張　玲， 朱　翔， 李天勻， 殷學吉

(華中科技大學 船舶與海洋工程學院，武漢　430074)

?

功能梯度板的振動功率流特性分析

張玲， 朱翔， 李天勻， 殷學吉

(華中科技大學 船舶與海洋工程學院，武漢430074)

根據(jù)功能梯度復合材料矩形板的基本動力方程，基于模態(tài)疊加法求出簡諧激勵載荷作用下功能梯度板橫向振動位移，結合結構振動功率流方程，研究功能梯度材料矩形板的振動及輸入和傳播功率流特性。算例中，首先計算功能梯度板固有頻率，并與數(shù)值解進行對比分析，驗證了算法的準確性。然后研究了功能梯度板輸入功率流特性，討論了不同梯度指數(shù)對輸入功率流特性的影響。并通過可視化方法計算得到了功率流在板中的傳播特性，通過功率流矢量圖和流線圖描述了功能梯度板。

功能梯度；矩形板；振動功率流；模態(tài)疊加

功能梯度材料(FGM)是一種新型復合材料，在材料的制備過程中通過連續(xù)地控制各組分含量的分布, 使材料宏觀特性在空間位置上呈現(xiàn)梯度變化, 從而滿足結構元件不同部位對材料使用性能的不同要求, 達到優(yōu)化結構整體使用性能的目的。

功能梯度材料的設計理念是日本科學家于20世紀80年代末針對航天技術中出現(xiàn)的高落差溫度現(xiàn)象提出的。盡管功能梯度材料的研究始于緩和熱應力，但鑒于功能梯度材料的特點，這一概念逐漸被應用于其他功能材料的構思和研究中，在航天、能源、光學、化學和生物醫(yī)學工程等重要領域得到廣泛應用與發(fā)展[1]。

大部分有關功能梯度材料結構的力學特性研究集中在熱應力、強度、彎曲、穩(wěn)定性等方面[2-3]，也有許多學者在功能梯度材料結構單元的振動與聲學特性上開展了研究工作。曹志遠等[4]在平板理論假設的基礎上，將原始的三維變系數(shù)控制方程轉變?yōu)楦飨虍愋远S常系數(shù)方程，得到功能梯度矩形板的基本動力方程。徐步青等[5]利用模態(tài)疊加法得出無限障板中功能梯度材料矩形板的遠場輻射聲壓近似解析解。姚熊亮等[6]基于經(jīng)典殼體理論研究了熱環(huán)境下流場中功能梯度圓柱殼聲輻射特性。楊智勇等[7]基于三維彈性理論采用插值矩陣法推導功能梯度材料矩形板位移、應力場的半解析解。

振動功率流是從能量的觀點研究結構振動和噪聲問題，它同時考慮到了傳到結構上的力和速度兩個量值。PANG等[8]通過對有限元計算結果二次開發(fā)，以接觸單元模擬呼吸裂紋板研究其諧振激勵下輸入功率流特性以及超諧共振現(xiàn)象。薛開等[9]考慮板的橫向剪切變形和轉動慣量影響，采用改進Fourier級數(shù)方法對任意彈性邊界條件下的中厚矩形板進行振動功率流分析。楊念等[10]根據(jù)波函數(shù)法基于間接Trefftz法研究對薄板結構中頻振動功率流問題進行研究。朱翔等[11]基于有限元法對裂紋損傷結構的功率流進行可視化研究，實現(xiàn)了結構表面能量分布、傳播以及在裂紋位置周圍的分布的可視化。

本文在功能梯度材料矩形板基本動力方程基礎上，基于模態(tài)疊加法求得簡諧激勵下矩形板的橫向振動位移，結合振動功率流公式，得出功能梯度材料矩形板的振動功率流特性。

1　功能梯度矩形板基本動力方程

功能梯度矩形板的基本動力方程為(坐標系見圖1)

(1)

圖1　功能梯度板Fig.1 FGM plate

對于剪切彈性模量，功能梯度板考慮為非均勻各向同性材料，所以滿足方程：

(2)

