任佰薈, 蘇令德, 姜自武

(1. 臨沂大學(xué)理學(xué)院, 山東 臨沂 276005; 2. 山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山東 濟(jì)南 250014; 3. North-Eastern Federal University, Yakutsk, Russia)

?

一類變系數(shù)非齊次電報(bào)方程的數(shù)值解法*

任佰薈1,2, 蘇令德3, 姜自武1

(1. 臨沂大學(xué)理學(xué)院, 山東 臨沂 276005; 2. 山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山東 濟(jì)南 250014; 3. North-Eastern Federal University, Yakutsk, Russia)

利用特解方法數(shù)值求解一類變系數(shù)非齊次電報(bào)方程. 首先用有限差分方法對時(shí)間方向進(jìn)行離散, 進(jìn)而轉(zhuǎn)化為在空間方向上利用特解方法進(jìn)行近似, 最終利用待定系數(shù)法逐步求出在不同時(shí)刻的方程的數(shù)值解.利用 Matlab 程序?qū)o定的方程進(jìn)行數(shù)值求解并進(jìn)行誤差估計(jì). 通過數(shù)值算例, 可見所采用的數(shù)值方法具有較高的近似精度.

變系數(shù); 非齊次電報(bào)方程; 數(shù)值解; 徑向基函數(shù); 特解法

引言

本文考慮下述一維非齊次電報(bào)方程[1]的數(shù)值解

utt+aαut=bf1(x)Δu+cαu+f2(x,t)

式中： α, a, b, c是常數(shù), f1(x), f2(x,t)是連續(xù)函數(shù).

電報(bào)方程[2～4]是一種非常經(jīng)典的數(shù)學(xué)物理方程, 它最初是在研究電報(bào)線上電壓電流的變化規(guī)律時(shí)推導(dǎo)出來的.由于它具有很強(qiáng)的實(shí)際背景, 因此關(guān)于電報(bào)方程的研究得到高度重視.隨著國內(nèi)外專家在理論上的研究, 以及在實(shí)際問題的操作, 電報(bào)方程得到了快速的發(fā)展.在鋪設(shè)大西洋電纜時(shí)在電報(bào)方程的基礎(chǔ)上,發(fā)現(xiàn)了新的方程并命名為非齊次電報(bào)方程[5,6].

近年來, 基于徑向基函數(shù)的無網(wǎng)格方法得到了迅速的發(fā)展, 特別是在解決偏微分方程上, 有方便、快捷計(jì)算精度高等優(yōu)點(diǎn), 逐漸被廣大專家學(xué)者所接受[7～11]本文將針對文獻(xiàn)[1]中涉及的變系數(shù)非齊次電報(bào)方程給出新的數(shù)值算法, 即基于徑向基函數(shù)插值的無網(wǎng)格配置方法中的特解方法(MPS), 數(shù)值求解此類方程.

1　徑向基函數(shù)

(1)

(2)

是可解的.

下面列舉部分國際通用的徑向基函數(shù):

多元二次(MQ)

多元二次逆(IMQ)

二次逆(IQ)

薄板樣條模型(TPS)

高斯(G)

大多數(shù)徑向基函數(shù)不能保證插值矩陣Aφ的非奇異性, 因此將對應(yīng)方程組進(jìn)行處理, 即為了保證插值問題的唯一性, 在式(2)的右面添加多項(xiàng)式項(xiàng)P(x):

滿足條件

(3)

式中: α=(α1α2…αN)T, β=(b1b2…bM)T, f=(f1f2…fN)T.

2　方法論述

本節(jié)借助有限差分方法及徑向基函數(shù)的理論, 對方程求解過程給出特解方法的一種理論模型. 函數(shù)u(x,t)滿足如下的非齊次電報(bào)方程:

utt+aαut=bf1(x)▽2u+cαu+f2(x,t),

(4)

x∈Ω∪Γ=[a1,b1]?R,0

初始條件為:

u(x,0)=g1(x), x∈Ω，

ut(x,0)=g2(x), x∈Ω

(5)

狄利克雷邊界條件為:

u(x,t)=h(x,t), x∈Γ, 0

(6)

式中: α, a, b, c是常數(shù), f1(x), f2(x,t), g1(x), g2(x), h(x,t)是連續(xù)函數(shù), 函數(shù)u(x,t)是未知函數(shù).

