張美戀

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

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應(yīng)用Matlab軟件圖形處理功能輔助微積分概念教學(xué)探討*

張美戀

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

針對學(xué)生理解比較困難的微積分中的極限、導(dǎo)數(shù)、定積分等概念，應(yīng)用Matlab軟件圖形處理功能，通過典型的例子，動(dòng)態(tài)地顯示理解這些概念的思想方法，從幾何方面直觀地幫助學(xué)生理解相關(guān)的概念，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而提高教學(xué)效果.

微積分；概念教學(xué)；Matlab軟件； 圖形;輔助教學(xué)

引言

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)理工類、經(jīng)管類院校學(xué)生必修的一門重要的公共基礎(chǔ)課程，而微積分是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，同時(shí)高等數(shù)學(xué)也是學(xué)生普遍反映比較困難的課程之一.筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，成績不理想很重要的原因之一是大部分學(xué)生在概念的理解上出現(xiàn)困難，而在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，像極限、導(dǎo)數(shù)、定積分等基本概念比較抽象，學(xué)起來普遍覺得困難. 但這些概念是微積分的精髓所在，同時(shí)也是后續(xù)課程應(yīng)用最為頻繁的知識(shí)點(diǎn). 如何準(zhǔn)確理解掌握這些基本概念是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵. 本文針對學(xué)生在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中遇到的困難，應(yīng)用Matlab軟件圖形處理功能，盡可能形象地把抽象的數(shù)學(xué)定義用圖形動(dòng)畫等形象進(jìn)行演繹，給學(xué)生有一些直觀的認(rèn)識(shí)，這將大大加深學(xué)生對這些概念的理解，同時(shí)有助于學(xué)生了解這些基本概念的邏輯形態(tài)和算法形態(tài)，有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

1　Matlab軟件對極限概念的輔助教學(xué)

極限是微積分最重要的概念之一，它貫穿于微積分教學(xué)的整個(gè)過程，是研究微積分的主要工具. 函數(shù)是變量的變化關(guān)系最基本的數(shù)學(xué)描述，它是微積分研究的主要對象，而極限揭示了變量在一定的變化過程中的終極狀態(tài)，微積分的很多概念，例如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分都是建立在極限定義的基礎(chǔ)上.傳統(tǒng)的“ε-δ”定義，對于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來講是有一定困難的，本文結(jié)合例子用Matlab的繪圖功能數(shù)列極限描述性定義及函數(shù)極限描述性定義進(jìn)行輔助教學(xué).

n=1:80;

plot(n,(1+1./n).^n,'.')

holdon

gridon

ylim([2,3])

實(shí)現(xiàn)在圖形上直接地觀察出數(shù)列的極限,運(yùn)行結(jié)果如圖1所示.

圖n數(shù)列的圖像

自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)極限的描述性定義[1]：

自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)極限的描述性定義：

symsx

fplot(inline(sin(x)/x),[-10*pi,10*pi])

holdon

gridon

ylim([-0.4,1.2])

實(shí)現(xiàn)在圖形上直接地觀察出函數(shù)在不同趨勢下的極限,如圖2所示.

圖函數(shù)的圖像

2　Matlab軟件對導(dǎo)數(shù)概念的輔助教學(xué)

微分學(xué)是微積分的重要組成部分，它的基本概念是導(dǎo)數(shù)與微分. 導(dǎo)數(shù)是建立在函數(shù)極限的基礎(chǔ)之上的，導(dǎo)數(shù)的概念在于刻劃瞬時(shí)變化率問題.

symsx

fun=3+2*x-x^2;

f1=inline(diff(fun));

f2=f1(0)*x+3;

fplot(inline(f2),[-1,3])

holdon

fplot(inline(fun),[-1,3])

holdon

k=0.2:0.2:1.8;

f3=inline(fun);

f4=3+((f3(k)-f3(0))./k)*x;

fplot(inline(f4),[-1,3],'k')

holdon

ylim([1,5])

圖3　f(x)=3+2x-x2的割線與切線

通過觀察圖形3可以發(fā)現(xiàn)，割線通過固定點(diǎn)(0,3)，它經(jīng)過的另一點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿曲線靠近定點(diǎn)時(shí)，割線越來越靠近切線，切線y=2x+3是割線的極限位置，切線的斜率2就是函數(shù)f(x)在x0=0處的導(dǎo)數(shù).

