姬　歡，裴道武

(浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州 310018)

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不確定語言Hero平均算子及其在多屬性群決策中的應(yīng)用

姬歡，裴道武

(浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州 310018)

基于Hero平均算子，提出一些適合不確定語言環(huán)境的聚合算子，即不確定語言Hero平均(ULHA)算子和不確定語言廣義Hero平均(ULGHA)算子, 并且討論了它們的基本性質(zhì), 如單調(diào)性、有界性、冪等性、置換性等，以及它們的一些特殊情形。在ULHA算子的基礎(chǔ)上，提出了不確定語言幾何Hero平均(ULGHA)算子和不確定語言加權(quán)幾何Hero平均(ULWGHA)算子。最后給出了基于ULWGHA算子的多屬性群決策方法，并且將之應(yīng)用到教師選拔問題中。

多屬性群決策；不確定語言變量；Hero平均算子；不確定語言Hero平均算子；不確定語言加權(quán)幾何Hero平均算子

0　引　言

多屬性決策問題就是從有限可行方案中選出最優(yōu)的，決策者會針對不同的方案及不同的屬性給出自己的偏好信息，通常以實(shí)數(shù)表示這些偏好信息。然而在實(shí)際生活中，主觀和客觀因素的不確定性使得偏好信息不能用實(shí)數(shù)簡單地表示，故需要用語言變量，2元語言變量，模糊數(shù)，直覺模糊數(shù)等代替實(shí)數(shù)。當(dāng)給出的語言偏好表示值并不是語言術(shù)語集中的某個語言值，而是介于兩個語言術(shù)語之間，許多學(xué)者給出了新的定義，如徐澤水[1-2]給出了不確定語言變量的定義，并定義了不確定語言變量之間的運(yùn)算法則。近年來，許多學(xué)者研究不確定語言多屬性群決策問題，如：徐澤水[1,3]提出了不確定語言加權(quán)平均(ULWA)算子，不確定語言有序加權(quán)平均(ULOWA)算子和不確定語言混合平均(ULHA)算子，誘導(dǎo)的不確定語言有序加權(quán)平均(IULOWA)算子，以及不確定語言幾何平均(ULGA)算子，并且討論了它們的性質(zhì)，并且將其應(yīng)用到實(shí)際多屬性決策問題中；Wei[4]提出了不確定語言混合幾何平均(ULHGA)算子及其在多屬性群決策中的應(yīng)用。

自從Beliakov于2007年提出Hero平均算子[5]以來，由于該算子可以反映輸入值之間的相互關(guān)系，它已在決策分析等多個領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用和推廣[6-10]。基于Hero平均算子和不確定語言環(huán)境，本文提出了不確定Hero平均算子，不確定語言幾何Hero平均算子，不確定語言加權(quán)幾何Hero平均算子，討論了它們滿足的一些性質(zhì)和特殊類，并且考慮了它們的實(shí)際應(yīng)用。

1　預(yù)備知識

針對3個任意的不確定語言變量：

徐澤水[1]給出不確定語言變量之間的運(yùn)算法則：

定義2[5]令ai(i=1,2,…,n)是非負(fù)數(shù)，算子

稱為Hero平均算子。

算子HA滿足單調(diào)性、冪等性、有界性和交換性[5]。

定義3[6]令I(lǐng)=[0,1],p,q≥0,且，p,q不同時為0,HAp,q:In→I,稱算子HAp,q，即：

為廣義Hero平均算子。

算子HAp,q是有界的、單調(diào)的、冪等的[6]。

定義4[6]令p,q>0,ai(i=1,2,…,n)是非負(fù)數(shù)，稱函數(shù)

GHAp,q(a1,a2,…,an)=

為幾何Hero平均算子。

該算子滿足下面的性質(zhì)：

a)如果ai=a, 則GHAp,q(a1,a2,…,an)=a；

b)如果ai≥bi(i=1,2,…,n),則GHAp,q(a1,a2,…,an)≥GHAp,q(b1,b2,…,bn)；

c)mini{ai}≤GHAp,q(a1,a2,…,an)≤maxi{ai}.