2　功能梯度矩形板結構振動功率流分析

2.1振動功率流概念

所謂功率即是單位時間內(nèi)所做的功，輸入該結構瞬時功率用公式表示為

Pi=FiVi

(3)

按時間的平均功率流要比瞬時功率重要的多，故有

(4)

還可以表示為：

(5)

式中：F和V均為激勵和速度響應的復數(shù)表示形式。

能量輸入到板結構后，會在板中傳播即為傳播功率流。研究實際振動結構時，往往取一段時間內(nèi)通過板的橫截面的平均功率，其較瞬時功率更能反映結構的能量強度。該時均功率即為穩(wěn)態(tài)功率流強度：

Ix(t)=-(ω/2)Im(Nxu*+Nxyv*+

(6a)

Iy(t)=-(ω/2)Im(Nyv*+Nyxu*+

(6b)

式中：Nx、Ny、Nxy和Nyx為面內(nèi)的薄膜力，Nxy=Nyx；Qx和Qy為橫向剪力；Mx和My為彎矩；Mxy和Myx為扭矩，Mxy=Myx；u、v和w分別為沿x、y和z軸的位移；θx和θy分別為繞x和y軸的轉角。

2.2簡諧激勵力下功能梯度板功率流分析

假設功能梯度板上一點受有集中簡諧力，則外載為

F(x,y,t)=F0δ(x-x0)δ(y-y0)ejωt

(7)

式中:F0為載荷的幅值，(x0,y0)為載荷作用位置，ω為載荷的激勵圓頻率，δ為Delta函數(shù)。

由式(1)和(2)不難發(fā)現(xiàn)，D≡Dxy+2Dk。則式(1)可寫成

(8)

式(1)的穩(wěn)態(tài)解為

(9)

為簡單計算，本文采用四邊簡支的邊界條件。則式(9)中功能梯度板的位移振型函數(shù)、第(m,n)階廣義質量、固有頻率分別為

(10a)

(10b)

(10c)

式中:a、b為功能梯度板的長、寬，m、n為矩形板彎曲振動的振動階次。

基于Kirchoff理論，式(6)可化簡為[10]：

(11a)

(11b)

上式各項為：

(12a)

(12b)

(12c)

(12d)

(12e)

(12f)

(12g)

結合式(9)、(11)、(12)即可得到功能梯度板中的傳播功率流。得到板中不同位置的功率流后，即可通過可視化方法，得到功能梯度板中的功率流矢量圖和流線圖[11]。

3　算例分析

3.1功能梯度板模態(tài)分析

功能梯度矩形板考慮板長a=1 m，寬b=0.8 m，厚h=0.01 m，材料的材料參數(shù)(彈性模量、密度、泊松比等)沿厚度方向以冪律變化，溫度不變。本文考慮陶瓷—金屬功能梯度材料矩形板，其材料參數(shù)按如下規(guī)律變化[2,12]：

(13)

式中：Xm、Xc為金屬和陶瓷的材料參數(shù)，k為梯度指數(shù)?？紤]Al/Al2O3功能梯度材料，則彈性模量Em=70 GPa，Ec=380 GPa，密度分別為ρm=2 707 kg/m3和ρc=3 800 kg/m3，泊松比νm=νc=0.3，結構阻尼η=0.001，k=1(如無特殊說明梯度指數(shù)均取此值)。

表1給出了功能梯度矩形板前十階固有頻率，同時在ANSYS中采用層合板模型模擬功能梯度板進行模態(tài)分析，與本文理論解對比分析?？梢钥闯?，本文理論解與數(shù)值解吻合較好，但是理論解計算出各階固有頻率大于ANSYS中的數(shù)值解，這是因為數(shù)值解采用SHELL181單元考慮了剪切變形，而理論解基于薄板理論做出適當簡化，兩者存在一定誤差，但誤差在可接受范圍。表2給不同梯度指數(shù)下功能梯度材料矩形板的前十階固有頻率。可以看出隨著梯度指數(shù)增大，功能梯度板剛度增大，各階固有頻率增大。