下面利用θ加權(quán)法來離散式(4), 令tD=tn+1-tn為時(shí)間步長, 對任意的tn≤t≤tn+1和0≤θ≤1, 則式(4)中的u(x,t)可以被近似成如下形式:

u(x,t)≈θu(x,tn+1)+(1-θ)u(x,tn),

相應(yīng)的有

Δu(x,t)≈θΔu(x,tn+1)+(1-θ)Δu(x,tn)

(7)

及

(8)

為方便起見,記un(x)=u(x,tn), 將上式(7)(8)代入到式(4)～(6), 得到如下方程:

(9)

整理得:

即：

(10)

式中: un+1(x,t)為待求的偏微分方程的解, 可以將式(10)的右半部分設(shè)為一個(gè)函數(shù)F(x), 則式(10)轉(zhuǎn)換為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的Poisson方程

▽2un+1=F(x)．

(11)

如果這個(gè)虛擬的函數(shù)F(x)是已知的, 在同一邊值條件下式(10)和式(11)是等價(jià)的. 假設(shè)共有N個(gè)差值點(diǎn), 則F(x)近似如下

(12)

式中Φ(x)滿足ΔΦ(x)=φ(x).

可將式(12)改寫成矩陣的形式:

(u)n=A(λ)n,

(13)

A=(aij, 1≤i, j≤N+2), 即：

Ad=(aij, 1≤i≤p, 1≤j≤N+2, 其它為0),

Ab=(aij, p+1≤i≤N, 1≤j≤N+2, 其它為0),

(14)

Ae=(aij, N+1≤i≤N+2, 1≤j≤N+2, 其它為0).

(15)

C=[2+cα(1-θ)(tD)2]Ad+b1f1(1-θ)(tD)2ΔAd,

計(jì)算步驟如下:

1)當(dāng)n=0時(shí), 利用函數(shù)的初值條件u(x,0)=g1(x), x∈Ω, 可以直接算出u0(x);

2)當(dāng)n=1時(shí), 由于式(15)無法求得u1(x), 所以利用方程的初值條件ut(x,0)=g2(x), x∈Ω, 采用歐拉方法來求解u1(x), 即u1(x)=tD·(g2)+u0(x);

3)當(dāng)n≥2時(shí), 可以利用式(15)進(jìn)行迭代得到un(x);

其中, (g2)=(g2(x1)g2(x2)…g2(xp)0…0)T.

通過上述分析可知, 求非齊次電報(bào)方程(4)的解就等價(jià)于求解矩陣方程(15)的解的問題.

3　數(shù)值例子

以下將給出二個(gè)數(shù)值例子, 以檢驗(yàn)該方法的精確度, 說明該方法的有效性.

首先給出三種誤差的定義如下:

例 1 考慮非齊次電報(bào)方程

utt=(x2+1)uxx+[1+π2+π2x2]e-t, 0≤x≤1 , t>0,

邊界條件:

u(0,t)=0, t>0,

u(1,t)=0, t>0;

初值條件:

u(x,0)=sin(πx),0≤x≤1,

ut(x,0)=-sin(πx),0≤x≤1

精確解為 u(x,t)=e-tsin(πx).

選取TPS徑向基函數(shù)來得到精確解與數(shù)值解的誤差估計(jì), 得到誤差結(jié)果, 見表1.

表1　不同時(shí)刻的用TPS作為徑向基函數(shù)的誤差結(jié)果

在這個(gè)例子中dx=0.005, tD=0.001, 以及利用的是m=1時(shí)的TPS徑向基函數(shù), 得到t=0.1,0.2,0.5,1,2時(shí)的誤差值.下面給出t=1的精確解和數(shù)值解的圖像(見圖1)，以及誤差的圖像(見圖2).

圖1　在區(qū)間[0,1]上方程的精確解和數(shù)值解

圖2　方程的精確解與數(shù)值解誤差的圖像

例 2 令方程(4)中的常數(shù)如下α=a=b=1, c=-1, 則得到方程為:

utt+ut=f1(x)uxx-u+f2(x,t), 00,

式中： f1(x)=e-x(sin(πx)+1), f2(x,t)=(1+x2)lg(x+1)e-t2ex2.

邊界條件

u(0,t)=0, t>0,

u(1,t)=0, t>0;

初值條件

u(x,0)=sin(πx), 0≤x≤1,

ut(x,0)=sin(πx)cos(πx), 0≤x≤1.