2　不確定語言Hero平均算子

為不確定語言Hero平均算子。

不難看出，經(jīng)過算子ULHA聚合后的值還是不確定語言變量。

定理1 (有界性) 設(shè)：

i=(1,2,…,n),

以上4個定理的證明由Hero平均算子的性質(zhì)可直接得出。

為不確定語言廣義Hero平均算子。

注1：ULHAp,q算子是單調(diào)的、有界的、冪等的。

下面討論針對參數(shù)p,q的不同取值所得到的一些特殊情形。

特例1：若q→0, 則有：

特例2: 若p→0, 則有：

特例4:若p=1,q→0, 則有：

特例5:若q=1,p→0, 則有：

為不確定語言幾何Hero平均算子。

由幾何Hero平均算子的性質(zhì)可知，ULGHAp,q算子是單調(diào)的、有界的、冪等的，但它不滿足置換性。

定理5若p=q,ULGHAp,q算子滿足單調(diào)性。

以上所提出的不確定語言平均算子的輸入值的權(quán)重是相等的，然而，在實(shí)際應(yīng)用中輸入值的權(quán)重一般是不同的，因此本文提出了不確定語言加權(quán)幾何Hero平均算子。它不僅考慮了輸入值的權(quán)重，而且還考慮了輸入值之間的相互關(guān)系。

為不確定語言加權(quán)幾何Hero平均算子。

可以直接證明ULWGHAp,q算子滿足單調(diào)性，但它不滿足冪等性。

3　基于ULWGHA算子的實(shí)際應(yīng)用

假設(shè)現(xiàn)在需要從4個教師x1、x2、x3、x4中選出一個最優(yōu)秀的，可以從4個方面c1、c2、c3、c4來評價他們，其中：c1代表綜合素質(zhì)，c2代表教學(xué)質(zhì)量，c3代表科研情況，c4代表其他(健康等)，且相對應(yīng)的權(quán)重向量為w=(0.2,0.5,0.2,0.1)T，記X={x1,x2,x3,x4}，C={c1,c2,c3,c4}。

現(xiàn)有3個評選專家e1、e2、e3，其中e1來自學(xué)生，e2來自同事，e3是教師本人，且相對應(yīng)的權(quán)重向量為v=(0.5,0.3,0.2)T。

評價教師利用下面的語言術(shù)語表示：

S={s1=很差，s2=差，s3=一般，s4=好，s5=很好，s6=極好}.

表1　決策矩陣A(1)

表2　決策矩陣A(2)

表3　決策矩陣A(3)

要選出最優(yōu)秀的教師，基于ULWGHAp,q算子(取p=q=1)的評選步驟如下：

第1步：利用ULWGHA1,1算子得到整體決策矩陣A=(rij)4×4，由

得到表4的矩陣A=(rij)4×4。

表4　決策矩陣A

第2步：利用ULWGHA1,1算子得到ri，則：

r1=[s2.9332,s5.2248],r2=[s3.5177,s5.4338],r3=[s2.8007,s5.8504],r4=[s3.1609,s5.9586].

第3步：針對ri(i=1,2,3,4)利用 徐澤水[1]給出的可能度公式得到可能度矩陣P=(pij)4×4，

ζ=(0.2304,0.2589,0.2480,0.2627)T.

第5步：根據(jù)排序向量ζ對不確定語言變量ri(i=1,2,3,4)進(jìn)行排序得：

r4>r2>r3>r1.

第6步：選出最優(yōu)教師為x4。

注3：利用文獻(xiàn)[1]中不確定語言加權(quán)平均(ULWA)算子得到的排序結(jié)果也是r4>r2>r3>r1。與提出的新方法得到的結(jié)果是相同的，驗(yàn)證了新方法的實(shí)用性和可靠性，但是與ULWA算子相比較，ULWGHAp,q算子不僅考慮了被聚合值的權(quán)重信息，同時還考慮了被聚合值之間的相互關(guān)系。相對來說，ULWGHAp,q算子具有明顯的優(yōu)勢。

4　總　結(jié)

