于　洋， 許震宇

(同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上?！?00092)

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古琴共鳴體的聲固耦合模態(tài)分析

于洋， 許震宇

(同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海200092)

模態(tài)分析中考慮古琴共鳴體與聲腔內(nèi)空氣的聲固耦合，得出不同固有頻率下古琴的各階位移場(chǎng)模態(tài)及聲場(chǎng)模態(tài)。對(duì)比結(jié)構(gòu)系統(tǒng)、聲腔系統(tǒng)與耦合系統(tǒng)的仿真結(jié)果，研究空腔內(nèi)空氣對(duì)共鳴體壁板振動(dòng)以及共鳴體壁板振動(dòng)對(duì)腔內(nèi)聲壓分布情況的影響。結(jié)果顯示對(duì)古琴音量貢獻(xiàn)較大的振動(dòng)模態(tài)為呼吸模態(tài)，并且面板與底板以不同相位振動(dòng)時(shí)表現(xiàn)的呼吸模態(tài)形式所輻射出的音量有所不同；理論推導(dǎo)建立了激勵(lì)力頻率與古琴發(fā)聲響度之間的關(guān)系，為斫琴師根據(jù)激勵(lì)力頻率來(lái)調(diào)整古琴響度提供參考。

古琴；模態(tài)分析；有限元；聲固耦合

古琴是中國(guó)的傳統(tǒng)樂(lè)器，有著悠久的歷史，經(jīng)歷了千百年的演化與積淀，古琴的構(gòu)型基本確定下來(lái)，比較通俗的有仲尼式、伏羲式等形式，其構(gòu)造材料均為老舊的桐木、杉木與梓木，因?yàn)檫@樣的木材本身具有良好的聲振特性，制作成琴腔共鳴體結(jié)構(gòu)可以演奏出優(yōu)美的樂(lè)曲。為了探究古琴響度與音調(diào)等聲學(xué)特性需對(duì)古琴共鳴體基本振動(dòng)特性進(jìn)行分析，如陳璇[1]結(jié)合有限元理論對(duì)古琴共鳴體進(jìn)行模態(tài)分析，得出了古琴共鳴體的固有頻率和各階振型，并分析了古琴面板厚度與弧度等尺寸的改變對(duì)古琴固有頻率的影響，但其只是針對(duì)古琴傳統(tǒng)的振動(dòng)特性進(jìn)行分析，并未深入探索古琴的聲學(xué)特性，即未考慮古琴振動(dòng)過(guò)程的聲固耦合現(xiàn)象，未將聲固耦合因素引入模態(tài)分析中。古琴共鳴體結(jié)構(gòu)由面板和底板構(gòu)成，在琴弦的激勵(lì)下共鳴體結(jié)構(gòu)振動(dòng)并發(fā)聲，此過(guò)程屬于聲固耦合現(xiàn)象，即振動(dòng)過(guò)程中結(jié)構(gòu)與聲壓兩者相互作用產(chǎn)生耦合。

