史小平，畢顯婷，楊 婧（哈爾濱工業(yè)大學控制與仿真中心，黑龍江　哈爾濱150080）

基于擴張狀態(tài)觀測器的航天器時延狀態(tài)反饋控制

史小平，畢顯婷，楊 婧
（哈爾濱工業(yè)大學控制與仿真中心，黑龍江哈爾濱150080）

研究了剛性航天器的時延姿態(tài)穩(wěn)定控制問題。首先建立了基于修正羅德里格斯參數(shù)（modified rodrigues parameters，M RPs）的航天器非線性狀態(tài)模型，具有確定上界的時延項在狀態(tài)反饋控制律中體現(xiàn)。通過構造Lyapunov-Krasovski i泛函進行穩(wěn)定性分析，由此得到保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的線性矩陣不等式，依此設計狀態(tài)反饋控制系數(shù)矩陣?？紤]到航天器三軸間的耦合非線性項，利用擴張狀態(tài)觀測器（extended state observer，ESO）方法，設計了二階非線性擴張狀態(tài)觀測器，以獲得航天器系統(tǒng)內部狀態(tài)向量并用于狀態(tài)反饋控制律。為便于工程實際應用，仿真中將M RPs響應輸出轉換為歐拉角響應，仿真結果表明，本文所設計的控制系統(tǒng)能保證航天器三軸姿態(tài)穩(wěn)定。

時延；Lyapunov-Krasovski i泛函；修正羅德里格斯參數(shù)；擴張狀態(tài)觀測器

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0 引 言

航天器在三軸姿態(tài)機動過程中面臨的一個重要問題是三軸間的非線性耦合，對于這種本質非線性問題，通常需要使用非線性控制方法，如反步法，滑模自適應，李雅普諾夫方法等［1］。另一方面，在實際工程中不可避免的會遇到因執(zhí)行器開啟時滯、傳感器響應以及線路傳輸引入的時延，這會導致系統(tǒng)振蕩甚至發(fā)散，嚴重影響了航天器性能［2］。從本質上講，時延的引入導致系統(tǒng)模型從常微分方程變?yōu)闀r滯微分方程，方程的解變得更加復雜［3 4］。因此，研究非線性系統(tǒng)的時延控制在理論和工程上都具有重要意義。目前針對非線性系統(tǒng)時延問題的解決思路主要包括兩類：一類文獻將時延項作為系統(tǒng)中的參數(shù)不確定項進行魯棒控制，在時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中又將問題分為時滯獨立和時滯依賴兩種情況［5 6］，反饋系數(shù)利用線性矩陣不等式方法確定［7 10］；另一類文獻采用預測的方式對系統(tǒng)狀態(tài)進行預測并進行狀態(tài)反饋控制［1114］。本文基于第一種研究思路，對連續(xù)非線性系統(tǒng)時延模型進行穩(wěn)定控制。

文獻［7］提出一種用于線性時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的完全型Lyapunov-Krasovski i泛函構造法，在此基礎上，文獻［8］對其進行改進，提出在時延未知有界的情況下，將航天器的非線性模型分為線性和非線性項兩部分考慮，以線性部分為標準型，非線性項作為干擾項，應用完全型Lyapunov-Krasovski i泛函，并計算保證非線性系統(tǒng)的時滯穩(wěn)定性的吸引域，控制律采用直接狀態(tài)反饋方法。文獻［9］考慮了未知有界的時變時延，在系統(tǒng)模型中還考慮了乘性高斯噪聲。文獻［10］考慮了狀態(tài)觀測器設計，采用了Chebyshev譜分解方法，首先將時滯微分方程等價為抽象常微分方程，利用Chebyshev譜對無限小生成元進行近似而得到有限解。但是該算法計算復雜。相對而言，非線性狀態(tài)擴張觀測器的實現(xiàn)更為簡單［15］。

考慮到上述文獻研究成果中存在的不足之處，本文基于修正羅德里格斯參數(shù)對航天器進行建模，針對由執(zhí)行器響應延遲引入的時延，利用Lyapunov-Krasovski i方法設計時延狀態(tài)反饋控制器，反饋狀態(tài)由非線性擴張狀態(tài)觀測器對航天器姿態(tài)模型中的非線性項進行估計。

1 航天器數(shù)學模型建立

本文以反作用飛輪為執(zhí)行機構，產生反作用控制力矩對衛(wèi)星姿態(tài)進行控制，研究剛性航天器非線性模型背景下的時延問題。剛性航天器的姿態(tài)動力學方程為

