季豐民，王仙同，萬　星，沈建瞇

(1. 寧波工程學院 材料學院，寧波 315016； 2. 寧波工程學院 理學院，寧波 315211)

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比輻射率反演的一個新方法

季豐民1，王仙同2，萬星2，沈建瞇2

(1. 寧波工程學院 材料學院，寧波 315016； 2. 寧波工程學院 理學院，寧波 315211)

物體的比輻射率是反映物體熱輻射性質的一個重要參數(shù)，比輻射率反演不僅提供了一種獲得物體比輻射率的便捷途徑，并且涉及許多有趣的理論問題.目前該反問題只有一種基于Hermite函數(shù)展開的普適函數(shù)方法.考慮到這類反問題固有的不適定性問題，發(fā)展另外一種獨立的方法非常有必要.本文基于Laguerre函數(shù)展開為比輻射率反問題發(fā)展了一種新的方法.對一些理論譜的數(shù)值計算表明，新方法不僅擁有老方法的所有優(yōu)點，并且跟老方法相比擁有更高的計算精度，能夠計算結構更加復雜的理論譜.本文最后通過比較和分析揭示了新方法優(yōu)越性的根本原因.

物理學中的反問題； 比輻射率； 漸近行為控制條件； 普適函數(shù)方法

反問題研究已經(jīng)成為現(xiàn)代物理學的一個新的生長點，例如在統(tǒng)計物理學中出現(xiàn)的一類反問題開辟了理論物理研究的廣闊領域，它們包括比熱-聲子譜反問題[1-6]、黑體輻射反問題[7-11]、比輻射率反問題[12]、透射率反問題[13]等.它們都可以表示成Planck型積分方程，即有關化學勢為零的玻色系統(tǒng)(如聲子、光子等)的物理性質的積分方程.本文著重探討比輻射率反演問題，這個反問題為人們提供了一種獲得物體比輻射率的便捷途徑.

就物體輻射電磁波的能力來講，一般的物體總是比黑體輻射要弱一些，我們稱之為“灰體輻射”.灰體的輻射能力和黑體相比之后得到的比值定義為灰體的比輻射率g(ν)，其中ν為輻射電磁波的頻率.由此灰體的比輻射率總有0≤g(ν)≤1.根據(jù)Planck黑體輻射理論，物體單位表面積的輻射功率譜為

(1)

其中：h，c，kB分別為Planck常數(shù)，光速和Boltzmann常數(shù)，T是熱力學溫度.假如我們知道了灰體的比輻射率，那么物體單位表面積的輻射總功率J(T)就是輻射功率譜在整個頻率空間的積分:

(2)

基于反遙測領域的研究需要，人們提出了該輻射問題的反問題[12]： 能否通過測量灰體單位表面積的輻射總功率，求解上述積分方程而得到該灰體的比輻射率？這個反演問題被稱為比輻射率反問題.大家知道，反遙測技術是一項有重要實用價值的工程技術，而比輻射率的研究是反遙測技術中的重要內容.在反遙測技術中，如何在特定的背景里隱藏自己、躲避比如紅外探測等的偵察至關重要，一個很重要的途徑就是降低己方物體的比輻射率.考慮到一些物體的比輻射率還可能跟溫度有關，因此比輻射率應該寫成g(ν，T).根據(jù)測得的灰體輻射總功率求解溫度有關的比輻射率稱為廣義比輻射率反問題，由明燈明等[14]首次提出并做了一些近似計算.本文僅限于討論狹義比輻射率的反演問題.

比輻射率可以在實驗上利用譜分析的方法獲得，但是這樣的測量需要相當復雜的儀器，對于不同的頻率測量區(qū)間，適合的探測器就有所不同，要制作適應于不同頻率的探測器也是比較困難的.因此通過反演的方法獲取比輻射率數(shù)據(jù)就成為一個比較實際可行的途徑.

