呂政軒，劉云清

（長(zhǎng)春理工大學(xué)　電子信息工程學(xué)院，長(zhǎng)春　130022）

基于MIT的伺服轉(zhuǎn)臺(tái)系統(tǒng)自適應(yīng)控制

呂政軒，劉云清

（長(zhǎng)春理工大學(xué)電子信息工程學(xué)院，長(zhǎng)春130022）

伺服轉(zhuǎn)臺(tái)作為一個(gè)高精度的位置隨動(dòng)系統(tǒng)，提高其對(duì)高速目標(biāo)的跟蹤精度已經(jīng)成為研究伺服轉(zhuǎn)臺(tái)的重要課題。針對(duì)這一問(wèn)題，采用模型參考自適應(yīng)控制的方法對(duì)伺服轉(zhuǎn)臺(tái)進(jìn)行控制，基于MIT理論計(jì)算得到自適應(yīng)控制律，完成控制系統(tǒng)的總體設(shè)計(jì)，最后使用Matlab/Simulink仿真軟件對(duì)控制系統(tǒng)的性能進(jìn)行仿真驗(yàn)證。結(jié)果表明，基于MIT理論設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，且能夠有效的提高伺服轉(zhuǎn)臺(tái)控制系統(tǒng)跟蹤精度。

伺服轉(zhuǎn)臺(tái)系統(tǒng)；模型參考自適應(yīng)控制；MIT

隨著科技的發(fā)展，運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)速度、加速度已經(jīng)有了明顯的提升，因此對(duì)伺服轉(zhuǎn)臺(tái)控制系統(tǒng)的跟蹤精度要求也日益提高。在非線性時(shí)變高速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤領(lǐng)域，傳統(tǒng)的控制方法很難達(dá)到理想的效果［1］。

本文針對(duì)兩軸四框架伺服轉(zhuǎn)臺(tái)控制系統(tǒng)進(jìn)行模型參考自適應(yīng)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，伺服轉(zhuǎn)臺(tái)控制系統(tǒng)模型基于速度環(huán)與位置環(huán)的雙閉環(huán)理論建立，由于速度環(huán)與位置環(huán)的設(shè)計(jì)方法大體相同，故在文中以速度環(huán)的設(shè)計(jì)為例。文中采用MIT自適應(yīng)控制，這種自適應(yīng)控制方法是由麻省理工學(xué)院科研人員首次提出，并使用局部參數(shù)最優(yōu)化的方法設(shè)計(jì)出了第一個(gè)真正意義上的自適應(yīng)控制律。在計(jì)算得到系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，根據(jù)MIT方法得到自適應(yīng)控制律，完成整個(gè)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。最后在Matlab/Simulink軟件環(huán)境下，搭建控制系統(tǒng)的仿真框圖，并通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)所設(shè)計(jì)系統(tǒng)的控制效果進(jìn)行驗(yàn)證。通過(guò)對(duì)比和分析，確定控制器對(duì)系統(tǒng)控制精度的提升效果。

1　伺服轉(zhuǎn)臺(tái)控制系統(tǒng)

伺服轉(zhuǎn)臺(tái)控制系統(tǒng)的主要用途是在航空航天領(lǐng)域中，搭載如CCD相機(jī)、攝像機(jī)等光學(xué)設(shè)備，它的工作過(guò)程是當(dāng)給定一個(gè)系統(tǒng)輸入時(shí)，伺服轉(zhuǎn)臺(tái)會(huì)連續(xù)地根據(jù)當(dāng)前的誤差來(lái)調(diào)整方位軸和俯仰軸，以確保運(yùn)動(dòng)目標(biāo)不會(huì)脫離跟蹤視野。圖1所示即為伺服轉(zhuǎn)臺(tái)控制系統(tǒng)的雙閉環(huán)結(jié)構(gòu)框圖［2］。

