黃秋蘭（江西省南昌市第十六中學）

不等式恒成立問題的求解方法探析

黃秋蘭
（江西省南昌市第十六中學）

恒成立問題是高中數(shù)學中的一個熱點，而不等式恒成立問題更是高考的重點.不等式恒成立問題把數(shù)學中有關不等式、函數(shù)、三角、幾何、數(shù)列、導數(shù)等內(nèi)容有機地結(jié)合，其既具綜合性較強，覆蓋知識點多，解題方法靈活等特點，又能有效地考核對所蘊涵數(shù)學思想和方法的掌握.但學生遇到這類問題時，卻較難找到解題的切入點和突破口，因此它也是教學的難點.

不等式；恒成立；函數(shù)

本文通過結(jié)合實例來探析解決這類問題的常用策略以及數(shù)學思想方法.

一、變量分離法

對于一些含參數(shù)的不等式問題，通過將不等式同解變形，使不等式中的變量和參數(shù)分離，再通過求函數(shù)的值域的方法將問題化歸為解關于參數(shù)的不等式的問題.

例1.若對于任意角總有sin2θ+2m cosθ+4m-1＜0成立，求m的取值范圍.

解析：此式是可分離變量型，由原不等式得2m（cosθ+2）＜cos2θ，又cosθ+2＞0，則原不等式等價變形為恒成立.因此，2m必須小于的最小值，這樣問題化歸為怎樣求的最小值.因為

即cosθ=0時，有最小值為0，故m＜0.

一般地，若f（a）≥g（x）恒成立，只須求出g（x）max，則f（a）≥g（x）max，（若f（a）≤g（x）恒成立，只須求出g（x）min，則f（a）≤g（x）min），然后解不等式求出參數(shù)a的取值范圍，問題關鍵還是轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值.

二、主元變更法

在解決某些含參數(shù)不等式恒成立問題時，應克服思維的定勢和認識上的習慣，常量與變量是相對的，在主元與參量交織在一起時，要敏銳地捕捉到主元，建立關于主元的函數(shù).

例4.對于滿足0≤p≤4的一切實數(shù)p，不等式x2+px＞4x+p-3恒成立，求x的取值范圍.

分析：我們的學生習慣上把x當作自變量，若記函數(shù)y=x2+ （p-4）x+3-p，于是問題轉(zhuǎn)化為當p∈［0，4］時y＞0恒成立，求x的范圍.解決這個問題常需要應用二次函數(shù)以及二次方程實根分布原理，這就復雜了.但若能把x與p兩個量互換一下角色，即p視為變量，x為常量，則上述問題可轉(zhuǎn)化為在［0，4］內(nèi)關于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題，問題就簡化了.

解：設f（p）=（x-1）p+x2-4x+3，當x=1時顯然不滿足題意.

由題設知當0≤p≤4時f（p）＞0恒成立，f（0）＞0，f（4）＞0即x2-4x+3＞0且x2-1＞0，解得x＞3 或x＜-1.x的取值范圍為x＞3或x＜-1.

三、數(shù)形結(jié)合法

我國著名的數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微.”這充分說明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處.在不等式恒成立問題中利用數(shù)形結(jié)合同樣有重要意義.將不等式兩端的式子分別看作兩個函數(shù)，且正確作出兩個函數(shù)的圖象，

因此，當前物理教學仍應重視實驗教學，加強實驗教學。

1.教導學生對物理現(xiàn)象進行觀察和分析

在觀察某一個物理現(xiàn)象時，教師要引導學生觀察這一現(xiàn)象產(chǎn)生的條件，要對相似實驗進行對比。例如，在開展摩擦起電的現(xiàn)象時，要讓學生重點關注以下幾點：（1）頭發(fā)摩擦過的塑料尺對小碎紙產(chǎn)生什么效果？（2）用頭發(fā)摩擦過的兩把塑料尺相互靠近時，會有何種現(xiàn)象？（3）分別用毛皮摩擦過的橡膠棒和用絲綢摩擦過的玻璃棒相互靠近時，又會產(chǎn)生怎樣的現(xiàn)象？通過分析對比，學生會明白摩擦起電的實質(zhì)。不少學生通過實驗觀察，不但了解了教師教學的重點，加深了對實驗現(xiàn)象的理解，同時也加強了觀察力。

2.通過物理實驗，培養(yǎng)學生動手動腦的能力

在物理實驗教學中，要注重學生實驗技能的培養(yǎng)，加強學生的動手能力。開展實驗教學前，教師首先講解相關實驗的理論知識，講述實驗儀器的正確使用方法，強調(diào)實驗儀器的使用注意事項，講解讀數(shù)、計數(shù)的方法，幫助學生高效準確地完成實驗，得到正確的實驗結(jié)果。例如，在使用螺旋測微器測量小球直徑時，教師要強調(diào)螺旋測微器調(diào)零操作，避免學生因為調(diào)零不準而造成讀數(shù)錯誤。另外，教師還應反復讀數(shù)原理，加強學生的讀數(shù)練習，防止學生不明讀數(shù)規(guī)則而錯讀。通過多次實驗，學生可以掌握基本的實驗技巧，具備動手操作的能力，打好實驗基礎。通過實驗，學生不僅學習到了實驗技巧，同時鍛煉了動腦思考實驗現(xiàn)象的能力。

3.通過物理現(xiàn)象，加強學生的分析能力

物理實驗不僅可以加強學生對理論知識的掌握，同時也能促進學生分析案例和解決實際相關問題的能力。例如，在利用實驗引入重力加速度時，細心的同學會觀察到，金屬球和紙片在同一高度自由下落時，金屬球先著地；但兩個質(zhì)量相差很大的金屬球在同一高度自由下落時，兩球同時著地。此時，問題就產(chǎn)生了，為什么會有這樣的現(xiàn)象？學生就會通過所學知識加以分析，原來紙片在空氣中受到的阻力較大，因而后著地。在此過程中，學生對這個現(xiàn)象加以分析，產(chǎn)生疑惑，并通過對比，最終得出結(jié)果。這一系列過程，學生不僅培養(yǎng)了分析能力，同時也加強了解決問題的能力。

總之，物理是一門以進行實驗和觀察現(xiàn)象為重中之重的學科。在實際教學過程中，物理教師應當合理利用這一特殊優(yōu)勢，引導學生積極主動地參與到物理實驗教學中。通過物理實驗，激發(fā)學生學習的熱情和積極性，培養(yǎng)學生動手動腦、合作交流的能力，讓學生在學習中產(chǎn)生樂趣，加深學生對知識的理解。

王能宏.如何提高初中物理實驗教學的有效性［J］.新課程學習：中，2011（5）.

·編輯李琴芳