人們曾經(jīng)基于Hermite函數(shù)展開，為比輻射率反問題發(fā)展了一種普適函數(shù)方法(Universal Function Set method based on Hermite functions， UFS-H)[12]，并利用這種方法計算了一個單峰的理論譜，計算結果跟理論符合得很好.但是，UFS-H方法在雙峰理論譜上的表現(xiàn)不盡如人意，即使計算至很高的階數(shù)，計算結果依然跟理論值存在可觀的偏差.考慮到比輻射率反問題涉及第一類Fredholm型積分方程，在求解過程中不可避免的會遇到所謂的不適定性問題[15-18]： 微小的輸入差別可能導致巨大的輸出不同.如果要計算實際體系的比輻射率反演，UFS-H方法恐怕會更加難以勝任.其次，對于比輻射率反問題而言，兩種獨立方法之間的互相檢驗也是非常有必要的.本文主要目的是基于Laguerre函數(shù)集在比輻射率反演問題當中建立一種新的方法.

1　嚴格解公式簡要回顧

在提出比輻射率反問題之后，人們參照相關反問題[2，8]的解決思路，基于傅里葉變換推導得到了一個封閉(積分)形式的嚴格解公式[12]：

(3)

(4)

另外，參數(shù)s>1的引入是為了消除傅里葉變換的發(fā)散問題，并且避開數(shù)學上著名的黎曼猜測[19].值得說明的是，在嚴格解公式中輸入函數(shù)是輻射總功率J(T)，輸出的是物體的比輻射率g(ν).

可以證明[12]，如果輻射總功率滿足如下條件:

(5)

那么比輻射率反演問題的解存在并且唯一.上述條件中的記號o[…]表示高階無窮小，這個條件被稱為漸近行為控制(Asymptotic Behavior Control， ABC)條件.

2　一種新的反演方法

在發(fā)展一種新方法的過程中，ABC條件起著關鍵的引導作用.它是輻射總功率必須滿足的條件，但是由于任何實驗測量數(shù)據(jù)必然存在誤差，而且測量的溫度區(qū)間不可能無窮大，導致ABC條件不可能被實驗測量數(shù)據(jù)所直接滿足.所以新方法必須具有自動篩選功能，把符合ABC條件的有效成分予以保留，把不符合ABC條件的測量噪音剔除在外.這樣就對展開函數(shù)有了極其嚴格的要求，不僅要求它們的傅里葉變換每一項都嚴格可解，并且它們的漸近行為都要求滿足ABC條件.

我們曾經(jīng)參照以前的UFS-H方法，試圖直接用擴展了定義域之后的Laguerre函數(shù)展開Q0(x)，以此發(fā)展出一種新的方法.但是我們很快發(fā)現(xiàn)，與Hermite函數(shù)的情況不同，Laguerre函數(shù)的傅里葉變換并不滿足ABC條件，我們必須另辟蹊徑！

(6)

這里的ξ是一個實參數(shù)，展開系數(shù)Cm是復數(shù)，Laguerre函數(shù)Lm(ξk)定義為

(7)

(8)

并且Laguerre函數(shù)的漸近行為有如下表達式：

(9)

(10)

(11)

則比輻射率反問題存在唯一解.對比前面Laguerre函數(shù)的漸近行為，我們發(fā)現(xiàn)只要實參數(shù)ξ取值大于π，Laguerre函數(shù)的每一項都能滿足該反問題的ABC條件.

(12)

其中Cm是展開系數(shù)，并且

(13)

不難發(fā)現(xiàn)Gm(ν)是一個純數(shù)學的、與具體體系無關的函數(shù)集，這一點和以前的UFS-H方法相似，我們也稱它為新方法中的普適函數(shù)集，它可以事先用計算機計算完成.這種新方法我們稱之為基于Laguerre函數(shù)的普適函數(shù)方法(Universal Function Set method based on Laguerre functions， UFS-L).