聲固耦合現(xiàn)象的提出最早可追溯到GLADWELL等[2]應(yīng)用余能法將以位移為基本參數(shù)的振動(dòng)方程與以聲壓為基本參數(shù)的聲波方程結(jié)合在一起，推導(dǎo)出空氣與膜，空氣與薄板的聲固耦合方程。隨著聲固耦合理論的完善，很多學(xué)者將聲固耦合現(xiàn)象與自身的工程實(shí)踐結(jié)合起來(lái)，聲固耦合模態(tài)分析就是其中的一個(gè)應(yīng)用。如PETYT等[3]應(yīng)用有限元數(shù)值方法分析了不規(guī)則形狀空腔的聲學(xué)模態(tài)，得出的實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)效果與理論推導(dǎo)較為吻合。CRAGGS等[4]采用四面體和立方體網(wǎng)格針對(duì)平行六面體結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，得出了平行六面體聲腔結(jié)構(gòu)的聲場(chǎng)頻率和振型，并將這種方法應(yīng)用在車體聲腔中，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果接近。國(guó)內(nèi)也有學(xué)者針對(duì)聲腔結(jié)構(gòu)進(jìn)行聲固耦合模態(tài)分析，大多針對(duì)汽車空腔結(jié)構(gòu)[5-6]。如馬天飛等[7]為了研究汽車NVH特性建立了某轎車車身結(jié)構(gòu)和車室空腔模型，考慮車室與內(nèi)部空氣之間的相互作用對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)、聲腔系統(tǒng)、聲固耦合系統(tǒng)三個(gè)有限元模型分別進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果表明耦合系統(tǒng)的模態(tài)不是兩個(gè)系統(tǒng)模態(tài)的簡(jiǎn)單疊加，兩者之間的相互作用將改變?cè)到y(tǒng)的頻率和振型。也有研究將聲固耦合模態(tài)分析應(yīng)用到樂(lè)器，如EZCURRA等[8]建立了吉他的聲固耦合有限元模型，分析了吉他的上音板與背板通過(guò)中間空氣的耦合現(xiàn)象，分析了吉他振動(dòng)過(guò)程中各部件對(duì)共鳴腔整體振動(dòng)效果的貢獻(xiàn)度，但其分析內(nèi)容沒(méi)有深入到樂(lè)器聲學(xué)的領(lǐng)域，并未進(jìn)一步得出吉他聲振特性對(duì)樂(lè)器響度、音調(diào)等有何影響。

鑒于以上分析，本文通過(guò)CAD軟件建立古琴共鳴體三維模型，導(dǎo)入多物理場(chǎng)有限元軟件形成有限元模型，對(duì)古琴進(jìn)行結(jié)構(gòu)模態(tài)分析、內(nèi)部空腔聲場(chǎng)模態(tài)分析以及聲固耦合模態(tài)分析，對(duì)比三個(gè)結(jié)果研究結(jié)構(gòu)振動(dòng)與聲壓兩者的相互作用對(duì)古琴模態(tài)的影響，得出對(duì)古琴共鳴體輻射音量貢獻(xiàn)較大的模態(tài)振型，建立外部激勵(lì)與古琴共鳴體內(nèi)聲壓的關(guān)系，將振動(dòng)特性與樂(lè)器響度聯(lián)系在一起。

1　古琴共鳴體聲固耦合有限元模型的建立

古琴琴體長(zhǎng)約1.2 m，主要分為面板、底板兩部分，底板有兩個(gè)鏤空的矩形孔口稱為龍池、鳳沼，面板與底板連結(jié)在一起形成共鳴體，共鳴體結(jié)構(gòu)可視為彈性體，材料為正交各向異性的杉木，材料參數(shù)見(jiàn)表1。當(dāng)共鳴體振動(dòng)時(shí)會(huì)對(duì)腔內(nèi)的空氣施加力的作用從而改變聲腔內(nèi)的聲壓分布，聲壓變化又會(huì)激勵(lì)壁板使之產(chǎn)生振動(dòng)，形成空氣與結(jié)構(gòu)相互作用的聲固耦合系統(tǒng)。

表1　古琴共鳴體的材料參數(shù)

在不影響古琴共鳴體聲腔形狀的基礎(chǔ)上對(duì)古琴的外形進(jìn)行簡(jiǎn)化，忽略琴弦的影響，用CATIA軟件建立古琴的三維模型，將其導(dǎo)入多物理場(chǎng)耦合有限元軟件COMSOL，在COMSOL內(nèi)劃分網(wǎng)格形成有限元模型，建模過(guò)程需分固體域單元(古琴共鳴體結(jié)構(gòu))和流體域單元(聲腔內(nèi)空氣)，如圖1為左側(cè)為固體域有限元建模過(guò)程，右側(cè)為流體域(聲腔內(nèi)空氣)的模型與網(wǎng)格剖分結(jié)果。兩者接觸的邊界面上空氣域網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)與結(jié)構(gòu)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)完全重合，固體域單元最小尺寸為5 mm，空氣域單元的尺寸要求每個(gè)波長(zhǎng)至少5個(gè)單元[9]，最大尺寸為30 mm，最小尺寸為5 mm，均滿足收斂要求。模型共包括43 077個(gè)域單元，10 920個(gè)邊界單元。