式中，J∈R3×3是剛體的慣量矩陣；u（t）∈R3為控制輸入；hw=［hw1hw2hw3］T為反作用飛輪的角動量的矢量形式，其中下標“w”代表飛輪相關量，-˙hw項表示由反作用飛輪產生的作用到衛(wèi)星上的內部控制力矩u。ω（t）= ［ω1ω2ω3］T∈R3為航天器角速度在慣性坐標系下的矢量形式；ω×（t）∈R3×3為ω（t）的斜對稱矩陣，具體形式為

基于修正的羅德里格斯參數(shù)描述的航天器運動學方程為

式中，σbi（t）=［σ1σ2σ3］T∈R3為航天器本體坐標系相對于慣性坐標系的修正羅德里格斯參數(shù)集。方程（3）中的矩陣G（σbi）∈R3×3，具體形式為取狀態(tài)向量因此，對剛性航天器的動力學方程（1）和運動學方程（3）整理，得到狀態(tài)空間模型為

其中

2 時延狀態(tài)反饋控制器設計

本文采用狀態(tài)反饋控制，考慮到實際工程中執(zhí)行器滯后引入的時延，狀態(tài)反饋控制器具有如下形式：式中，τ為未知的時間延遲，但是其上界τm ax已知，即滿足0＜τ≤τm ax。u（t）中σbi（t-τ）和ω（t-τ）可以由后文ES O估計（t）和（t）得到的。

將方程（6）代入式（5），并考慮初值條件，狀態(tài)方程可以改寫為

引理1（Lyapunov-Krasovski i）［7］對于方程，若存在定義于D=｛（t，）：0≤t＜+∞，∈Ω｝上的泛函V（t，），以及定義在區(qū)間［0，l）（l＞0）上的連續(xù)正定函數(shù)（i=1，2，3）使得滿足以下性質：

則方程（7）的零解一致漸近穩(wěn)定。

引理2（Schur補）［5］對于對稱矩陣S，即S=ST，則不等式

與下列兩個條件是等價的

引理3［5］對于任意a（t）∈Rn，b（t）∈Rm，以及N∈Rn×m定義在區(qū)間Ι上，那么對于任意矩陣M∈Rn×n，Y∈Rn×m，R∈Rm×m，若滿足

則下列不等式成立：

假設1 非線性項在穩(wěn)定點區(qū)域滿足Lipschitz條件

式中，γ（‖x（t）‖）為常數(shù)且為正值，且其上界為γm ax。

定理1 在時延狀態(tài)反饋狀態(tài)方程（7）中，對于任意時延0＜τ≤τm ax，系統(tǒng)能夠保持漸近穩(wěn)定的充分條件是，存在正定對稱矩陣P，Q，R，R1＞0，以及任意矩陣M，M1，Y，使得下列線性矩陣不等式成立

式中，*代表相應的對稱項。

證明 選取Lyapunov-Krasovski i泛函

式中

對式（16）～式（18）在系統(tǒng)狀態(tài)軌跡式（7）上求導數(shù)，并根據萊布尼茲積分準則，整理得到

根據引理3，如果存在下列矩陣不等式成立

根據假設1，可得

其中

由于

將方程（23）代入式（21）得到

其中

利用Schur補引理，將（25）重寫為

式中

如果Ψ1＜0，P，Q，R，R1＞0，由引理1知式（7）是一致漸近穩(wěn)定的，即定理1得證。證畢

方程（7）的吸引域Ω可以利用文獻［8］的方法進行計算。

3 擴張狀態(tài)觀測器設計

在狀態(tài)反饋控制律式（6）的設計中，其有效性基于系統(tǒng)的M R Ps參數(shù)σbi（t）以及角速度ω（t）均為已知的前提，因此在航天器內部狀態(tài)無法獲得的情況下，需要設計狀態(tài)觀測器。由于航天器模型式（7）中含有非線性項f（x（t）），本文采用非線性擴張狀態(tài)觀測器對非線性項精確估計。將模型中的非線性項f（x（t））作為干擾進行擴張。

考慮航天器模型（7），定義非線性項f（x（t））為擾動，根據擴張狀態(tài)觀測器理論［15］，可以構造如下狀態(tài)觀測非線性系統(tǒng)：

方程（30）中的fali（e，αi，δi）（i=1，2）為韓京清教授根據實際工程經驗給出的非線性函數(shù)，其具體形式為

式中，要求參數(shù)0＜αi＜1，δi＞0。實際仿真中，對參數(shù)β1，β2進行合理取值即可得到性能良好的觀測器對系統(tǒng)狀態(tài)實時估計。