根據(jù)Laguerre函數(shù)的正交性以及傅里葉變換的定義，我們有

(14)

因為Laguerre函數(shù)Lm(ξk)是實函數(shù)，上式中的函數(shù)Dm(x)可以表示為

(15)

接下來我們必須解析完成Dm(x)函數(shù)里面的積分，找到一個盡可能簡單的表達式.很幸運我們得到這個新函數(shù)的簡單形式

(16)

在推導過程的最后一步，我們應用了二項式定理完成了求和過程.

到現(xiàn)在為止，一種基于Laguerre函數(shù)展開的新的普適函數(shù)方法(UFS-L)已經(jīng)建立起來了.根據(jù)測量得到的灰體輻射總功率實驗數(shù)據(jù)，通過以下步驟即可反演計算灰體的比輻射率： 首先，將輻射總功率離散的實驗數(shù)據(jù)擬合成一個連續(xù)光滑的函數(shù)，根據(jù)(4)式轉換成Q0(x)；其次，根據(jù)(14)式計算展開系數(shù)；再次，根據(jù)(13)式計算普適函數(shù)集；最后，將展開系數(shù)和普適函數(shù)代入(12)式通過簡單的求和得到比輻射率.

3　新方法的檢驗

大家知道，在統(tǒng)計物理中嚴格解是比較稀少的.在比輻射率反問題中，我們很幸運地找到如下一組嚴格解，它們能夠很好地檢驗反演方法的可行性以及它們的優(yōu)劣:

(17)

其中:A和μ均為實參數(shù)，η為頻率的標度參數(shù)，ζ(z，q)為廣義黎曼函數(shù).

上述嚴格解(理論譜)的一個單模曾經(jīng)用UFS-H方法做過計算，計算結果和理論值符合很好[12].作為檢驗，我們用新的UFS-L方法計算J1(T)，相關參數(shù)和常數(shù)的取值為A=3.0×1013，μ=2，η=2.86×10-15Hz-1，s=4.0，T0=2.5×104K，ξ=9.0.根據(jù)新的UFS-L方法，要得到比輻射率，只需要計算普適函數(shù)和展開系數(shù).其中普適函數(shù)與具體的體系無關，因此可以事先運用計算機進行計算.計算好展開系數(shù)之后，把普適函數(shù)和展開系數(shù)代入公式(12)即得該單模對應的比輻射率g1(ν).圖1顯示了UFS-L方法的計算結果以及與理論值的比較，從中可見新方法的確是可行的，并且相當成功，展開級數(shù)從第10階左右開始穩(wěn)定收斂.

計算單峰的理論譜無論對于之前的UFS-H方法還是現(xiàn)在的UFS-L方法都是相對比較容易的，計算結構更加復雜的理論譜卻對這些方法構成相當大的挑戰(zhàn).

假設有集合an={0.66，-12，98，-427，1120，-1820，1848，-1142，394，-58}，則以下比輻射率由兩個峰構成:

(18)

(19)

以上的gn(ν)和Jn(T)定義參照(17)式.

這個雙峰譜的計算比前面的單峰譜要困難一些，展開級數(shù)的收斂要比單峰譜慢一些，不過用UFS-L方法計算至36階已經(jīng)和理論符合得很好.為了和以往的UFS-H方法做比較，我們也用UFS-H方法計算了這個雙峰譜，結果發(fā)現(xiàn)UFS-H方法在這個問題上收斂更慢，一直算到66階(這幾乎是PC電腦機計算普適函數(shù)的極限階數(shù))，UFS-H方法計算的結果和理論值依然存在微小的偏差.兩種方法的計算結果以及理論值如圖2所示.相關參數(shù)和常數(shù)的取值為：B=1.0×1013，μ=5，η=1.0×10-12Hz-1，s=3.5，T0=300K，ξ=9.0.通過圖2，可以看出新方法在計算理論譜的時候，具有比以往方法更高的計算精度，因而它能夠精確計算具有更加復雜結構的理論譜.通過兩種方法的比對，我們發(fā)現(xiàn)關鍵在于UFS-L方法中的函數(shù)集Dm(x)，它比以往方法中的Hermite函數(shù)集更加簡單.這個新的函數(shù)集只包含一些初等函數(shù)，甚至它們具有一個共同的包絡線(如圖3所示，參數(shù)取值ξ=10.0).