3.2功能梯度板輸入功率流分析

基于式(5)計算輸入到結構中的功率流，并得到無量綱化的輸入功率流隨激勵頻率的變化的曲線。圖2給出了點力作用在板中(0.5 m，0.4 m)處功能梯度材料矩形板振動功率流曲線。可見輸入功率流的大小與激勵頻率緊密相關，在某些頻率附近出現(xiàn)峰值，這些峰值頻率分別與功能梯度板的固有頻率對應。其中力的幅值為F0=1 N，Lw=10lg(P/P0),P0=1×10-12W。

表1　功能梯度矩形板板固有頻率

表2　不同梯度指數(shù)功能梯度板固有頻率

圖2　功能梯度板輸入功率流曲線Fig.2 The input power flow of a FG plate

圖3給出不同梯度指數(shù)下功能梯度材料矩形板輸入功率流隨激振頻率變化的曲線。從圖3可知，隨著梯度指數(shù)增加，輸入功率流曲線各峰值向高頻偏移，且隨著頻率增加偏移更大。這是由于梯度指數(shù)的增大使得板的彎曲剛度變大，固有頻率升高，從而使板輸入功率流峰值頻率向高頻移動。

圖3　不同梯度指數(shù)功能梯度板輸入功率流曲線Fig.3 The input power flow of FG plates with different gradient indexes

3.3功能梯度板中功率流傳播特性分析

基于式(11)計算板結構中的傳播功率流，圖4給出了功能梯度板的在486 Hz激勵下功率流矢量圖和流線圖，可以看出能量在結構中的流動特性，并能識別振源的位置和振動能量的傳播路徑。

圖4　下功能梯度板功率流矢量圖和流線圖(理論解)Fig.4 The power flow vector and streamslice plot of a FG plate for theoretical solution

為驗證本文理論計算的準確性，同時基于有限元法，在ANSYS中計算了功能梯度板的功率流，并后處理得到該頻率下功率流矢量圖和流線圖，如圖5所示。分別對比圖4和圖5中的矢量圖和流線圖，可以看出理論解計算結果與有限元解計算結果吻合很好，證明了本文理論計算分析的準確性。

圖5　功能梯度板功率流矢量圖和流線圖(有限元解)Fig.5 The power flow vector and streamslice plot of a FG plate in by FEM

圖6　不同頻率下功能梯度板功率流流線圖Fig.6 The power flow chat and streamslice plot of a FG plate under frequency 912 Hz

為進一步了解功能梯度板振動功率流特性，圖6給出不同激勵頻率下的功率流矢量圖和流線圖，可以看出，由于激勵頻率變化，在912 Hz激勵時，功能梯度材料板中出現(xiàn)了能量漩渦，但是激勵點的位置仍然可以清晰的辨識。結合功率流矢量圖和流線圖，能較好的識別功能梯度板結構的能量源、能量傳播路徑。

4　結　論

本文從功能梯度材料矩形板基本動力方程出發(fā)，推導得到簡諧激勵下四邊簡支功能梯度矩形板的振動穩(wěn)態(tài)解，結合振動功率流表達式，得到功能梯度矩形板輸入功率流曲線、功率流矢量圖和流線圖。通過研究功能梯度矩形板功率流特性，得到能量在結構中的傳播特性，為功能梯度材料結構振動及噪聲控制、識別結構聲源及主要結構聲傳遞路徑提供理論依據(jù)。

[1] HIRAI T, CHEN L. Recent and prospective development of functionally graded materials in Japan[J]. Materials Science Forum, 1999, 308: 509-514.

[2] 李華東, 朱錫, 梅志遠，等. 功能梯度板殼的力學研究進展[J]. 材料導報, 2012, 26(1): 110-118.

LI Huadong, ZHU Xi, MEI Zhiyuan,et al. The development of the mechanical behaviour researches on functionally graded plates and shells [J]. Materials Review, 2012, 26(1): 110-118.

[3] JHA D K, KANT T, SINGH R K. A critical review of recent research on functionally graded plates[J]. Composite Structures, 2013, 96: 833-849.

[4] 曹志遠. 不同邊界條件功能梯度矩形板固有頻率解的一般表達式[J]. 復合材料學報, 2005, 22(5): 172-177.

