史小平，畢顯婷，楊 婧（哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制與仿真中心，黑龍江　哈爾濱150080）

基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的航天器時延狀態(tài)反饋控制

史小平，畢顯婷，楊 婧
（哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制與仿真中心，黑龍江哈爾濱150080）

研究了剛性航天器的時延姿態(tài)穩(wěn)定控制問題。首先建立了基于修正羅德里格斯參數(shù)（modified rodrigues parameters，M RPs）的航天器非線性狀態(tài)模型，具有確定上界的時延項(xiàng)在狀態(tài)反饋控制律中體現(xiàn)。通過構(gòu)造Lyapunov-Krasovski i泛函進(jìn)行穩(wěn)定性分析，由此得到保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的線性矩陣不等式，依此設(shè)計狀態(tài)反饋控制系數(shù)矩陣?？紤]到航天器三軸間的耦合非線性項(xiàng)，利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（extended state observer，ESO）方法，設(shè)計了二階非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器，以獲得航天器系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)向量并用于狀態(tài)反饋控制律。為便于工程實(shí)際應(yīng)用，仿真中將M RPs響應(yīng)輸出轉(zhuǎn)換為歐拉角響應(yīng)，仿真結(jié)果表明，本文所設(shè)計的控制系統(tǒng)能保證航天器三軸姿態(tài)穩(wěn)定。

時延；Lyapunov-Krasovski i泛函；修正羅德里格斯參數(shù)；擴(kuò)張狀態(tài)觀測器

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0 引 言

航天器在三軸姿態(tài)機(jī)動過程中面臨的一個重要問題是三軸間的非線性耦合，對于這種本質(zhì)非線性問題，通常需要使用非線性控制方法，如反步法，滑模自適應(yīng)，李雅普諾夫方法等［1］。另一方面，在實(shí)際工程中不可避免的會遇到因執(zhí)行器開啟時滯、傳感器響應(yīng)以及線路傳輸引入的時延，這會導(dǎo)致系統(tǒng)振蕩甚至發(fā)散，嚴(yán)重影響了航天器性能［2］。從本質(zhì)上講，時延的引入導(dǎo)致系統(tǒng)模型從常微分方程變?yōu)闀r滯微分方程，方程的解變得更加復(fù)雜［3 4］。因此，研究非線性系統(tǒng)的時延控制在理論和工程上都具有重要意義。目前針對非線性系統(tǒng)時延問題的解決思路主要包括兩類：一類文獻(xiàn)將時延項(xiàng)作為系統(tǒng)中的參數(shù)不確定項(xiàng)進(jìn)行魯棒控制，在時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中又將問題分為時滯獨(dú)立和時滯依賴兩種情況［5 6］，反饋系數(shù)利用線性矩陣不等式方法確定［7 10］；另一類文獻(xiàn)采用預(yù)測的方式對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測并進(jìn)行狀態(tài)反饋控制［1114］。本文基于第一種研究思路，對連續(xù)非線性系統(tǒng)時延模型進(jìn)行穩(wěn)定控制。

文獻(xiàn)［7］提出一種用于線性時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的完全型Lyapunov-Krasovski i泛函構(gòu)造法，在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［8］對其進(jìn)行改進(jìn)，提出在時延未知有界的情況下，將航天器的非線性模型分為線性和非線性項(xiàng)兩部分考慮，以線性部分為標(biāo)準(zhǔn)型，非線性項(xiàng)作為干擾項(xiàng)，應(yīng)用完全型Lyapunov-Krasovski i泛函，并計算保證非線性系統(tǒng)的時滯穩(wěn)定性的吸引域，控制律采用直接狀態(tài)反饋方法。文獻(xiàn)［9］考慮了未知有界的時變時延，在系統(tǒng)模型中還考慮了乘性高斯噪聲。文獻(xiàn)［10］考慮了狀態(tài)觀測器設(shè)計，采用了Chebyshev譜分解方法，首先將時滯微分方程等價為抽象常微分方程，利用Chebyshev譜對無限小生成元進(jìn)行近似而得到有限解。但是該算法計算復(fù)雜。相對而言，非線性狀態(tài)擴(kuò)張觀測器的實(shí)現(xiàn)更為簡單［15］。

考慮到上述文獻(xiàn)研究成果中存在的不足之處，本文基于修正羅德里格斯參數(shù)對航天器進(jìn)行建模，針對由執(zhí)行器響應(yīng)延遲引入的時延，利用Lyapunov-Krasovski i方法設(shè)計時延狀態(tài)反饋控制器，反饋狀態(tài)由非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對航天器姿態(tài)模型中的非線性項(xiàng)進(jìn)行估計。

