張曉克重慶通信學院

基于稀疏表示的圖像超分辨率

張曉克
重慶通信學院

本文主要研究了基于稀疏表示的超分辨率重建算法。此算法分別要將高低分辨率圖像訓練成兩個圖像字典，再利用稀疏表示算法為每一幅分辨率圖像在低分辨率字典中估計出稀疏系數(shù)，最后利用得到估計的系數(shù)和高分辨率字典進行高分辨率圖像重建。

1　引言

圖像超分辨率是指將一組低分辨率圖像重建為一幅高分辨率圖像的技術。而現(xiàn)在的圖像超分辨率算法研究，主要有基于插值、基于重建和基于學習這三種方法及其組合，其中基于插值的有雙線性插值、雙三次插值等方法；基于重建的有凸集投影、貝葉斯分析、正則化等方法；基于學習的有example-based、鄰域嵌入、稀疏表示等方法。本文中基于稀疏表示的超分辨率算法是要將高低分辨率圖像訓練成兩個圖像字典，再利用稀疏表示算法為每一幅分辨率圖像在低分辨率字典中估計出稀疏系數(shù)，最后利用得到估計的系數(shù)和高分辨率字典進行高分辨率圖像重建。

2　稀疏表示理論

圖像的稀疏表示指的是圖像可近乎完全地由數(shù)量非常少的一組原子圖像塊通過線性組合來表示，可將所有的原子圖像塊集合稱為一個過完備字典。過完備字典下的圖像稀疏表示的中心思想是，能夠找到一個能反映圖像的某種結構特征信息的過完備字典，并且在這個字典上能夠用一種稀疏的表示來近似原始的圖像。圖像稀疏表示現(xiàn)階段在降噪、壓縮、特征提取、模式識別、圖像融合、圖像修復和填充等領域都已有廣泛的應用。

2.1圖像稀疏表示

根據(jù)圖像退化理論，我們可以得到一個從高分辨率圖像到低分辨率圖像的觀測模型：

其中，y表示高分辨率圖像，x表示低分辨率圖像，A表示觀測矩陣。

通過上式我們知道，圖像超分辨率重建問題就是對上式的一個求解過程，在稀疏表示理論中，如果滿足特定條件，上式是存在唯一解的。

現(xiàn)設某個圖像塊的向量表示為 x∈Rm；過完備字典為D∈Rm×n；用‖·‖0表示x中非零元素的個數(shù)，σ表示n列向量線性相關的最小值，論證得到，當‖α‖0＜σ/2時，對于圖像塊向量y的稀疏表示α∈Rn是唯一的。即

m in‖α‖0，s.t.x=Dα

稀疏表示模型是一個非常有意義的數(shù)據(jù)表示模型，其目的是為了能夠將低分辨率圖像塊用最少量的特定字典中的原子的線性組合來表示，在稀疏表示中，字典設計的優(yōu)劣將直接影響稀疏分解的性能和圖像重建的質量。

2.2生成字典

生成字典是為了反映圖像內(nèi)部結構信息的幾何特征。在這里，我們先了解下幾個專業(yè)名詞：原子指的是字典的列向量；如果字典D中的原子恰好能夠構成n維的歐式空間，則稱為完備字典；如果字典中m大于n，字典就是冗余的，若此時能夠保證構成n維的歐式空間，則稱為過完備字典。現(xiàn)階段常用的生成字典的方法包括：針對已知基函數(shù)構造字典和利用機器學習的方法生成字典。

另外，傳統(tǒng)的字典中往往只包含單一的結構信息，而這樣就不能映圖像中某些細節(jié)的幾何特征信息。因此有人提出，可根據(jù)圖像中不同的結構特征，建立不同成分的字典，對圖像中不同結構的信息都可以最終得到最稀疏的表示。且除了稀疏性之外，對于不同的子成分字典，相互之間要有明確的不相干性。

3　基于稀疏表示的圖像重建算法

基于稀疏表示的超分辨率重建算法涉及到稀疏編碼和字典更新兩個過程。想要讓一個圖像塊用字典中的原子來稀疏表示，字典的作用是至關重要的?，F(xiàn)在很多的算法都是采用已知的字典，比如DCT字典、wavelet字典等等，這種方法的缺點就是字典沒有自適應能力，只能對應具有特定結構信息的圖像，一旦圖像中的結構信息不滿足特定條件，那么重建后的圖像質量就無法滿足我們的需求。

在這里，我們想要字典具有自適應能力，能夠隨著圖像特征信息的變化，自身做出相應的改變，從而使字典的適應能力得到大大的提高。

這里就有一個字典更新的問題，因此在超分辨率圖像重建過程中就要面對具有兩個未知量的情況，假設過完備字典D和稀疏系數(shù)α為未知的，輸入的觀測到的低分辨率圖像x是已知的。

第一步：對字典D進行初始化處理，利用已知的先驗知識，即觀測到的低分辨率圖像x，通過稀疏表示模型，求解得到在字典D中的稀疏系數(shù)α。

第二步：利用求解得到的稀疏系數(shù)α，反過來再對字典D進行更新。通過設定適當?shù)牡螖?shù)或者選定適當?shù)拈撝?，最終得到優(yōu)化后的字典D和稀疏系數(shù)α。

其中，我們采用的稀疏編碼方式和字典更新的方法分別為：

稀疏編碼方程：x=argm in‖y-Dα‖2s.t.‖α‖1≤σ/2

更新字典：D=argmin‖x-Dα‖2

本文中采用的基于稀疏表示和字典更新的超分辨率重建算法要面臨高低分辨率具有兩個不同的特征空間這樣的情況，因此，在訓練和更新字典的過程中就要采用更多的約束條件，只有這樣才能使得高低分辨率圖像對應的兩個特征空間具有相同的稀疏表示，一旦字典的訓練更新，就可利用觀測到的低分辨率圖像在低分辨率字典中利用一些搜索算法，得到其的稀疏表示，再利用得到的稀疏表示系數(shù)來完成高分辨率圖像的重建過程。

4　結束語

近幾年來，基于稀疏表示和自適應字典的超分辨率圖像重建算法獲得了很多關注，越來越多的人投入到此領域的研究當中，且已經(jīng)相繼出現(xiàn)了許多有價值的研究成果。但由于超分辨率圖像重建技術其本身所具有的復雜性、多樣性，目前為止該方向的研究成果很少應用到實踐當中，還具有很大的提升空間。

［1］曾俊國.基于稀疏鄰域嵌入法的圖像超分辨技術研究，科學技術與工程，2013年，第7期

［2］梅江.基于稀疏表征的圖像超分辨算法研究，電子設計工程，2011年，第18期

［3］寧貝佳.具有隨機位移的多幀圖像超分辨重建快速算法，西安電子科技大學學報，2012年，第1期