儲(chǔ)理才

(集美大學(xué)理學(xué)院　福建 廈門　361021)

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“土密度計(jì)”問題的兩種解法及其辨析

儲(chǔ)理才

(集美大學(xué)理學(xué)院福建 廈門361021)

對(duì)北京市2008年中考物理試卷中的“土密度計(jì)問題”的兩種解法進(jìn)行辨析，揭示為什么“近似”解法卻可以得到精確結(jié)果的原因.

北京市中考土密度計(jì)浮力

1　問題的由來

北京市2008年中考物理試卷有這樣一道題[1].

歡歡利用平底試管、小螺母和細(xì)線制成一個(gè)“土密度計(jì)”，用如圖1所示的方法測(cè)量液體的密度．“土密度計(jì)”在酒精(ρ酒精=0.8×103kg/m3)中靜止時(shí)露出液面的高度為2 cm，“土密度計(jì)”在水中靜止時(shí)露出水面的高度為3 cm，“土密度計(jì)”在硫酸銅溶液中靜止時(shí)露出液面的高度為3.8 cm．則此硫酸銅溶液的密度為______kg/m3． (答案：1.25×103)

圖1　“土密度計(jì)”

2　兩種解法

“百度 作業(yè)幫”網(wǎng)提供了以下兩種解法[2,3].

解法1[2]: “近似”解法——假設(shè)螺母的體積可以忽略不計(jì)

設(shè)試管的橫截面積為S，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，假設(shè)螺母的體積可以忽略不計(jì)，則“土密度計(jì)”在3種液體中所受的浮力分別為

F酒精=ρ酒精gS(L-h1)

(1)

F水=ρ水gS(L-h2)

(2)

F硫酸銅=ρ硫酸銅gS(L-h3)

(3)

式中h1=0.02 m，為試管在酒精中靜止時(shí)露出液面高度，h2=0.03 m，為試管在水中靜止時(shí)露出液面的高度，h3=0.038 m,為試管在硫酸銅溶液中靜止時(shí)露出液面的高度(下同).

因?yàn)椤巴撩芏扔?jì)”在3種液體中都呈漂浮狀態(tài)，可知土密度計(jì)在3種液體中所受浮力都等于試管和螺母的重力之和，因此這3個(gè)浮力相等，即

F酒精=F水=F硫酸銅

由此可得如下兩個(gè)等式

ρ酒精gS(L-h1)=ρ水gS(L-h2)

(4)

ρ水gS(L-h2)=ρ硫酸銅gS(L-h3)

(5)

由式(4)可解得

(6)

由式(5)可解得

(7)

將式(6)代入式(7)，得

(8)

將酒精和水的密度代入，得ρ硫酸銅=1.25×103kg/m3，與答案相同.

解法2[3]: 精確解法——假設(shè)螺母的體積不能忽略

設(shè)試管的橫截面積為S，試管和螺母的總體積為V，則“土密度計(jì)”在3種液體中所受的浮力分別為

F酒精=ρ酒精g(V-h1S)

F水=ρ水g(V-h2S)

F硫酸銅=ρ硫酸銅g(V-h3S)

因?yàn)椤巴撩芏扔?jì)”在3種液體中都呈漂浮狀態(tài)，可知“土密度計(jì)”在3種液體中所受浮力都等于試管和螺母的重力之和，因此這3個(gè)浮力相等，即

F酒精=F水=F硫酸銅

由此可得如下兩個(gè)等式

ρ酒精g(V-h1S)=ρ水g(V-h2S)

(9)

ρ水g(V-h2S)=ρ硫酸銅g(V-h3S)

(10)

由式(9)可解得

(11)

由式(10)可解得

(12)

將式(11)代入式(12)，得

(13)

將酒精和水的密度代入，得ρ硫酸銅=1.25×103kg/m3，與答案相同.

3　兩種解法的辨析

解法1和解法2步驟可以說是完全相同，但列方程的依據(jù)是有差別的：解法1在計(jì)算浮力時(shí)，忽略了浸沒在液體中的螺母所排開的液體體積，從圖形中看，螺母相對(duì)于試管，其體積并不算小，計(jì)算浮力時(shí)忽略掉螺母的體積是會(huì)帶來誤差的，因此解法1似乎是一種近似解法.解法2在計(jì)算浮力時(shí)考慮了浸沒在液體中的螺母所排開的液體體積(土密度計(jì)所排開的液體體積等于試管和螺母的總體積減去試管露出液面部分的體積)，因此解法2是一種精確解法.但比較式(8)和式(13)，解法1與解法2卻有著相同的計(jì)算結(jié)果，也就是說，用“近似解法”卻得到了精確結(jié)果，這又是為什么呢？

先來計(jì)算試管的準(zhǔn)確長(zhǎng)度L*.根據(jù)解法2的式(11)可得

由此可計(jì)算試管的準(zhǔn)確長(zhǎng)度

(14)

比較解法1中的試管長(zhǎng)度式(6)和這里的試管長(zhǎng)度式(14)，可知解法1中求得的試管的長(zhǎng)度是不準(zhǔn)確的，它與準(zhǔn)確長(zhǎng)度相差一個(gè)常量，二者之間的關(guān)系是

(15)

再來計(jì)算“土密度計(jì)”在3種液體中所受到的浮力.“土密度計(jì)”在液體中所受的浮力等于試管排開的液體重量和螺母排開的液體重量之和，即

F酒精=ρ酒精gS(L*-h1)+ρ酒精gV螺母=

ρ酒精gS(L-h1)

(16)

F水=ρ水gS(L*-h2)+ρ水gV螺母=

ρ水gS(L-h2)

(17)

F硫酸銅=ρ硫酸銅gS(L*-h3)+ρ硫酸銅gV螺母=

ρ硫酸銅gS(L-h3)

(18)

則解法1中的浮力計(jì)算公式就是準(zhǔn)確無誤的.

至此，我們可以對(duì)解法1中浮力的計(jì)算給出一種新的解釋，在這種解釋下，解法1中的浮力計(jì)算就是精確的，由此推導(dǎo)的硫酸銅密度公式自然也是準(zhǔn)確無誤的了.

設(shè)試管的橫截面積為S，長(zhǎng)度為L(zhǎng)*，螺母的體積為V螺母，記

由此式就可得式(1),(2),(3)了.

1百度文庫(kù). 2008年北京中考物理試題和答案[EB/OL]. http://wenku.baidu.com/view/7fd1fc92dd88d0d233d46a44.html, 2012-06-04/2016-04-28

2百度 作業(yè)幫. 歡歡土密度計(jì)[EB/OL]. http://www.zybang.com/question/2db78db73981299e849ec7b424a2883c.html. 2014-11-07/2016-04-28

3百度.作業(yè)幫.歡歡土密度計(jì)[EB/OL]. http://www.zybang.com/question/5e60c39bbae68b405c5d80e96af523be.html. 2014-11-25/2016-04-28

儲(chǔ)理才(1969-)，男，博士，副教授，主要研究方向?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué).

2016-04-28)