圖1　古琴共鳴體有限元建模過(guò)程Fig.1 The finite element modeling process of Guqin resonator

2　聲固耦合模態(tài)分析有限元計(jì)算結(jié)果

耦合系統(tǒng)是由共鳴體與聲腔中的空氣相互作用形成的，它的振型包括兩部分，一部分為結(jié)構(gòu)變形，另一部分為聲腔內(nèi)的聲壓變化。為了便于比較，將不考慮聲壓變化影響、只考慮單純結(jié)構(gòu)振動(dòng)的模態(tài)分析稱為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)模態(tài)分析；把不考慮共鳴體結(jié)構(gòu)壁板振動(dòng)而引起腔內(nèi)聲壓變化(Fa=0)的模態(tài)分析稱為聲腔系統(tǒng)模態(tài)分析；把考慮兩者之間相互耦合的模態(tài)分析稱之為耦合系統(tǒng)模態(tài)分析。

共鳴體聲腔內(nèi)的聲壓與結(jié)構(gòu)邊界運(yùn)動(dòng)的本構(gòu)關(guān)系可以通過(guò)微分方程來(lái)刻畫(huà)。當(dāng)共鳴體及其內(nèi)部的聲腔系統(tǒng)受到簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí)，共鳴體壁板上的節(jié)點(diǎn)位移以及聲腔內(nèi)聲壓分布分別滿足：

([Ks]+jω[Ds]-ω2[Ms]){u}={Fs}+{Fa}

(1)

和

([Ka]+jω[Da]-ω2[Ma]){p}=-ω2[S]{u}

(2)

由于耦合系統(tǒng)受簡(jiǎn)諧激勵(lì)，合成方程組可表示為：

(3)

聲固耦合模態(tài)分析屬于矩陣特征值問(wèn)題，不考慮外力的作用，所以Fs為0。另外，共鳴體的底端開(kāi)有兩個(gè)矩形孔口，與外界連通，不涉及耦合，所以其邊界條件為無(wú)反射邊界條件，即聲波可透過(guò)孔口向外界傳播。應(yīng)用有限元軟件定義結(jié)構(gòu)與空氣域的材料屬性及約束條件，可以得到耦合系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)振型模態(tài)和聲場(chǎng)模態(tài)。

2.1位移場(chǎng)模態(tài)

表2列出了古琴結(jié)構(gòu)系統(tǒng)與耦合系統(tǒng)的固有頻率，首先可觀察到結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在136.37 Hz(耦合系統(tǒng)的第一階固有頻率)處原本沒(méi)有模態(tài)，但在耦合系統(tǒng)中卻出現(xiàn)了這種振動(dòng)模態(tài)，可以看出耦合系統(tǒng)的固有頻率比共鳴體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分布更加密集，出現(xiàn)了共鳴體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)沒(méi)有的頻率?？梢哉f(shuō)明結(jié)構(gòu)振動(dòng)與聲壓變化這二者之間的相互作用產(chǎn)生了新的振動(dòng)模式。

表2　結(jié)構(gòu)系統(tǒng)與耦合系統(tǒng)的模態(tài)信息

從表2看出耦合系統(tǒng)第2、4、6階模態(tài)的固有頻率與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)模態(tài)中前4階的固有頻率十分接近，振型基本一致。2階耦合模態(tài)與1階結(jié)構(gòu)模態(tài)均為一階縱向彎曲模態(tài)；4階耦合模態(tài)與2階結(jié)構(gòu)模態(tài)均為一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)；6階耦合模態(tài)與3階結(jié)構(gòu)模態(tài)均為關(guān)于縱軸反對(duì)稱的彎扭混合模態(tài)。因此可以看出這些頻率下聲腔內(nèi)聲壓的變化并未對(duì)共鳴體結(jié)構(gòu)的振型產(chǎn)生較大的影響，即耦合系統(tǒng)發(fā)聲以結(jié)構(gòu)振動(dòng)為主。