由于該方程求解精確解非常的不易, 所以利用TPS徑向基函數(shù)對方程的數(shù)值解進(jìn)行模擬估計(jì). 其中時(shí)間t∈[0,3], 得到的圖像如圖3所示:

圖3　方程的在區(qū)間[0,1]上, t=3時(shí)的數(shù)值解

4　結(jié)論

本文借助在有限差分方法和徑向基函數(shù)的無網(wǎng)格法中的特解法, 對于一維的變系數(shù)非齊次電報(bào)方程給出了數(shù)值解, 得到相應(yīng)的數(shù)據(jù)以及模擬圖形, 取得較好的結(jié)果, 說明該方法對求解一維的變系數(shù)非齊次電報(bào)方程的數(shù)值解是非常有效的.

[1]Jiang Z, Su L, Jiang T. A Meshfree Method for Numerical Solution of Nonhomogeneous Time-Dependent Problems[J]. Abstract and Applied Analysis, 2014(4).

[2]Dehghan M. Parameter determination in a partial differential equation from the overspecified data [J]. Mathematical and Computer Modelling, 2005, 41(s 2-3):196-213.

[3]Dehghan M. Implicit Collocation Technique for Heat Equation with Non-Classic Initial Condition[J]. International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 2006, 7(4):461-66.

[4]Bhrawy A H, Baleanu D. A Spectral Legendre-Gauss-Lobatto Collocation Method for a Space-Fractional Advection Diffusion Equations with Variable Coefficients[J]. Reports on Mathematical Physics, 2013, 72(2):219-233.

[5]Dehghan M, Shokri A. A numerical method for solving the hyperbolic telegraph equation[J]. Numerical Methods for Partial Differential Equations, 2008, 24(4):1080-1093.

[6]Dehghan M, Shokri A. Numerical solution of the nonlinear Klein-Gordon equation using radial basis functions[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009, 230(2):400-410.

[7]Chen C S, Brebbia C A, Power H. Dual reciprocity method using compactly supported radial basis functions[J]. Communications in Numerical Methods in Engineering, 1999, 15(2):137-150.

[8]Tongsong Jiang, Ming Li, C. S. Chen. The Method of Particular Solutions for Solving Inverse Problems of a Nonhomogeneous Convection-Diffusion Equation with Variable Coefficients[J]. Numerical Heat Transfer Applications, 2012, 61(5):338-352.

[9]Liu G, Karamanlidis D. Mesh Free Methods: Moving Beyond the Finite Element Method[J]. Applied Mechanics Reviews, 2003, 56(2):B17-B18.

[10]Chen C S, Rashed Y F. Evaluation of thin plate spline based particular solutions for Helmholtz-type operators for the DRM[J]. Mechanics Research Communications, 1998, 25(25):195-201.

[11]Li M, Jiang T, Hon Y C. A meshless method based on RBFs method for nonhomogeneous backward heat conduction problem[J]. Engineering Analysis with Boundary Elements, 2010, 34(9):785-792.

Numerical Method for Non-homogeneous Telegraph Equation with Variable Coefficient

REN Bai-hui1,2, SU Ling-de3, JIANG Zi-wu1

(1.Department of Mathematics, Linyi University, Linyi Shandong 276005, China ; 2.Mathematical Sciences, Shandong Normal University, Jinan Shandong 250014, China; 3.North-Eastern Federal University, 58 Belinskogo Yakutsk, Russia)

This paper solves the non-homogeneous telegraph equation with variable coefficient using the method of particular solution. Firstly, finite difference formulation is used to discrete the time. Secondly, the particular solution method is employed to approximate the solution in space. Lastly, undetermined coefficient method is selected to calculate the numerical solution step by step. Matlab is used to get the numerical solution of equation and the error estimate of equation. Combining with numerical examples, it is declared that the method of particular solution has high approximation accuracy for this kind of non-homogeneous telegraph equation.

variable coefficient; inhomogeneous telegraph equation; numerical solution; radial basis function; special solution

1673-2103(2016)02-0001-07

2015-11-05

國家自然科學(xué)基金青年基金資助項(xiàng)目(11301252)

任佰薈(1990-), 女, 山東日照莒縣人, 在讀碩士研究生, 研究方向: 物理學(xué)中的數(shù)學(xué)方法.

O241.82

A