如圖1所示，θi為系統(tǒng)輸入即目標(biāo)當(dāng)前位置，ω是伺服轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度和θo是系統(tǒng)的實(shí)際輸出即伺服轉(zhuǎn)臺(tái)的角位置，角位置是角速度的積分，所以二者以積分環(huán)節(jié)鏈接，Δθ為角度誤差?，F(xiàn)代轉(zhuǎn)臺(tái)伺服系統(tǒng)大多采用位置環(huán)加速度環(huán)的雙環(huán)控制模式，位置環(huán)主要用于保證伺服轉(zhuǎn)臺(tái)系統(tǒng)的精度，速度環(huán)系統(tǒng)主要作用是提高系統(tǒng)的剛度來(lái)抑制系統(tǒng)的非線性及外部擾動(dòng)本文中對(duì)速度環(huán)采用模型參考自適應(yīng)控制，位置環(huán)只需在速度環(huán)的基礎(chǔ)上加入一個(gè)積分環(huán)節(jié)即可，控制方法同理，不再贅述。

圖1　轉(zhuǎn)臺(tái)伺服系統(tǒng)框圖

2　模型參考自適應(yīng)控制

2.1模型參考自適應(yīng)控制原理

模型參考自適應(yīng)控制（Model Reference Adapting Control，后面簡(jiǎn)稱為MRAC）是智能控制的一個(gè)分支，主要用于非線性系統(tǒng)的控制。模型參考自適應(yīng)控制需要根據(jù)系統(tǒng)所需的性能指標(biāo)設(shè)計(jì)理想?yún)⒖寄Ｐ?，因此，?duì)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模和性能分析是必不可少的。MRAC控制器設(shè)計(jì)中最核心任務(wù)是自適應(yīng)控制律的計(jì)算，MRAC中計(jì)算控制律的主要方法是采用確定等價(jià)法，在計(jì)算所得到的自適應(yīng)控制律的基礎(chǔ)上，建立整個(gè)系統(tǒng)的原理框圖，其整體結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2　MRAC系統(tǒng)原理框圖

從圖2中可以看到，整個(gè)MRAC控制系統(tǒng)可以分為內(nèi)環(huán)和外環(huán)兩個(gè)部分。其中內(nèi)環(huán)被稱為可調(diào)回路，它是一個(gè)由被控對(duì)象和可調(diào)控制器組成的一個(gè)反饋閉環(huán)回路；外環(huán)被稱為自適應(yīng)部分，它主要包含了根據(jù)自適應(yīng)控制律設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制器和根據(jù)控制系統(tǒng)所需性能指標(biāo)選取的參考模型。其中參考模型與實(shí)際模型并聯(lián)，二者輸出之差稱作控制系統(tǒng)的廣義誤差，當(dāng)廣義誤差為零時(shí)，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。因此，MRAC系統(tǒng)的工作過(guò)程為：當(dāng)系統(tǒng)給定一個(gè)輸入u時(shí)，實(shí)際模型的輸出響應(yīng)為ys，參考模型的輸出響應(yīng)為ym，由于兩個(gè)模型有所差異，所以輸出響應(yīng)也會(huì)不同，二者的差成為廣義誤差e=ym-ys，當(dāng)系統(tǒng)檢測(cè)到廣義誤差后，自適應(yīng)回路會(huì)根據(jù)當(dāng)前的廣義誤差修改自身參數(shù)，從而改變可調(diào)控制器，使廣義誤差趨向于零，最終確保參考模型和實(shí)際模型的輸出響應(yīng)完全一致［3］。

為了提高伺服轉(zhuǎn)臺(tái)控制系統(tǒng)的精度，本文系統(tǒng)中選用的控制方法為模型參考自適應(yīng)控制的方法。選取的參考模型以響應(yīng)速度和穩(wěn)態(tài)精度為主要技術(shù)指標(biāo)，通過(guò)整個(gè)系統(tǒng)的自適應(yīng)調(diào)節(jié)，確保實(shí)際模型輸出響應(yīng)可以趨近于參考模型的響應(yīng)，并最終能夠達(dá)到廣義誤差為零［1］。

2.2自適應(yīng)控制律計(jì)算

設(shè)理想模型的傳遞函數(shù)為：

被控系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：

系統(tǒng)廣義誤差為：

式中：Km—理想模型的開(kāi)環(huán)增益；Kv—實(shí)際被控系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益；ym—理想模型的輸出；ys—實(shí)際被控系統(tǒng)的輸出。e為控制系統(tǒng)的廣義誤差，其值為輸入相同時(shí)，參考模型與實(shí)際模型的輸出響應(yīng)之差，廣義誤差e是模型參考自適應(yīng)控制系統(tǒng)的重要性能指標(biāo)［4］。

