金瑩

（河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南　鄭州　450046）

幾何分布定數(shù)截尾步加試驗(yàn)的最優(yōu)設(shè)計(jì)*

金瑩

（河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南鄭州450046）

在逐步type-II結(jié)尾場合下，研究產(chǎn)品簡單步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。假定產(chǎn)品服從幾何分布，討論了幾何分布產(chǎn)品加速方程如何建立，利用次序統(tǒng)計(jì)量的大樣本性質(zhì)，得到相應(yīng)的Fisher信息矩陣，以對數(shù)特征壽命極大似然估計(jì)的漸進(jìn)方差最小為準(zhǔn)則結(jié)合Fisher信息矩陣，給出了步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)的最優(yōu)分配比例，通過模擬驗(yàn)證最優(yōu)設(shè)計(jì)的有效性。

幾何分布，定數(shù)截尾，步加試驗(yàn)，最優(yōu)設(shè)計(jì)

0　引言

在可靠性理論的研究中，幾何分布由于其無記憶性，常用來描述產(chǎn)品（如開關(guān)等）的壽命。依靠科技進(jìn)步，許多產(chǎn)品的壽命大幅增加，若想快速得到產(chǎn)品壽命數(shù)據(jù)，就需要進(jìn)行加速壽命試驗(yàn)。本文討論的是以幾何分布產(chǎn)品對數(shù)特征壽命MLE的漸近方差最小為原則，定數(shù)截尾步加試驗(yàn)應(yīng)力的最優(yōu)設(shè)計(jì)。

1　最優(yōu)設(shè)計(jì)

設(shè)G（p）表示參數(shù)為p的幾何分布，X表示幾何分布產(chǎn)品的壽命，X～G（p）即：

設(shè)有n個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行試驗(yàn)，壽命分布為X～G（p）。首先在應(yīng)力水平S1下試驗(yàn)，當(dāng)有r1=［nπ1］個(gè)產(chǎn)品失效時(shí)，將應(yīng)力水平提升至S2，當(dāng)又有r2=［nπ2］個(gè)產(chǎn)品失效時(shí)結(jié)束試驗(yàn)。其中π1+π2=πc，πc為事先設(shè)定好的未失效比例。

設(shè)計(jì)的原則：給定S2、S0（設(shè)計(jì)應(yīng)力）、πc和n，找到使產(chǎn)品在S0下的對數(shù)特征壽命ln t的MLE的漸近方差A(yù)sV ar（ln t?）達(dá)到最?。ň冗_(dá)到最高）的S1及在S1、S2上的樣本數(shù)目比例π1、π2。

基本假設(shè)I在應(yīng)力Si下，產(chǎn)品的壽命Xi（i=1，2）均服從何分布，即Xi～G（pi）。

加速系數(shù)：在應(yīng)力Si和Sj下，設(shè)可靠度為R的可靠壽命分別tRi和tRj為，則比值

稱為Si對Sj的R可靠壽命的加速系數(shù)。

由上可知，加速系數(shù)與兩應(yīng)力Si、Sj下產(chǎn)品的分布和可靠度R有關(guān)。但是，工程實(shí)踐的要求加速系數(shù)是與R無關(guān)的常數(shù)。

幾何分布的可靠度R為：

與R無關(guān)的常數(shù)，滿足要求。

其中，a、b為未知參數(shù)，φi為應(yīng)力Si的已知函數(shù)。

基本假定III（Nelson的假定或累積損傷（CE）模型）：產(chǎn)品的剩余壽命試驗(yàn)時(shí)的應(yīng)力水平及試驗(yàn)時(shí)已經(jīng)累積失效的部分，與累積方式無關(guān)。

即：FSj（tj）=FSi（ti）

容易得到似然函數(shù)為：

設(shè)Ff為a，b的Fisher信息陣，有

Ff中4個(gè)元素的計(jì)算非常復(fù)雜，可以利用以下結(jié)論來簡化問題。

證明：由陳希孺［4］定理4.4可證。

引理2：（Lehmann，E.L.（1998））若隨機(jī)變量序

令隨機(jī)變量Z的分布為Φ（·），I（·）為示性函數(shù)。

證明：（1）、（2）由引理1，2立得。

其中，F(xiàn)f由前確定，F(xiàn)t表示在應(yīng)力水平S1上試驗(yàn)至?xí)r刻ξ，再將應(yīng)力水平提升至S2繼續(xù)試驗(yàn)到時(shí)刻時(shí)止試驗(yàn)參數(shù)為a，b的Fisher信息矩陣。