1 航天器數(shù)學(xué)模型建立

本文以反作用飛輪為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，產(chǎn)生反作用控制力矩對衛(wèi)星姿態(tài)進(jìn)行控制，研究剛性航天器非線性模型背景下的時延問題。剛性航天器的姿態(tài)動力學(xué)方程為

式中，J∈R3×3是剛體的慣量矩陣；u（t）∈R3為控制輸入；hw=［hw1hw2hw3］T為反作用飛輪的角動量的矢量形式，其中下標(biāo)“w”代表飛輪相關(guān)量，-˙hw項(xiàng)表示由反作用飛輪產(chǎn)生的作用到衛(wèi)星上的內(nèi)部控制力矩u。ω（t）= ［ω1ω2ω3］T∈R3為航天器角速度在慣性坐標(biāo)系下的矢量形式；ω×（t）∈R3×3為ω（t）的斜對稱矩陣，具體形式為

基于修正的羅德里格斯參數(shù)描述的航天器運(yùn)動學(xué)方程為

式中，σbi（t）=［σ1σ2σ3］T∈R3為航天器本體坐標(biāo)系相對于慣性坐標(biāo)系的修正羅德里格斯參數(shù)集。方程（3）中的矩陣G（σbi）∈R3×3，具體形式為取狀態(tài)向量因此，對剛性航天器的動力學(xué)方程（1）和運(yùn)動學(xué)方程（3）整理，得到狀態(tài)空間模型為

其中

2 時延狀態(tài)反饋控制器設(shè)計

本文采用狀態(tài)反饋控制，考慮到實(shí)際工程中執(zhí)行器滯后引入的時延，狀態(tài)反饋控制器具有如下形式：式中，τ為未知的時間延遲，但是其上界τm ax已知，即滿足0＜τ≤τm ax。u（t）中σbi（t-τ）和ω（t-τ）可以由后文ES O估計（t）和（t）得到的。

將方程（6）代入式（5），并考慮初值條件，狀態(tài)方程可以改寫為

引理1（Lyapunov-Krasovski i）［7］對于方程，若存在定義于D=｛（t，）：0≤t＜+∞，∈Ω｝上的泛函V（t，），以及定義在區(qū)間［0，l）（l＞0）上的連續(xù)正定函數(shù)（i=1，2，3）使得滿足以下性質(zhì)：

則方程（7）的零解一致漸近穩(wěn)定。

引理2（Schur補(bǔ)）［5］對于對稱矩陣S，即S=ST，則不等式

與下列兩個條件是等價的

引理3［5］對于任意a（t）∈Rn，b（t）∈Rm，以及N∈Rn×m定義在區(qū)間Ι上，那么對于任意矩陣M∈Rn×n，Y∈Rn×m，R∈Rm×m，若滿足

則下列不等式成立：

假設(shè)1 非線性項(xiàng)在穩(wěn)定點(diǎn)區(qū)域滿足Lipschitz條件

式中，γ（‖x（t）‖）為常數(shù)且為正值，且其上界為γm ax。

定理1 在時延狀態(tài)反饋狀態(tài)方程（7）中，對于任意時延0＜τ≤τm ax，系統(tǒng)能夠保持漸近穩(wěn)定的充分條件是，存在正定對稱矩陣P，Q，R，R1＞0，以及任意矩陣M，M1，Y，使得下列線性矩陣不等式成立

式中，*代表相應(yīng)的對稱項(xiàng)。

證明 選取Lyapunov-Krasovski i泛函

式中

對式（16）～式（18）在系統(tǒng)狀態(tài)軌跡式（7）上求導(dǎo)數(shù)，并根據(jù)萊布尼茲積分準(zhǔn)則，整理得到

根據(jù)引理3，如果存在下列矩陣不等式成立

根據(jù)假設(shè)1，可得

其中

由于

將方程（23）代入式（21）得到

其中

利用Schur補(bǔ)引理，將（25）重寫為

式中

如果Ψ1＜0，P，Q，R，R1＞0，由引理1知式（7）是一致漸近穩(wěn)定的，即定理1得證。證畢

方程（7）的吸引域Ω可以利用文獻(xiàn)［8］的方法進(jìn)行計算。

3 擴(kuò)張狀態(tài)觀測器設(shè)計

在狀態(tài)反饋控制律式（6）的設(shè)計中，其有效性基于系統(tǒng)的M R Ps參數(shù)σbi（t）以及角速度ω（t）均為已知的前提，因此在航天器內(nèi)部狀態(tài)無法獲得的情況下，需要設(shè)計狀態(tài)觀測器。由于航天器模型式（7）中含有非線性項(xiàng)f（x（t）），本文采用非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對非線性項(xiàng)精確估計。將模型中的非線性項(xiàng)f（x（t））作為干擾進(jìn)行擴(kuò)張。