選取性能指標(biāo)泛函為：

廣義誤差e是影響J值的重要參數(shù)，系統(tǒng)的廣義誤差e是通過(guò)改變可調(diào)控制器的參數(shù)Kc進(jìn)行控制。為使性能指標(biāo)J能夠達(dá)到最小值，本文中采用梯度法進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，首先求出J對(duì)Kc的偏導(dǎo)數(shù)：

根據(jù)梯度法可知，若要控制系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，必須保證J值逐漸減小。故Kc值應(yīng)沿梯度下降方向減小，當(dāng)移動(dòng)步距固定時(shí)，Kc的變化量ΔKc應(yīng)取為：

式中：步距λ＞0，調(diào)整后Kc的值為：

式中：Kc0—可調(diào)增益的初始值，ΔKc=Kc-Kc0。

上式兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，可以得到自適應(yīng)控制律K.c：

將式（9）變形為：

對(duì)S域方程式（10）進(jìn)行Laplace反變換即可得到其時(shí)域的表現(xiàn)形式：

式中：p—微分算子。

方程兩邊對(duì)Kc求導(dǎo)數(shù)得：

根據(jù)前面的推導(dǎo)，由于理想模型和實(shí)際模型屬于并聯(lián)關(guān)系，因此，理想模型具有如下的輸入與輸出關(guān)系：

觀察式（12）和式（13），可以發(fā)現(xiàn)D（p）、Kv、均為常數(shù)，因此和ym（t）為比例關(guān)系。為了計(jì)算和設(shè)計(jì)的方便，在此用ym（t）代替微分信號(hào)，所以得到控制系統(tǒng)自適應(yīng)律的新形式如下：

式中：

在此式中，μ為常數(shù)，e為系統(tǒng)廣義誤差，ym（t）為參考模型的輸出響應(yīng)，這些均為可測(cè)量，至此，自適應(yīng)控制律推導(dǎo)完畢。

MIT自適應(yīng)控制方案如圖3所示。

圖3　MIT自適應(yīng)控制方案

根據(jù)上述的計(jì)算推導(dǎo)，可以得出控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述方程組如下：

式中，第一個(gè)方程描述了控制系統(tǒng)的廣義誤差與輸入的關(guān)系，第二個(gè)方程描述了參考模型與輸入的關(guān)系，第三個(gè)方程描述了整個(gè)系統(tǒng)的自適應(yīng)控制律。

3　速度回路的數(shù)學(xué)模型與系統(tǒng)仿真

3.1系統(tǒng)模型建立

在轉(zhuǎn)臺(tái)伺服控制系統(tǒng)中，速度環(huán)主要由PWM功率放大環(huán)節(jié)、電機(jī)數(shù)學(xué)模型環(huán)節(jié)、數(shù)字脈沖調(diào)寬環(huán)節(jié)組成，速度環(huán)模型如圖4所示。

GP（s）是一個(gè)PWM功率放大器，通?？梢钥醋霰壤h(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)通常為常數(shù)KP。

圖4　速度環(huán)模型

伺服轉(zhuǎn)臺(tái)控制系統(tǒng)通過(guò)直流電機(jī)進(jìn)行驅(qū)動(dòng)，目前通常采用PWM技術(shù)進(jìn)行直流電機(jī)調(diào)速［2］。據(jù)此可以求出驅(qū)動(dòng)電機(jī)的數(shù)學(xué)模型，其性能參數(shù)如表1所示。

表1　通用直流力矩電機(jī)性能表

電磁轉(zhuǎn)矩：

式中Tem—電磁轉(zhuǎn)矩（N·m）/A；Ia—電樞電流A； Ki—電機(jī)力矩系數(shù)。

電樞反電勢(shì)：

式中，Ea—電樞反電勢(shì)；ω—電機(jī)轉(zhuǎn)子角速度；Ke—反電勢(shì)系數(shù)。

電機(jī)動(dòng)態(tài)電壓平衡方程：

式中，Ua—控制電壓；La—電樞電感；Ra—電樞電阻；Ia—電樞電流；

電機(jī)動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)矩平衡方程：

式中，Tc—負(fù)載總轉(zhuǎn)矩，又稱干擾力矩；J—電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=JM+JL，J自身轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，JL負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

