鄧輝詠，王　炎，郝　剛，孫海濤

(1.軍械工程學(xué)院，河北 石家莊　050003；2.66442部隊分庫，山西 陽泉　045233)

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一種適用復(fù)雜非線性黑箱系統(tǒng)的參數(shù)靈敏度分析方法

鄧輝詠1，王炎2，郝剛1，孫海濤1

(1.軍械工程學(xué)院，河北 石家莊050003；2.66442部隊分庫，山西 陽泉045233)

主要研究了全局靈敏度分析法在解決實際問題中的優(yōu)點和不足，提出了基于均值和方差的多個局部靈敏度參數(shù)評價全局靈敏度，并用多屬性決策機制進(jìn)行靈敏度排序的雙參數(shù)靈敏度分析方法。該方法克服了單一參數(shù)評價全局靈敏度的缺陷，不需知道輸入變量和輸出響應(yīng)的分布規(guī)律，可以采用較少的數(shù)據(jù)量得到可信的結(jié)果,為復(fù)雜非線性黑箱系統(tǒng)參數(shù)靈敏度分析提供了新的思路，通過實例驗證了本方法的有效性和可信性。

靈敏度分析；非線性系統(tǒng)；雙參數(shù)；黑箱系統(tǒng)

靈敏度分析是一種研究基本輸入變量的不確定性在其輸出響應(yīng)不確定性分配的技術(shù)，是概率風(fēng)險評估問題的主要組成[1],現(xiàn)已廣泛運用到了影響目標(biāo)性能的關(guān)鍵因素篩選上，葛建立等采用靈敏度分析法提取了9個對自行火炮底盤俯仰角幅值較大的因素[2]；張猛等利用靈敏度分析從60個結(jié)構(gòu)件中提取9個對車身彎曲剛度、扭轉(zhuǎn)剛度、一階扭轉(zhuǎn)頻率和車身質(zhì)量影響較大的結(jié)構(gòu)件[3]。

靈敏度分析方法有局部靈敏度分析和全局靈敏度分析。局部靈敏度分析法主要有：直接求導(dǎo)法、有限差分法和格林函數(shù)法。局部靈敏度分析只能獲得某個點(或較小區(qū)間段)的靈敏度，其反映的是某個輸入?yún)?shù)在初值附近的變化對輸出的影響，無法對輸入?yún)?shù)在整個取值空間及參數(shù)之間的共同作用作出估計。全局靈敏度能夠?qū)斎雲(yún)?shù)在整個取值空間的作用作出估計。

1　全局靈敏度分析法的優(yōu)點和不足

1.1全局靈敏度分析法的優(yōu)點和不足

全局靈敏度分析法主要有：非參數(shù)方法靈敏度分析、基于方差的靈敏度分析和矩獨立方法靈敏度分析3類[4]。

非參數(shù)方法靈敏度分析主要包括：Pearson相關(guān)系數(shù)靈敏度分析、標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)靈敏度分析、偏相關(guān)系數(shù)靈敏度和Spearman相關(guān)系數(shù)靈敏度分析。采用非參數(shù)方法的優(yōu)點在于考慮了基本輸入變量與輸出響應(yīng)量之間的相關(guān)關(guān)系，文獻(xiàn)[5]指出，該方法對于非線性模型，不能有效地反映目標(biāo)函數(shù)值隨設(shè)計變量變化的程度。

基于方差的靈敏度分析最早由Nakashima和Yamato提出，包括Heltoh、Andsten-vaurio、sobol一階矩、sobol全效應(yīng)等靈敏度?；诜讲畹撵`敏度分析側(cè)重于衡量基本輸入變量對其輸出響應(yīng)量的方差貢獻(xiàn)程度，優(yōu)點是考慮了基本輸入變量在整個取值范圍內(nèi)對輸出響應(yīng)的貢獻(xiàn)以及基本輸入變量的交互關(guān)系，但由于包含了方差，能夠充分描述輸出響應(yīng)的不確定性的隱含條件，Oakley和Ohagan在文獻(xiàn)[6]中指出，采用單一的方差作為靈敏度分析結(jié)果，會導(dǎo)致決策錯誤。Borgonovo在文獻(xiàn)[7]中指出，描述輸出響應(yīng)變化時，方差并不總是充分的，靈敏度應(yīng)當(dāng)是一個完整的輸出響應(yīng)分布，而并非某一個特殊的矩。