考慮航天器模型（7），定義非線性項(xiàng)f（x（t））為擾動，根據(jù)擴(kuò)張狀態(tài)觀測器理論［15］，可以構(gòu)造如下狀態(tài)觀測非線性系統(tǒng)：

方程（30）中的fali（e，αi，δi）（i=1，2）為韓京清教授根據(jù)實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)給出的非線性函數(shù)，其具體形式為

式中，要求參數(shù)0＜αi＜1，δi＞0。實(shí)際仿真中，對參數(shù)β1，β2進(jìn)行合理取值即可得到性能良好的觀測器對系統(tǒng)狀態(tài)實(shí)時估計。

4 仿真驗(yàn)證

下面所設(shè)計的狀態(tài)反饋控制器的有效性進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

航天器慣量矩陣J=diag（10，5.8，15.2），以三正交反作用飛輪作為姿態(tài)機(jī)動執(zhí)行器，其轉(zhuǎn)動慣量（單位：kg·m2）為0.180 1I3×3，執(zhí)行器延遲最大值0.53 s，系統(tǒng)初始姿態(tài)σ0= ［-0.005-0.010.01］T，初始角速度ω0=［-0.001 6 -0.002 0.002］T，對應(yīng)狀態(tài)初值x（0）=［-0.005 -0.01 0.01 -0.000 4 -0.000 5 0.000 5］T。根據(jù)定理1求解線性矩陣不等式組，得到狀態(tài)反饋控制系數(shù)K1= -2.020 4I3×3，K2=-1.025 8I3×3，Lipschitz上界γm ax= 0.191。狀態(tài)觀測器參數(shù)α1=α2=0.2，β1=120，β2=1 000，δ1=δ2=0.2。本文選取觀測矩陣C=I6×6。為便于工程應(yīng)用，本文采用文獻(xiàn)［16］中的方法將M R Ps轉(zhuǎn)換成歐拉角輸出并給出仿真曲線。

由圖1～圖3可以看出，當(dāng)執(zhí)行器引入的延時時間為0.5 s時，航天器姿態(tài)角和姿態(tài)角速度在仿真時間大約5 s后達(dá)到穩(wěn)定，說明本文提出的控制方法可以很好的保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。圖4為三軸控制力矩，由曲線可知飛輪輸出力矩小于0.4 N·m，可以滿足實(shí)際工程需要。

圖1 系統(tǒng)姿態(tài)響應(yīng)輸出（τ=0.5 s）

圖2 系統(tǒng)姿態(tài)角響應(yīng)輸出（τ=0.5 s）

圖3 姿態(tài)角速度響應(yīng)輸出（τ=0.5 s）

圖4 三軸控制力矩（τ=0.5 s）

4 結(jié) 論

本文對帶有執(zhí)行器時延的剛性航天器非線性系統(tǒng)模型進(jìn)行狀態(tài)反饋控制，在Lyapunov-Krasovski i穩(wěn)定性理論的基礎(chǔ)上得到了航天器時延姿態(tài)控制的一致漸進(jìn)穩(wěn)定性定理，進(jìn)一步利用線性矩陣不等式方法求解狀態(tài)反饋控制參數(shù)，狀態(tài)向量由非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器獲得，數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證了這一過程的有效性。在仿真中增加了航天器姿態(tài)歐拉角響應(yīng)輸出曲線以便于理解，結(jié)果表明，所設(shè)計的姿態(tài)穩(wěn)定系統(tǒng)能夠保證航天器從初始姿態(tài)快速達(dá)到穩(wěn)定姿態(tài)。本文提出的時延穩(wěn)定性定理基于航天器的連續(xù)模型，在下一步的工作中將考慮對非線性連續(xù)模型的等效離散化，在此基礎(chǔ)上研究對航天器的網(wǎng)絡(luò)控制時延問題。

［1］K halil H.N onlinear systems［M］.3th ed.Beij ing：Publishing H ouse of Electronics Industry，2011：378-406.（K halil H.非線性系統(tǒng)［M］.3版.北京：電子工業(yè)出版社，2011：378-406.）

［2］Bahra mi S，Nam var M，Aghili F.Attitude control of satellites with delay in attitude measurement［C］∥Proc.ofthe International Conference of Robotics and Automation，2013：947－952.

［3］Naito T，H ara T.Differential equations with time lag-introduction to functional differential equations［M］.Bei j ing：Science Press，2013：55-59，80－87.（內(nèi)藤敏機(jī)，原惟行.時滯微分方程：泛函微分方程引論.北京：科學(xué)出版社，2013：55-59，80－87.）

［4］Krstic M.Delay com pensation for nonlinear，adaptive，and P E D systems［M］.Boston：Birkhauser，2009：153－169.