4 仿真驗證

下面所設計的狀態(tài)反饋控制器的有效性進行仿真驗證。

航天器慣量矩陣J=diag（10，5.8，15.2），以三正交反作用飛輪作為姿態(tài)機動執(zhí)行器，其轉動慣量（單位：kg·m2）為0.180 1I3×3，執(zhí)行器延遲最大值0.53 s，系統(tǒng)初始姿態(tài)σ0= ［-0.005-0.010.01］T，初始角速度ω0=［-0.001 6 -0.002 0.002］T，對應狀態(tài)初值x（0）=［-0.005 -0.01 0.01 -0.000 4 -0.000 5 0.000 5］T。根據定理1求解線性矩陣不等式組，得到狀態(tài)反饋控制系數(shù)K1= -2.020 4I3×3，K2=-1.025 8I3×3，Lipschitz上界γm ax= 0.191。狀態(tài)觀測器參數(shù)α1=α2=0.2，β1=120，β2=1 000，δ1=δ2=0.2。本文選取觀測矩陣C=I6×6。為便于工程應用，本文采用文獻［16］中的方法將M R Ps轉換成歐拉角輸出并給出仿真曲線。

由圖1～圖3可以看出，當執(zhí)行器引入的延時時間為0.5 s時，航天器姿態(tài)角和姿態(tài)角速度在仿真時間大約5 s后達到穩(wěn)定，說明本文提出的控制方法可以很好的保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。圖4為三軸控制力矩，由曲線可知飛輪輸出力矩小于0.4 N·m，可以滿足實際工程需要。

圖1 系統(tǒng)姿態(tài)響應輸出（τ=0.5 s）

圖2 系統(tǒng)姿態(tài)角響應輸出（τ=0.5 s）

圖3 姿態(tài)角速度響應輸出（τ=0.5 s）

圖4 三軸控制力矩（τ=0.5 s）

4 結 論

本文對帶有執(zhí)行器時延的剛性航天器非線性系統(tǒng)模型進行狀態(tài)反饋控制，在Lyapunov-Krasovski i穩(wěn)定性理論的基礎上得到了航天器時延姿態(tài)控制的一致漸進穩(wěn)定性定理，進一步利用線性矩陣不等式方法求解狀態(tài)反饋控制參數(shù)，狀態(tài)向量由非線性擴張狀態(tài)觀測器獲得，數(shù)學仿真驗證了這一過程的有效性。在仿真中增加了航天器姿態(tài)歐拉角響應輸出曲線以便于理解，結果表明，所設計的姿態(tài)穩(wěn)定系統(tǒng)能夠保證航天器從初始姿態(tài)快速達到穩(wěn)定姿態(tài)。本文提出的時延穩(wěn)定性定理基于航天器的連續(xù)模型，在下一步的工作中將考慮對非線性連續(xù)模型的等效離散化，在此基礎上研究對航天器的網絡控制時延問題。

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畢顯婷（1988-），通訊作者，女，博士研究生，主要研究方向為航天器智能控制。

E-mail：Bixt261@163.com

楊 婧（1989-），女，博士研究生，主要研究方向為航天器智能控制、容錯控制。

E-mail：yangj ing_2006_17@126.com

Spacecraft time-delay state feedback control based on extended state observer

S HI Xiao-ping，BI Xian-ting，Y A N G Jing
（Control and Simulation Center，Harbin Institute of Technology，Harbin 150080，China）

This paper researches the problem of rigid body spacecraft time-delay attitude stabilization. Firstly，the spacecraft nonlinear state model based on modified rodrigues parameters（M R Ps）is established，the time delay term with certain upper boundary is modeled in state feedback control law.Lyapunov-Krasovskii functionalis constructed for this nonlinear time-delay system to achieve asymptotic stabilization，linear matrix inequalities are accordingly obtained and the state feedback control coefficients matrixes are thereby computed with.Concerning the three-axis coupling nonlinear terms in spacecraft，the extended state observer（ES O）method is used to design a two rank nonlinear ES O，the spacecraft system internal state vector is therefore acquired and used in the aforementioned state feedback control law.For the convenience of engineering application，the MRPs state vectoris converted to Euler anglesin simulation.The simulation results show the efficient of the state feedback controllaw with three-axis attitude asymptotic stabilization achieved.

time-delay；Lyapunov-Krasovski ifunctional；modified rodrigues parameters（M R Ps）；extended state observer（ES O）

T P 13

A

10.3969/j.issn.1001-506 X.2016.03.23

1001-506 X（2016）03-0624-05

2015-02-03；

2015-08-16；網絡優(yōu)先出版日期：2015-12-29。

網絡優(yōu)先出版地址：http：//w w w.cnki.net/kcms/detail/11.2422.T N.20151229.1816.014.html

史小平（1965-），男，教授，博士，主要研究方向為飛行器智能控制、復雜系統(tǒng)仿真。

E-mail：sxp@hit.edu.cn