由于本文中的最優(yōu)設(shè)計(jì)是基于大樣本得到的，因此，最優(yōu)設(shè)計(jì)時(shí)將用Ft來代替Ff。此時(shí)試驗(yàn)預(yù)先給定的不再是截尾時(shí)間 ，而是失效比例πc，因此，F(xiàn)t為πc的函數(shù)矩陣，仍用Ai表示Ft矩陣元素。

沿用前面的記號(hào)，可得

其中

于是，似然估計(jì)的Fisher信息陣為

從而可得到產(chǎn)品在正常應(yīng)力水平S0下的對數(shù)特征壽命MLE的漸近方差為：

上式中對S1，π1求導(dǎo)就可以得到使方差最小的設(shè)計(jì)S1，π1（可用數(shù)值方法得到的最優(yōu)應(yīng)力水平S1和最優(yōu)分配比例π1）。

圖1　方差與設(shè)計(jì)應(yīng)力S1、分配比例π1的關(guān)系曲線

2　實(shí)例

解：最優(yōu)設(shè)計(jì)

當(dāng)初始應(yīng)力S1=473K，應(yīng)力S1下的最優(yōu)分配比例π1=0.465 8，此時(shí)設(shè)計(jì)應(yīng)力S0產(chǎn)品特征壽命的方差35.977 9；

當(dāng)初始應(yīng)力S1=463K，應(yīng)力S1下的最優(yōu)分配比例π1=0.504 3，此時(shí)設(shè)計(jì)應(yīng)力S0產(chǎn)品特征壽命的方差12.898 6；

當(dāng)初始應(yīng)力S1=453K，應(yīng)力S1下的最優(yōu)分配比例π1=0.551 1，此時(shí)設(shè)計(jì)應(yīng)力S0產(chǎn)品特征壽命的方差5.726 8。

3　結(jié)論

以幾何分布產(chǎn)品對數(shù)特征壽命MLE的漸近方差最小為原則，通過本例模擬，獲得了定數(shù)截尾步加試驗(yàn)的最優(yōu)設(shè)計(jì)，驗(yàn)證了文中結(jié)論的有效性。

［1］楊宇航，周源泉，加速壽命試驗(yàn)理論基礎(chǔ)（I）［J］.推進(jìn)技術(shù)，2001，22（4）：276-278.

［2］楊宇航，周源泉，加速壽命試驗(yàn)理論基礎(chǔ)（II）［J］.推進(jìn)技術(shù)，2001，22（5）：354-356.

［3］金瑩，張立，幾何分布定時(shí)截尾簡單恒加試驗(yàn)的最優(yōu)設(shè)計(jì)［J］.新鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，25（2）：16-18.

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［7］陳希孺.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.1版.北京：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1999.

Optimum Design for Geometric Distribution of Step-stress Accelerated Life Testing Under Type-IICensoring

JINYing
（Henan University of Economics and Law，Zhengzhou 450046，China）

This paper considers the optimum design of simple step-stress accelerated life tests under progressive type-II hybrid censoring.In the case that discuss establishment of the Accelerate equation，using large sample properties of order statistics，the corresponding Fisher information matrix are derived.Then the optimum allocation ratio is obtained under asymptotic variance criterion.the plan is proved effective through the example.

geometric distribution，type-II censoring，step-stress accelerated-testing（ALT），optimum design

O212.6

A

1002-0640（2016）08-0174-03

2015-06-15

2015-07-07

國家青年基金（11301332）；2014年度河南省教育廳人文社會(huì)科學(xué)研究基金資助項(xiàng)目（2014-gh-556）

金瑩（1980-），女，河南新鄉(xiāng)人，講師，碩士。研究方向：數(shù)理統(tǒng)計(jì)、經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)研究。