(20)

4　討論與總結

比輻射率反演是統(tǒng)計物理學中出現(xiàn)的具有工程應用背景的反問題.本文基于數(shù)學上著名的Laguerre函數(shù)集，為比輻射率反問題發(fā)展了一種新的反演方法： UFS-L方法.新方法是繼現(xiàn)有的UFS-H方法之后的又一種普適函數(shù)方法.其中的普適函數(shù)都是與實際體系無關的純數(shù)學表達式，設定好幾個參數(shù)之后即可以用計算機完成計算.與實際體系有關的只是展開系數(shù)，獲得展開系數(shù)之后通過簡單的求和過程即可獲得比輻射率.由于比輻射率反問題固有的不適定性問題的存在，在處理實際問題時，反演結果往往是很難預估的，兩種獨立方法之間的相互驗證是很有必要的.

對單峰理論譜和雙峰理論譜的數(shù)值計算表明，新方法不僅擁有老方法的所有優(yōu)點，并且跟老方法相比擁有更高的計算精度.究其原因，是因為新方法中導出的Dm(x)函數(shù)屬于初等函數(shù)，比老方法中的特殊函數(shù)Hermite函數(shù)更加簡單，計算更加容易.因此，這個新函數(shù)也可運用在統(tǒng)計物理學中出現(xiàn)的其他反問題(比如比熱-聲子譜反問題、黑體輻射反問題、透射率反問題等)中.

由于這種新方法中每一個展開項都滿足ABC條件，所以它能自動篩選出輻射總功率測量數(shù)據(jù)中的有效信息成分，同時剔除由于測量誤差以及有限測量區(qū)間引起的信息噪音，于是為真實體系的比輻射率反演鋪平了道路.今后如果有更加精密和完善的輻射總功率實驗測量數(shù)據(jù)，運用新方法有望實現(xiàn)首個實際體系的比輻射率反演.

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A New Method for Emissivity Inversion

JI Fengmin1， WANG Xiantong2， WAN Xing2， SHEN Jianmi2

(1.SchoolofMaterialsScienceandEngineering，NingboUniversityofTechnology，Ningbo315016，China；2.SchoolofScience，NingboUniversityofTechnology，Ningbo315211，China)

How to obtain the emissivity of objects is an important research content of the anti telemetry technology. The inverse emissivity problem provides us a convenient way to obtain the emissivity. The purpose of this inverse problem is to get the emissivity according to measured total radiant power， by solving an integral equation. Although an exact solution formula of this inverse problem was derived， it can never be used directly to obtain emissivity in practical inversion. The integral equation requires that the total radiant power must satisfy a so-called asymptotic behavior control condition. The experimental measured total radiant power is impossible to satisfy this ABC condition because of the ill-posed problem. In order to realize the inversion of real system， some concrete methods are necessary. At present， there is only one existing method， that is the universal function set method based on the Hermite functions. In this paper， starting from the famous Laguerre functions， an independent new method is developed for inverse emissivity problem. The new method has all the advantages of the old method. Moreover， numerical calculation shows that the new method has higher accuracy than the old one. It can calculate the theoretical spectrum with more complex structure. Each expansion term in the new method satisfies the asymptotic behavior control condition， so it can automatically filter out the effective information in the experimental total radiant power data. At the same time， the noise of information can be eliminated. This new method is suitable for the inversion of real system. If there are more sophisticated and perfect radiation power measurement data， this new method can be applied to the emissivity inversion for the first real system.

inverse problems in physics； emissivity； asymptotic behavior control condition； universal function set method

0427-7104(2016)04-0403-07

2015-11-13

國家自然科學基金(11447211，10675031)，浙江省新苗人才計劃(2013R422034)

季豐民(1979-)，男，講師，博士，E-mail： JiFengm@163.com.

O 411.1

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