矩獨立方法靈敏度分析是Borgonovo提出的一種基本輸入變量對其響應(yīng)量分布影響的靈敏度分析方法[8]，其優(yōu)點在于考慮了輸出響應(yīng)量的整個分布，但由于靈敏度指標(biāo)過于單一，沒有全面顧及變量的單獨影響和變量之間的交互作用，且由于采用蒙特卡洛法進(jìn)行求解，計算量太大。

對于大型復(fù)雜非線性系統(tǒng)，例如以射擊精度為目標(biāo)的自行火炮系統(tǒng)，其輸入與輸出之間很難用一個明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式描述。

文獻(xiàn)[9]用Simulink建立某機電系統(tǒng)的仿真模型，再運用Simlab軟件進(jìn)行靈敏度分析，得到靈敏度分析結(jié)果，其優(yōu)點是采用仿真軟件建立了輸入與輸出的關(guān)系，缺點是用Simlab進(jìn)行靈敏度計算時，需要明確輸入變量的分布關(guān)系。

也有文獻(xiàn)采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[10]、支持向量機(SVM)[11]等建立輸入與輸出的關(guān)系，進(jìn)而用靈敏度分析法分析各輸入?yún)?shù)的靈敏度。采用這種方法的缺點是：要獲得較高的預(yù)測精度，須有大量原始數(shù)據(jù)作為支撐。

對于自行火炮系統(tǒng)，大量的射擊試驗費效比較低，且由于這種物理測試方法很難控制結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化，如間隙由于射擊的不斷進(jìn)行而退化變大；彈簧剛度由于疲勞退化而變小，因此，現(xiàn)有的全局靈敏度分析法都不是解決自行火炮這樣大型非線性系統(tǒng)靈敏度問題的有效方法。虛擬樣機技術(shù)則不存在這個問題，它可以用較少的試驗數(shù)據(jù)，驗證虛擬樣機的有效性和正確性；另外，虛擬樣機上可以保持其他參數(shù)不變，很精確地控制攝動參數(shù)，研究攝動參數(shù)對系統(tǒng)的影響。但虛擬樣機技術(shù)對于大型復(fù)雜非線性系統(tǒng)，存在計算效率較低，計算量大，不適宜做大量的仿真試驗的缺陷。

文獻(xiàn)[12]將全局區(qū)間分成多個小區(qū)間的方法進(jìn)行分析，使各個小區(qū)間滿足Δb足夠小的條件，認(rèn)為目標(biāo)函數(shù)值在小區(qū)間上線性變化的，用該區(qū)間上的差商代替這個區(qū)間的靈敏度，然后對各個區(qū)間的靈敏度進(jìn)行求和得到全局靈敏度，是一種由局部評價全局的有效嘗試。該方法為全局靈敏度的求取開拓了思路，但仍有其局限性。

1.2現(xiàn)有局部靈敏度評價全局靈敏度的不足

假設(shè)某4個參數(shù)在可行域(a,e)內(nèi)對其目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系分別為z1(x)、z2(x)、z3(x)和z4(x)，如圖1所示。