3　Matlab軟件對定積分概念的輔助教學(xué)

積分學(xué)是微積分的另一個(gè)重要組成部分，它的基本概念是定積分. 定積分是建立在函數(shù)極限的基礎(chǔ)之上的，定積分在于刻劃連續(xù)變量的“累加”問題，根據(jù)定積分的定義，連續(xù)函數(shù)在某一閉區(qū)間上的定積分等于該區(qū)間上劃分的最大長度趨于零時(shí)黎曼和的極限值. 大部分高等數(shù)學(xué)教材中的定積分定義，是通過分析曲邊梯形的面積的求解步驟引出的. 曲邊梯形面積的求解由“分割，近似替代，求和，取極限”四個(gè)步驟完成，以求曲線f(x)=sinx及x=0,x=π和x軸所圍成的曲邊梯形面積為例，應(yīng)用以下語句實(shí)現(xiàn)上述四個(gè)步驟[3]，并用圖形進(jìn)行演示(圖4～9).

a=0;b=pi;

m=[10,20,50,100,200,500];

n=length(m);

for j=1:n

h=(b-a)/m(j);

g=sin(a+h*rand);

for i=1:m(j)-1

y=sin(a+i*h+rand*h);

g=[g;y];

end

x=a:(b-a)/100:b;

plot(x,sin(x),'r')

axis([a,b,sin(a),sin(pi/2)])

grid on

hold on

x2=a+0.5*h:h:b-0.5*h;

bar(x2,g,1.0,'c')

pause(10)

hold off

end

圖4　m=10的黎曼和　　　　　　　　　　　　 圖5　m=20的黎曼和

圖6　m=50的黎曼和　　　　　　　　　　　　　 圖7　m=100的黎曼和

圖8　m=200的黎曼和　　　　　　　　　　　　　　　 圖9　m=500的黎曼和

4　結(jié)語

在教學(xué)過程中，本文針對多數(shù)學(xué)生理解比較困難的微積分中的一些重要概念，如極限、導(dǎo)數(shù)、定積分等，利用Matlab軟件圖形處理功能，通過典型的例子，動(dòng)態(tài)地顯示這些概念的思想方法，從幾何方面直觀的幫助學(xué)生理解相關(guān)的概念. 這種將數(shù)學(xué)軟件融入教學(xué)中輔助概念的教學(xué)，有利于學(xué)生更容易掌握數(shù)學(xué)思想和方法，在這基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生將這些思想方法運(yùn)用于解決實(shí)際問題. 隨著數(shù)學(xué)軟件的層出不窮，多元化的教學(xué)更是一種趨勢，這就對教師提出了更高的要求. 教師不但要能講授知識(shí)，而且要會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件不斷改進(jìn)教學(xué)方法，以適應(yīng)新時(shí)期對人才培養(yǎng)的要求.

[1]上海交通大學(xué)，集美大學(xué).高等數(shù)學(xué)——及其教學(xué)軟件(上冊)[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

[2]占海明.基于MATLAB 的高等數(shù)學(xué)問題求解[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2013.

[3]劉廣會(huì)，曹修文，齊化富.基于Matlab的圖形和動(dòng)畫技術(shù)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào),2013,27(3):83-86.

Discussion on the Application of Matlab Software Graphics Processing Function on Calculus Concept Teaching

ZHANG Mei-lian

(Science College，Jimei University，Xiamen Fujian 361021, China )

Considering the difficult concepts of the limit, derivative and definite integral of the calculus, this article uses Matlab graphics processing functions, through typical examples, dynamically displays the ways of understanding these concepts, and helps students understand the related concepts from the geometric intuitive view so as to improve their interests in learning and improve the teaching effect.

calculus; concept teaching; supplementary teaching; chart; Matlab software

1673-2103(2016)02-0091-04

2016-03-21

張美戀(1966-)，女，福建東山人，副教授，研究方向：多屬性決策，優(yōu)化理論與應(yīng)用.

O13

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