洪木山（福建省南安第一中學(xué)）

例談“三角代換”法證明不等式

洪木山
（福建省南安第一中學(xué)）

變量代換是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用技巧，在高考試卷特別是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中出現(xiàn)頻繁。對(duì)于一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變?cè)^多而變化關(guān)系不太清楚的不等式，可以適當(dāng)引進(jìn)一些新變量替換（或者部分替換）原來(lái)的變量，從而簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)，凸顯特征，是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想的重要體現(xiàn)。三角代換是一種常用的代換方法，下面通過(guò)舉例子來(lái)說(shuō)明用“三角代換”法證明不等式。

例1.設(shè)x1，x2，y1，y2∈R，證明

當(dāng)x1，x2，y1，y2不全為零時(shí)，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)cos（α-β）=±1時(shí)取得，

即當(dāng)x1=λx2，y1=λy2時(shí)，等號(hào)成立。

于是y2≤n2-m，即故原不等式得證。

說(shuō)明：兩道題的證明都采用了三角代換的技巧，事實(shí)上形如a2+b2≤r2的結(jié)構(gòu)均可以考慮作類似的三角代換。三角代換不止于此，還可以將代數(shù)等式或不等式與三角恒等式進(jìn)行類比，從而得到所需要的形式新穎的不同代換。

·編輯王團(tuán)蘭