CAO Zhi-yuan. Unified expression of natural frequency solutions for functionally graded composite rectangular plates under various boundary conditions [J]. Acta Materiae Compositae Sinica, 2005, 22(5): 172-177.

[5] 徐步青,楊紹普,馬心坦. 線分布激勵下功能梯度材料矩形板聲輻射研究[J]. 北京交通大學學報, 2009(1):54-58.

XU Buqing. YANG Shaopu, MA Xintan.Sound radiation from a baffled FGMs rectangular plate with line excitation force[J]. Journal of Beijing Jiaotong University, 2009(1):54-58.

[6] 姚熊亮, 葉曦, 王獻忠. 熱環(huán)境中功能梯度圓柱殼聲輻射特性研究[J]. 工程力學, 2013, 30(6): 334-339.

YAO Xiongliang,YE Xi, WANG Xianzhong.The acoustic radiation characteristic of functionally graded cylindrical shells in thermal environment [J]. Engineering Mechanics, 2013, 30(6): 334-339.

[7] 楊智勇, 牛忠榮, 程長征，等. 功能梯度矩形板問題三維理論的半解析解[J]. 應用力學學報, 2013(4):581-586.

YANG Zhiyong, NIU Zhongrong, CHENG Changzheng,et al. Semi-analytical solution of functionally graded rectangular plate in three-dimensional theory [J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2013(4):581-586.

[8] PANG Z H, ZHU X, LI T Y, et al. Nonlinear input power flow analysis of a plate with a breathing crack[J]. Applied Mechanics & Materials, 2014, 638/639/640:163-167.

[9] 薛開, 王久法, 李秋紅，等. 中厚矩形板的振動功率流特性分析[J].振動與沖擊,2013,32(21):178-181.

XUE Kai, WANG Jiufa, LI Qiuhong,et al.Vibration power flow analysis of moderately thick rectangular plates [J]. Journal of Vibration and Shock, 2013,32(21):178-181.

[10] 楊念, 陳爐云, 張裕芳. 基于波函數(shù)法的結構振動功率流研究[J]. 振動與沖擊, 2014,33(2):173-177.

YANG Nian, CHEN Luyun, ZHANG Yufang. Wave based method for steady-state power analysis [J].Journal of Vibration and Shock, 2014,33(2):173-177.

[11] 朱翔,李天勻,趙耀，等. 基于有限元的損傷結構功率流可視化研究[J]. 機械工程學報,2009(2):132-137.

ZHU Xiang, LI Tianyun, ZHAO Yao,et al. Visualization research on the power flow characteristics of damaged structures based on the finite element method [J]. Journal of Mechanical Engineering, 2009(2):132-137.

[12] LOY C T, LAM K Y, REDDY J N. Vibration of functionally graded cylindrical shells[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 1999, 41(3): 309-324.

Vibration power flow analysis for functionally graded rectangular plates

ZHANG Ling, ZHU Xiang, LI Tianyun, YIN Xueji

(School of Naval Architecture and Ocean Engineering, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China)

According to the basic dynamic equation of FGM rectangular plates, the transverse vibration response under harmonic excitation force was obtained based on the modal superposition method. Combined with the structural vibration power flow equation, power flow analysis of the FGM rectangular plate was carried out. In the numerical example, the natural frequency of an FGM rectangular plate was firstly calculated, the theoretical solution was then compared with the FEM solution, which shows a good agreement. The input power flow of an FGM rectangular plate was analyzed, and the effect of different gradient indexes on the input power flows was discussed. And the propagation characteristics of the power flow in an FGM plate was analyzed through the visualization method. The FGM plate was described by the power flow vector and flow chart.

functionally graded materials; rectangular plate; vibration power flow; modal superposition

國家自然科學基金項目(51479079)；船舶預研支撐技術基金項目(13J1.3.2)

2015-07-28修改稿收到日期：2015-08-26

張玲 女，碩士生，1991年2月生

朱翔 男，副教授，碩士生導師，1980年11月生

TB535

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.16.030