將以上四式進(jìn)行Laplace變換并整理得：

相應(yīng)的電機(jī)框圖如圖5所示。

圖5　直流力矩電機(jī)傳遞框圖

假設(shè)外界條件為理想狀態(tài)，即不存在干擾力矩Tc=0。以速度環(huán)為例，選定輸出量為角速度Ω（s），經(jīng)過(guò)整理可得直流力矩電機(jī)的數(shù)學(xué)模型為：

式中，τm為直流力矩電機(jī)的機(jī)電常數(shù)τe為直流力矩電機(jī)的電磁常數(shù)

GH（s）起到采樣保持的作用，其數(shù)學(xué)模型相當(dāng)于一個(gè)零階保持器，通常直流PWM的工作頻率為200Hz以上，所以TPWM的值很小，該環(huán)節(jié)可以等效為一個(gè)慣性環(huán)節(jié)。

由于TPWM?τm、τe，故電機(jī)傳遞函數(shù)可以等效為一個(gè)二階系統(tǒng)。

將表1中電機(jī)的相應(yīng)參數(shù)代入式（24）進(jìn)行計(jì)算，可得直流電機(jī)速度環(huán)的具體數(shù)學(xué)模型為：

3.2仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果

控制系統(tǒng)中參考模型的選擇，取決于系統(tǒng)對(duì)性能指標(biāo)的要求，本文中選擇具有較高穩(wěn)態(tài)精度與較快響應(yīng)速度的參考模型。在仿真過(guò)程中，分別對(duì)參考模型和實(shí)際模型的輸出響應(yīng)，以及系統(tǒng)的廣義誤差進(jìn)行觀察。分析系統(tǒng)廣義誤差的變化規(guī)律，以及實(shí)際模型對(duì)參考模型的跟蹤效果。

相較于其他理論，MIT規(guī)則只考慮性能指標(biāo)泛函數(shù)的局部最優(yōu)解，因此系統(tǒng)設(shè)計(jì)較為簡(jiǎn)單，在實(shí)際工作中也更容易實(shí)現(xiàn)。然而，MIT規(guī)則具有其局限性，當(dāng)系統(tǒng)輸出或自適應(yīng)增益過(guò)大時(shí)，響應(yīng)曲線不收斂，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

根據(jù)響應(yīng)性能指標(biāo)，選擇系統(tǒng)的參考模型為：

分母展開(kāi)可得：

可調(diào)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是：

因?yàn)閺V義誤差e=ym-ys，故將式（29）（30）代入自適應(yīng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述方程組：

現(xiàn)設(shè)定控制系統(tǒng)的輸入u幅值為10的階躍信號(hào)，Kv的取值范圍是0.5～1.3，通過(guò)計(jì)算整理可得：

對(duì)式（23）進(jìn)行Laplace變換可得：

若要閉環(huán)系統(tǒng)能夠穩(wěn)定，根據(jù)Routh判據(jù)［5］，有：

根據(jù)Kv的取值范圍，當(dāng)Kv=0.5時(shí)，得到確保系統(tǒng)穩(wěn)定的μ取值范圍：

圖6為控制系統(tǒng)的仿真框圖，各部分結(jié)構(gòu)如圖所示［7］。

圖6　系統(tǒng)仿真框圖

3.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本文中提出使用模型參考自適應(yīng)控制的方法來(lái)控制速度環(huán)［6］。通過(guò)使用MIT原理來(lái)推導(dǎo)自適應(yīng)控制律。根據(jù)計(jì)算得出的μ取值范圍，在仿真實(shí)驗(yàn)中取μ=7，系統(tǒng)輸入u=10。則在Matlab/Simulink軟件中可得到實(shí)際模型與參考模型的輸出曲線如圖7所示。

圖7　控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)信真曲線

如圖7可見(jiàn)，細(xì)線為理想模型的響應(yīng)曲線，粗線為實(shí)際模型響應(yīng)曲線。實(shí)際模型最大超調(diào)量σ%=10%，調(diào)節(jié)時(shí)間ts=0.2s，上升時(shí)間tr=0.15s，穩(wěn)態(tài)誤差ess=0。當(dāng)μ在合適范圍內(nèi)選取時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。