觀察各種模態(tài)振型的比例可以看出無(wú)論結(jié)構(gòu)系統(tǒng)還是耦合系統(tǒng)，其振型均含有大量的呼吸模態(tài)，呼吸模態(tài)是指共鳴體局部的某一區(qū)域內(nèi)面板與底板同向或反向振動(dòng)從而使這一區(qū)域出現(xiàn)體積明顯膨脹的模態(tài)形式，如耦合模態(tài)中的1階振型即為琴頭與鳳沼處(古琴底部最邊緣的矩形孔洞)的兩個(gè)呼吸模態(tài)。琴頭處底板向下同時(shí)面板向上移動(dòng)，即兩者相位相差180°，琴頭處體積呈現(xiàn)周期性增大與收縮，在單位時(shí)間內(nèi)引起體積的迅速增大與縮小，從而引起腔體聲壓急劇變化，樂(lè)器的音量與聲壓變化的速度幅值有關(guān)，因而這種振動(dòng)模式可以輻射出較大的音量。當(dāng)面板與底板的振動(dòng)相位差小于180°，如圖3所示鳳沼處的呼吸模態(tài)，此種振動(dòng)模式向空氣中輻射的音量就明顯少于相位差為180°的呼吸模態(tài)[11]。由呼吸模態(tài)的振動(dòng)形式產(chǎn)生的聲壓變化從而輻射出的聲波占古琴共鳴體發(fā)聲量的很大比例，所以對(duì)古琴振動(dòng)發(fā)聲響度的主要貢獻(xiàn)為呼吸模態(tài)這種振動(dòng)形式。

圖2　從底部觀察時(shí)耦合系統(tǒng)的第1階結(jié)構(gòu)振型Fig.2 The first structure mode of coupled system observed from the bottom

2.2聲場(chǎng)模態(tài)

略去0階聲場(chǎng)模態(tài)，因?yàn)?階聲場(chǎng)模態(tài)為一致聲壓模態(tài)，在腔體內(nèi)聲壓處處相等，類似于結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的剛體模態(tài)。圖3列出了兩階耦合系統(tǒng)的模態(tài)振型，194.78 Hz處的結(jié)構(gòu)振型為一階縱向彎曲，即共鳴體只發(fā)生縱向位移變化，對(duì)應(yīng)內(nèi)部聲壓呈現(xiàn)縱向均勻變化，兩條聲壓節(jié)線(聲壓為0的界線，與聲壓變化方向垂直)橫向分布。而289.97 Hz處的結(jié)構(gòu)振動(dòng)為一階扭轉(zhuǎn)，即共鳴體產(chǎn)生橫向位移運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)聲腔內(nèi)出現(xiàn)明顯的橫向變化，聲壓節(jié)線沿縱向。結(jié)合上文提到耦合系統(tǒng)固有頻率與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的固有頻率十分接近，相差不超過(guò)2 Hz，并且振型基本一致，即共鳴體發(fā)聲以結(jié)構(gòu)振動(dòng)為主，結(jié)構(gòu)振動(dòng)對(duì)聲腔內(nèi)聲壓變化的影響遠(yuǎn)大于內(nèi)部聲壓變化對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的改變。各階聲壓振型相當(dāng)于對(duì)應(yīng)階次結(jié)構(gòu)振動(dòng)的聲學(xué)響應(yīng)，即不同振動(dòng)模式產(chǎn)生相應(yīng)聲場(chǎng)分布，從而影響共鳴體發(fā)聲。因此斫琴師調(diào)整古琴共鳴體的結(jié)構(gòu)構(gòu)型可直接影響琴體發(fā)聲的原理就在于此。

圖3　耦合系統(tǒng)的聲場(chǎng)模態(tài)與位移場(chǎng)模態(tài)Fig.3 The structural modes and acoustic modes of coupled system

