖如圖6所示.

圖6　模態(tài)振型Fig. 6　Modal shape

從表2的識別結(jié)果中可以看出：(1)在該算例工況中,FastICA對于低頻的識別比PP法具有相對較高的精度,有一定的抗噪性,但不如PP法抗噪性強;(2)在無噪和有噪聲條件下,ICA所識別的模態(tài)振型與振型理論解的MAC值均在99%以上,白噪聲對振型識別結(jié)果不產(chǎn)生明顯的影響;(3)無噪聲時頻率結(jié)果的識別值與理論解基本一致,阻尼比識別結(jié)果第2階的誤差稍大,也僅為3.5%;(4)加入噪聲后,各階頻率和阻尼比的識別誤差逐漸增大.噪聲為10%時,頻率誤差最大為8.41%,阻尼比最大誤差為11.83%,表明算法具有較好的穩(wěn)定性.

4　結(jié)論

1) 獨立分量分析算法在無噪聲條件下,模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果與理論值基本一致,表明了算法進行結(jié)構(gòu)參數(shù)識別的可行性和有效性;

2) 算法對低頻的識別比高頻精度高且具有一定的抗噪性能,可以用于實際環(huán)境下工程結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識別及作為結(jié)構(gòu)損傷識別、結(jié)構(gòu)狀態(tài)評估等健康監(jiān)測有效的輸入?yún)?shù);

3) 算法的局限性在于僅適用于阻尼比為1%以下的低阻尼結(jié)構(gòu),且要求結(jié)構(gòu)傳感器數(shù)量遠大于或至少等于結(jié)構(gòu)的活性模態(tài).

1毛欣,徐慨,劉杰. 盲信號分離技術(shù)現(xiàn)狀與發(fā)展動態(tài). 通信技術(shù),2013,46(8):24～26 (Mao X, Xu k, Liu J. Present situation and development of blind signal separation technology.CommunicationsTechnology, 2013,46(8):24～26 (in Chinese))

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*The project supported by the Jiangsu Province Natural Science Foundation (BK20141180) and the Scientific Research Foundation of University of Science and Technology of Suzhou(XKZ201304)

? Corresponding author E-mail: changjun21@126.com

12 August 2014,revised 2 October 2014.

STUDY ON FASTICA IDENTIFYING STRUCTURAL MODAL PARAMETERS*

Liu WenboChang Jun?Hu HaoGong Wenlong

(SchoolofCivilEngineering,UniversityofScienceandTechnologyofSuzhou,Suzhou215011,China)

This paper presented a structural modal parameters identification by Fast Independent Component Analysis (Fast ICA) rapidly and accurately. The method builds the objective function based on the independence between the modal responses, and separates the structural output signals by Fast ICA based on the objective function, and gains the structural modal shape vectors. Then structural frequencies and damping ratios are gained by Hilbert transform, a single mode analysis technical. Finally, the efficiency and robust of structural modal parameters identification by Fast ICA presented herein was verified by a six-story frame structure.

fast independent component analysis,modal parameters identification,modal response,objective function,Hilbert transform

E-mail: changjun21@126.com

10.6052/1672-6553-2016-01

2014-08-12收到第1稿,2014-10-02收到修改稿.

*江蘇省自然科學(xué)基金項目(BK20141180)、蘇州科技學(xué)院科研基金項目(XKZ201304)