廣義誤差仿真曲線如圖8所示。

圖8　控制系統(tǒng)廣義誤差仿真曲線

如圖8可見(jiàn)，由于實(shí)際系統(tǒng)與參考模型的差異，在初始狀態(tài)，系統(tǒng)存在較大誤差，在自適應(yīng)控制律的調(diào)節(jié)下，誤差逐步縮小，直到0.5s之后，實(shí)際系統(tǒng)與參考模型之間誤差為0，二者無(wú)限接近，控制系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。結(jié)合圖7、圖8可知，模型參考自適應(yīng)控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能和靜態(tài)性能能夠滿足設(shè)計(jì)要求。

圖9　μ=7，u=80時(shí)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線

按照MIT理論，如果自適應(yīng)增益過(guò)大，或者輸入信號(hào)的幅值過(guò)大，都有可能使系統(tǒng)不穩(wěn)定。為了驗(yàn)證這一點(diǎn)，分別取μ=7，u=80和 μ=50，u=10兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真，并進(jìn)行對(duì)比。系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖9、圖10所示。

圖10　μ=50，u=10時(shí)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線

在圖9和圖10中，細(xì)線為理想模型響應(yīng)曲線，粗線為實(shí)際模型響應(yīng)曲線?？梢?jiàn)，當(dāng)自適應(yīng)增益或輸入信號(hào)幅值過(guò)大時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

4　結(jié)論

本文基于MIT規(guī)則采用模型參考自適應(yīng)控制的方法，對(duì)伺服轉(zhuǎn)臺(tái)控制系統(tǒng)的速度環(huán)進(jìn)行了自適應(yīng)控制器的設(shè)計(jì)。在自適應(yīng)系統(tǒng)中，自適應(yīng)控制律的優(yōu)劣直接影響控制系統(tǒng)的整體性能指標(biāo)，因此文中對(duì)控制系統(tǒng)的自適應(yīng)控制律進(jìn)行了詳細(xì)的推導(dǎo)。最后通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)進(jìn)行檢驗(yàn)，可以看出，當(dāng)系統(tǒng)輸入和自適應(yīng)增益選擇適當(dāng)時(shí)，實(shí)際模型的輸出響應(yīng)能夠完成對(duì)參考模型的跟蹤，系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)特性。

伺服轉(zhuǎn)臺(tái)控制系統(tǒng)是一個(gè)具有時(shí)變非線性的高精度的位置隨動(dòng)系統(tǒng)，模型參考自適應(yīng)控制是應(yīng)對(duì)系統(tǒng)的非線性和隨機(jī)性等問(wèn)題的有效方法。當(dāng)跟蹤高速目標(biāo)時(shí)，模型參考自適應(yīng)控制能夠有效的提高伺服轉(zhuǎn)臺(tái)控制系統(tǒng)跟蹤精度。

［1］董寧.自適應(yīng)控制［M］.北京：北京理工大學(xué)出版社，2009：29-105.

［2］梅曉榕，王堅(jiān).三軸轉(zhuǎn)臺(tái)的自適應(yīng)控制［J］.航天工程，2007，7（1）：9-11.

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［4］宮玉琳.永磁同步電動(dòng)機(jī)自適應(yīng)逆控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)［J］.長(zhǎng)春理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015，38（4）：61-64.

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Adaptive Control of Servotable System Based on MIT

LV Zhengxuan，LIU Yunqing

（School of Electronics and Information Engineering，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022）

Currently，the speed of moving object is more and more fast.As a high-accuracy position servo system，it has become an important project that improving the tracking accuracy of high-speed object.To solve this problem，controlling the servotable by the way of model reference adaptive control.And calculating based on the principle of MIT to obtain the adaptive control law based on the principle of MIT.At last，the performance of the control system was validated by using Matlab/Simulink simulate software.Adaptive control system based on MIT is simple，easily achievable and can be applying to common control system.

servo system；model reference adaptive control；MIT

TP273.2

A

1672-9870（2016）03-0050-06

2015-12-29

呂政軒（1989-），男，碩士研究生，E-mail：liuanfengdi@126.com

劉云清（1970-），男，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail：234577142@126.com