［5］Y uL.Robust control-L M I approach［M］.Bei j ing：Tsinghua University Press，2002：8－9，158-174.（俞立.魯棒控制：線性矩陣不等式處理方法［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2002：8-9，158-174.）

［6］Sun J Q，Ding Q.A dvancesin analysis and control of time-delayed dyna micalsystems［M］.Beij ing：Higher Education Press，2013：1-6.（孫建橋，丁千.時滯動力系統(tǒng)的分析與控制［M］.北京：高等教育出版社，2013：1-6.）

［7］K haritonov V，Zhabko A.Lyapunov-Krasovskii approach to robust stability analysis of time-delay systems［J］.A utomatica，2003，39（1）：15-20.

［8］Chunodkar A，M aruthi A.Attitude stabilization with unknown bounded delay in feedback control im plementation［J］.Journal of Guidance，Control，and D yna mics，2011，34（2）：533-542.

［9］Sa miei E，Butcher E A.Suboptimal delayed feedback attitude stabilization of rigid spacecraft with stochastic input torques and unknown time-varying delays［C］∥Proc.of the A A S/AIA A Astrodyna mics Specialist Conference，2013：813-837.

［10］Torkamani S，Nazari M.O bserver-based delay feedback attitude control for single and multi-actuator maneuvers［C］∥Proc.of the A merican Control Conference，2013：964-969.

［11］Krstic M.Input delay co m pensation for forward co m plete and strict-feed forward nonlinear systems［J］.A utom atic Control，2010，55（2）：287-303.

［12］Karafyllis I，Krstic M.N onlinear stabilizaion under sam pled and delayed measurements，and with inputs subject［J］.A utom atic Control，2012，57（5）：1141-1154.

［13］Teng X X，Yamashita Y.Novel O D E-type nonl inear S mith predictor for networked control systems with time-varying delay［C］∥Proc.of the Control&Automation，2011：19-24.

［14］Bekiaris-Liberis N.，Krstic M.Co m pensation of state-dependent delays under local stabilizability assu m ption［C］∥Proc.of the A merican Control Conference，2012：3932-3937.

［15］Y uan G P，Shi X P，Li L.Spacecraft adaptive attitude control based on extended state observer［J］.Chinese Space Science and Technology，2011，31（5）：9-17.（袁國平，史小平，李隆.基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的航天器自適應(yīng)姿態(tài)控制［J］.中國空間科學(xué)技術(shù)，2011，31（5）：9-17.）

［16］Schaub H，Junkins J L.M atlab toolbox for rigid body kinematics［C］∥Proc.of the9th A A S/AIA A Astrodyna mics Specialist Conference，1999：99-139.

畢顯婷（1988-），通訊作者，女，博士研究生，主要研究方向?yàn)楹教炱髦悄芸刂啤?/p>

E-mail：Bixt261@163.com

楊 婧（1989-），女，博士研究生，主要研究方向?yàn)楹教炱髦悄芸刂?、容錯控制。

E-mail：yangj ing_2006_17@126.com

Spacecraft time-delay state feedback control based on extended state observer

S HI Xiao-ping，BI Xian-ting，Y A N G Jing
（Control and Simulation Center，Harbin Institute of Technology，Harbin 150080，China）

This paper researches the problem of rigid body spacecraft time-delay attitude stabilization. Firstly，the spacecraft nonlinear state model based on modified rodrigues parameters（M R Ps）is established，the time delay term with certain upper boundary is modeled in state feedback control law.Lyapunov-Krasovskii functionalis constructed for this nonlinear time-delay system to achieve asymptotic stabilization，linear matrix inequalities are accordingly obtained and the state feedback control coefficients matrixes are thereby computed with.Concerning the three-axis coupling nonlinear terms in spacecraft，the extended state observer（ES O）method is used to design a two rank nonlinear ES O，the spacecraft system internal state vector is therefore acquired and used in the aforementioned state feedback control law.For the convenience of engineering application，the MRPs state vectoris converted to Euler anglesin simulation.The simulation results show the efficient of the state feedback controllaw with three-axis attitude asymptotic stabilization achieved.

time-delay；Lyapunov-Krasovski ifunctional；modified rodrigues parameters（M R Ps）；extended state observer（ES O）

T P 13

A

10.3969/j.issn.1001-506 X.2016.03.23

1001-506 X（2016）03-0624-05

2015-02-03；

2015-08-16；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2015-12-29。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：//w w w.cnki.net/kcms/detail/11.2422.T N.20151229.1816.014.html

史小平（1965-），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)轱w行器智能控制、復(fù)雜系統(tǒng)仿真。

E-mail：sxp@hit.edu.cn