3　耦合模態(tài)對(duì)古琴響度影響分析

古琴在不同激勵(lì)下(琴弦施加力)會(huì)發(fā)出不同的音量，即響度。樂(lè)器的響度與聲壓和聲波的頻率有關(guān)， 古琴的響度一般在90 dB以上，查閱純音標(biāo)準(zhǔn)等響曲線圖發(fā)現(xiàn)90 dB以上的響度并且聲波頻率在200～1 500 Hz區(qū)間，頻率的變化對(duì)響度的影響并不明顯，所以可以認(rèn)為在這一頻率區(qū)間古琴響度僅隨共鳴腔內(nèi)的聲壓的增大而增大[12]。對(duì)于共鳴體所施加激勵(lì)的大小、方式不同會(huì)使激發(fā)出的模態(tài)振型存在差異，從而影響腔內(nèi)聲壓，因此有必要研究耦合系統(tǒng)的模態(tài)對(duì)古琴響度的影響。

首先推導(dǎo)出古琴在結(jié)構(gòu)激勵(lì)下的聲壓表達(dá)形式，將式(3)中位移向量與聲壓向量做變換，將物理坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為模態(tài)坐標(biāo)[13-14]：

{u}=[Φ]{η}，{p}=[Ψ]{ξ}

(4)

這里[Φ]表示解耦的、無(wú)阻尼結(jié)構(gòu)模態(tài)，[Ψ]表示解耦的、無(wú)阻尼、聲場(chǎng)硬邊界下的聲場(chǎng)模態(tài)，列向量{η}、{ξ}代表各階模態(tài)在特定響應(yīng)下的比例系數(shù)。假定結(jié)構(gòu)系統(tǒng)與聲腔系統(tǒng)均為比例阻尼，將式(4)代入式(1)，(2)中，并且上下兩行分別左乘[Φ]T,[Ψ]T，則式(1)，(2)變?yōu)?/p>

([?ωa2?]+j[?ζaωa2?]-

ω2[I]){ξ}+ω2[c]{η}={0}

(5)

和

([?ωs2?]+j[?ζsωs2?]-ω2[I]){η}+

(6)

這里[I]為單位矩陣，矩陣[c]為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)模態(tài)與聲場(chǎng)模態(tài)之間的耦合，每個(gè)元素為

cij=ρa(bǔ){Фi}T∫s[Na]T[Ns]′ds{Ψj}

(7)

特定耦合系統(tǒng)模態(tài)中聲壓的變化對(duì)共鳴體結(jié)構(gòu)的振型的影響非常小，聲壓對(duì)共鳴體結(jié)構(gòu)壁板的作用遠(yuǎn)小于壁板振動(dòng)對(duì)聲壓變化的影響，因此可將式(1)中聲壓載荷{Fa}忽略，所以式(6)中無(wú){Fa}項(xiàng)。這樣{η}可由式(5)直接表示出，并將其代入式(6)，則可推導(dǎo)出聲壓{p}的表達(dá)式:

{p}=

其中

在阻尼很小的情況下，忽略ζsj與ζai，共鳴腔內(nèi)聲壓變?yōu)?/p>

其中ω為外力的激振頻率(古琴琴弦)，ωsj與ωai分別為共鳴體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的固有頻率與內(nèi)部聲腔系統(tǒng)的固有頻率，如表3列出了共鳴體結(jié)構(gòu)與聲腔的固有頻率，可以看出兩個(gè)系統(tǒng)的固有頻率均處于200～1 500 Hz之間，滿足聲壓與響度的正比關(guān)系。當(dāng)ω≈ωsj時(shí)琴弦的激勵(lì)頻率與j階結(jié)構(gòu)系統(tǒng)固有頻率接近時(shí)，右邊出現(xiàn)極大值產(chǎn)生較大聲壓，并且這時(shí)古琴聲腔輻射出的聲音大多來(lái)自j階結(jié)構(gòu)共振，同理當(dāng)ω≈ωai時(shí)琴弦的激勵(lì)頻率與i階聲腔系統(tǒng)固有頻率接近，右邊出現(xiàn)極大值產(chǎn)生較大聲壓，這時(shí)古琴聲腔輻射出的聲音大多來(lái)自聲腔內(nèi)聲壓共振。也就是說(shuō)當(dāng)古琴受到特定的外部激勵(lì)(來(lái)自琴弦)恰好使某系統(tǒng)處于共振狀態(tài)，則會(huì)發(fā)出較高的響度。如果激勵(lì)頻率不在兩個(gè)系統(tǒng)的固有頻率附近，響度要比以上兩種情況低。