采用有限差分法計算局部靈敏度，反映到圖1中即為該參數(shù)在某局部域的斜率。域(a,b)和域(d,e)各曲線的斜率分別為：k1=0、k2=1、k3=2、k4=1/3；域(b,c)和域(c,d)各曲線的斜率分別為：k1=0、k2=-1、k3=-2、k4=-5/3。若按文獻(xiàn)[3]的方法，將可行域(a,e)分成(a,b)、(b,c)、(c,d)和(d,e)4個局部域，各局部域滿足有限差分法計算局部靈敏度的條件，根據(jù)其定義式，在局部域上的斜率即可代表該域內(nèi)的靈敏度。從圖1中可看出，在域(a,b)和域(d,e)上滿足關(guān)系：s3>s2>s1；而在域(b,c)和域(c,d)上則滿足關(guān)系：s3s2>s1，似乎體現(xiàn)了總體變化率的大小。但是從曲線2和曲線4的比較來看，按絕對值求和取均值的方法得到的靈敏度相等：s2=s4=1。在工程上更需要關(guān)注的是像曲線4那樣在多個局部有較大靈敏度的情況，因此，實際上曲線4相對于曲線2，其靈敏度更大。如果采用主靈敏度法(即選取局部靈敏度的最大值作為全局靈敏度)進(jìn)行關(guān)鍵因素篩選，這樣雖然關(guān)注了最大靈敏度的區(qū)間，但次大局部靈敏度和其他局部靈敏度也要受到關(guān)注，因此，必須考慮所有區(qū)間靈敏度的影響?？紤]到均值能夠反映全局靈敏度變化趨勢，方差能夠反映離散程度，采用可行域內(nèi)多局部靈敏度的均值和方差兩個參數(shù)評價全局靈敏度，并通過Topsis多屬性決策機制對兩個參數(shù)進(jìn)行決策，得到全局靈敏度，取名為雙參數(shù)全局靈敏度分析法(Dual-parameters Global Sensitive Analysis，DGSA)。

2　雙參數(shù)全局靈敏度分析法

2.1相關(guān)定義和算法

定義：雙參數(shù)全局相對靈敏度分析是指將參變量x相對目標(biāo)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a1,an+1]變化，以Δb為長度，將區(qū)間[a1,an+1]分成有限個小區(qū)間[a1,a2]、[a2,a3]、…、[an,an+1]，且滿足[a1,an+1]=[a1,a2]∩[a2,a3]∩…∩[an,an+1]，當(dāng)Δb較小時，認(rèn)為f(x)在任一子區(qū)間[ai,ai+1]為線性變化，根據(jù)局部靈敏度的定義，該區(qū)間上的斜率即為其靈敏度

(1)

式中，ai、 f(ai)分別為區(qū)間端點的參量值和目標(biāo)函數(shù)值。

由于不同的參變量有不同的量綱，而目的是要分析所有參變量在其整個區(qū)間上的靈敏度，須所有的參變量放在同一尺度進(jìn)行評價，即進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，取向量a={a1,a2,…,an+1}，則

(2)

式中，E={1,1,…,1}1×n。則第i個區(qū)間上的相對靈敏度可表示為

(3)

式中，f(a0)為目標(biāo)函數(shù)在初值上函數(shù)值，是為消除不同目標(biāo)函數(shù)值之間量綱的不同而引入的量，如果目標(biāo)函數(shù)只有一個，則可不列。

(4)

(5)

顯然，若均值和方差均比較大，該因素靈敏度排序靠前；若均值排序靠前，方差排序靠后，或者反之，其靈敏度如何評價，則涉及到多屬性決策問題。

2.2DGSA法的決策機制

如何用均值和方差兩個量來進(jìn)行排序，得到最終的結(jié)果，顯然是一個多屬性決策問題。對于多屬性決策的方法有模糊法、灰色法、聚類法和Topsis法。Topsis法即逼近理想解的排序方法，是求解多屬性決策問題的典型方法之一，這種方法通過構(gòu)造多屬性問題的理想解和負(fù)理想解，并以靠近理想解和遠(yuǎn)離理想解兩個評價判據(jù)為基準(zhǔn)，對各樣本進(jìn)行排序。該方法對樣本量、指標(biāo)多少及數(shù)據(jù)的分布沒有特殊限制，較適合用于雙參數(shù)全局相對靈敏度的排序，Topsis法的決策機制參考文獻(xiàn)[13]，這里不再贅述。