本文把Hero平均算子和幾何Hero平均算子推廣到不確定語言環(huán)境中，提出了不確定語言Hero平均算子，不確定語言幾何Hero平均算子，以及不確定語言加權(quán)幾何Hero平均算子，并且討論了它們的冪等性，有界性，單調(diào)性，置換性。本文提出的算子主要優(yōu)勢是它們考慮了被聚合值之間的相互關(guān)系。最后給出基于不確定語言幾何Hero平均算子的多屬性群決策方法，并將其應(yīng)用到教師選拔問題中。

在后續(xù)的研究中，我們計劃將這些算子應(yīng)用到其他領(lǐng)域，如智能信息處理、圖像處理、供應(yīng)鏈選擇等。

[1]XUZS.Uncertainlinguisticaggregationoperatorsbasedapproachtomultipleattributegroupdecisionmakingunderuncertainlinguisticenvironment[J].InformationSciences, 2004, 168(3): 171-184.

[2] 徐澤水. 不確定多屬性決策方法及應(yīng)用[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2004:1-34.

[3]XUZS.InduceduncertainlinguisticOWAoperatorsappliedtogroupdecisionmaking[J].InformationFusion, 2006, 7(2): 231-238.

[4]WEIGW.Uncertainlinguistichybridgeometricmeanoperatoranditsapplicationtogroupdecisionmakingunderuncertainenvironment[J].InternationalJournalofUncertaintyFuzzinessandKnowledge-basedSystems, 2009, 17(2): 251-267.

[5]BELIAKOVG,PRADERAA,CALVOD.AggregationFunctions:AGuideforPractitioners[M].Berlin:Springer-Verlag, 2007:40-76.

[6]YUDJ.IntuitionisticfuzzygeometricHeronianmeanaggregationoperators[J].AppliedSoftComputing, 2013, 13(2): 1235-1246.

[7] 劉煥章，裴道武.H-OWA算子及其在多屬性決策中的應(yīng)用[J]. 浙江理工大學(xué)學(xué)報, 2012, 29(1): 138-142.

[8]LIUPD,LIUZG,ZHANGX.SomeintuitionisticuncertainlinguisticHeronianmeanoperatorsandtheirapplicationtogroupdecisionmaking[J].AppliedMathematicsandComputation, 2014, 230(1): 570-586.

[9] 徐澤水. 模糊互補(bǔ)判斷矩陣排序的一種算法[J]. 系統(tǒng)工程學(xué)報, 2001, 16(4): 311-314.

[10]WEIGW,ZHAOXF,LINR,etal.UncertainlinguisticBonferronimeanoperatorsandtheirapplicationtomultipleattributedecisionmaking[J].AppliedMathematicalModelling, 2013, 37(7):5277-5285.

(責(zé)任編輯： 康鋒)

Uncertain Linguistic Hero Averaging Operators and Its Application in Multi-attribute Group Decision Making

JIHuan,PEIDaowu

(School of Science, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 31800, China)

Based on the famous Hero averaging (HA)operator, some new aggregation operators are proposed for some uncertain linguistic environments, These operators conclude the uncertain linguistic Hero averaging (ULHA) operator and the uncertain linguistic generalized Hero averaging (ULGHA) operator. The monotonicity, boundedness, idempotence and commutativity and other basic properties as well as some special circumstances are discussed. Also, based on ULHA operator, the uncertain linguistic geometric Hero averaging (ULGHA) operator and the uncertain linguistic weighted geometric Hero averaging (ULWGHA) operator are proposed. Finally, a multi-attribute group decision-making method based on the proposed ULWGHA operator is given and applied in teacher selection.

multi-attribute group decision making; uncertain linguistic variables; Hero averaging operator; uncertain linguistic Hero averaging operator; uncertain linguistic weighted geometric Hero averaging operator

10.3969/j.issn.1673-3851.2016.03.027

2015-05-05

國家自然科學(xué)基金項目(11171308,61379018，61472471，51305400)

姬歡(1989-)，女，河南鶴壁人，碩士研究生，主要從事語言信息算子方面的研究。

O221；F272.3

A

1673- 3851 (2016) 02- 0317- 05 引用頁碼： 030803