表3　結(jié)構(gòu)系統(tǒng)與聲腔系統(tǒng)的模態(tài)信息

在古琴制作完成后斫琴師需對(duì)古琴的響度進(jìn)行校對(duì)，按壓琴弦位置不同，拔弦時(shí)振動(dòng)琴弦的長(zhǎng)度就會(huì)不同，同時(shí)拔弦的力度不同也對(duì)激勵(lì)頻率造成影響。因此，斫琴師可根據(jù)共鳴體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)與聲腔系統(tǒng)的固有頻率適當(dāng)調(diào)整按弦的位置以及拔線的力度，從而使琴弦能夠產(chǎn)生特定的激勵(lì)頻率，利用共振效果來(lái)控制古琴的響度。

4　結(jié)　論

本文對(duì)共鳴體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)、聲腔系統(tǒng)、聲固耦合系統(tǒng)分別進(jìn)行模態(tài)分析，發(fā)現(xiàn)聲腔內(nèi)空氣的作用使耦合系統(tǒng)產(chǎn)生了新的模態(tài)，說(shuō)明分析古琴共鳴體模態(tài)時(shí)引入聲固耦合十分必要。

根據(jù)耦合系統(tǒng)的固有特性對(duì)古琴響度的影響得出以下結(jié)論：

(1) 古琴的振動(dòng)模態(tài)中呼吸模態(tài)占有很大比例，呼吸模態(tài)為古琴振動(dòng)的主要振動(dòng)模式。并且當(dāng)古琴面板與底板的相位相差180°時(shí)，呼吸模態(tài)所輻射出的響度最大。

(2) 當(dāng)外部激勵(lì)力的頻率與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)或聲腔系統(tǒng)頻率接近時(shí)會(huì)增大聲腔內(nèi)聲壓，從而提高古琴響度。斫琴師可依據(jù)系統(tǒng)的頻率分布，調(diào)整按弦的位置以及拔線的力度從而通過(guò)調(diào)整激勵(lì)力頻率來(lái)控制古琴響度。

綜上所述，根據(jù)對(duì)古琴聲固耦合系統(tǒng)的模態(tài)分析，得出了古琴共鳴體基本聲振特性，又進(jìn)一步通過(guò)理論分析建立了古琴模態(tài)形式與響度的關(guān)系，為深入研究古琴響度的可控性提供科學(xué)的理論依據(jù)。

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Acoustic-structure coupling modal analysis of a Guqin resonator

YU Yang, XU Zhenyu

(The School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics, Tongji University, Shanghai 200092, China)

By considering the acoustic-structure coupling between a Guqin resonator and the air in the cavity in the modal analysis, the corresponding displacement field modes and acoustic field modes at different frequencies were obtained. The influences of the air inside the cavity on the vibration of the resonator as well as the influence of the vibration of the resonator on sound pressure in the cavity were investigated by comparing the simulation results of the coupled system with the structural system and the acoustic system. Results reveal that breathing modes have larger contribution to the Guqin’s volume, and the radiating volume from the breathing modes has different forms when the faceplate and baseplate vibrate in different phases. The relationship between the frequencies of exciting forces and the volume of Guqin was built through theoretical deduction. This provides a reference for adjusting Guqin’s volume by changing the frequencies of exciting forces.

Guqin; modal analysis; finite element method; acoustic-structure coupling

2015-06-29修改稿收到日期：2015-09-10

于洋 男，碩士生，1991年1月生

許震宇 男，博士，副教授，1970年8月生

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A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.16.036