2.3復(fù)雜非線性黑箱系統(tǒng)的靈敏度分析流程

非線性黑箱系統(tǒng)DGSA分析法的分析流程如圖2所示。

需要說明的是，當(dāng)各參數(shù)區(qū)間化時，如果區(qū)間的長度不一致，求取均值和方差時應(yīng)該考慮區(qū)間長度的影響，以各個區(qū)間長度占總區(qū)間長度計為各個區(qū)間的權(quán)重，將權(quán)重的影響放到計算均值和方差中。

3　DGSA法的驗證

以圖1中的4條曲線為研究對象，應(yīng)用Topsis法進(jìn)行決策排序時，需要知道目標(biāo)函數(shù)的理想解和負(fù)理想解，對于歸一化的均值、方差，若其均值和方差均為1，則應(yīng)該排序靠前，因此，可構(gòu)造理想解和負(fù)理想解為

A*={1,1},A-={0,0}

(6)

通過信息熵求取的均值和方差的權(quán)值為：{0.8,0.2}，通過編制Matlab程序得到各個曲線的相對逼近度(全局相對靈敏度)，表1為采用DGSA法得到的計算結(jié)果。

表1　雙參數(shù)全局相對靈敏度分析舉例結(jié)果表

從表1可知，參數(shù)x對曲線1、2、3的相對逼近度排序結(jié)果為：RC1

由于在求取局部靈敏度時，攝動一個參數(shù)而保持其他參數(shù)不變，沒有考慮各因素之間的交互作用，因此該方法在因素交互作用明顯的系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)靈敏度分析時，其排序精度還有待進(jìn)一步驗證。

4　結(jié)論

通過分析現(xiàn)有全局靈敏度分析法的優(yōu)點及其在解決大型非線性系統(tǒng)方面的不足，提出了采用可行域內(nèi)多個局部靈敏度的均值和方差評價全局靈敏度，并用Topsis多屬性決策機制進(jìn)行排序的雙參數(shù)全局靈敏度分析法(DGSA)。

筆者研究了非線性黑箱系統(tǒng)的DGSA法分析流程，并對其有效性和可信性進(jìn)行了驗證。采用了雙參數(shù)評價全局靈敏度，克服了單一參數(shù)評價的缺陷，在計算過程中不需要知道輸入變量與輸出響應(yīng)的分布，且計算量相對較小，較適用于大型復(fù)雜非線性黑箱系統(tǒng)的靈敏度分析。

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A Parameter Sensitivity Analysis Method Suitable for Complex Non-linear Black-box System

DENG Huiyong1, WANG Yan2, HAO Gang1, SUN Haitao1

(1.Ordnance Engineering College, Shijiazhuang050003, Hebei, China;2.Divided Storage of Unit 66442, Yangquan045233, Shanxi, China)

Through research on the advantages and disadvantages of main global sensitivity analysis method in the course of solving practical problems, the Dual-parameters Sensitive Analysis method (DGSA) based on mean value and variance of multi local sensitivities in definition domain that was used to access global sensitivity was proposed, while multi-attributes decision-making method was used to calculate the sensitive value by the above two parameters. DGSA method overcomes the defect of global sensitivity accessed by single parameter. Since the distribution patterns of input variable and output response are dispensed with, a credible result can be obtained with less data. As a result, a new method to solve this type of problems is provided. An example was used to verify the validity and credibility.

sensitivity analysis; non-linear system; dual-parameters; black-box system

2015-04-01

鄧輝詠(1983—)，男，講師，博士，主要從事武器系統(tǒng)仿真與信息化技術(shù)研究。E-mail：deng-124@163.com

TB114.3

A

1673-6524(2016)01-0012-04