王昭海，吳洪博

( 1.安康學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，陜西 安康　725000;2.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安　710062)

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偏序集上的Fuzzy蘊(yùn)涵代數(shù)及其性質(zhì)

王昭海1，吳洪博2

( 1.安康學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，陜西 安康725000;2.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安710062)

給出了偏序集上的Fuzzy蘊(yùn)涵代數(shù)的概念，討論了它的性質(zhì)，并證明它在滿足一定條件下可構(gòu)成MV代數(shù)，也可構(gòu)成FuzzyR0代數(shù)。

偏序集；蘊(yùn)涵代數(shù)；性質(zhì)

在偏序集上的蘊(yùn)涵代數(shù)的基礎(chǔ)上，給出了Fuzzy蘊(yùn)涵代數(shù)的概念，研究了它的性質(zhì)。說明了它在條件(x→y)→y=(y→x)→x成立時，也構(gòu)成FuzzyR0代數(shù)。

1　Fuzzy蘊(yùn)涵代數(shù)

定義1設(shè)X是一個非空集合，≤為X上的一個偏序關(guān)系，其中0，1分別為X中的最小元和最大元，→是定義于X上的二元運算，使得(X,→，0)成為一個(2，0)型代數(shù)，如果對于任意x,y,z∈X,二元運算→對于偏序關(guān)系≤滿足

①x→(y→z)=y→(x→z)，

②x≤y當(dāng)且僅當(dāng)x→y=1，

則稱(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蘊(yùn)涵代數(shù)，簡稱為Fuzzy蘊(yùn)涵代數(shù)。

性質(zhì)1設(shè)(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蘊(yùn)涵代數(shù)，則對于任意x,y∈X,下面性質(zhì)成立：

(P1) 0→x=1；

(P2)x→1=1；

(P3)x→x=1；

(P4) 若1→x=1，則x=1；

(P5) 若x→y=y→x=1，則x=y；

(P6) 1→x=x；

(P7) 若x→0=1，則x=0；

(P8)x≤(x→y)→y；

(P9)y≤(x→y)→y；

(P10)x≤(x→y)→x；

(P11)x→y≤((x→y) →y) →y；

(P12)x→(y→0)=y→(x→0)；

(P13)x≤y→z當(dāng)且僅當(dāng)y≤x→z；

(P14)x→(y→x)=1。

定義2[1]設(shè)(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蘊(yùn)涵代數(shù)，在滿足條件(x→y)→((y→z)→(x→z))=1,稱(X,→，0)為蘊(yùn)涵代數(shù)。

性質(zhì)2設(shè)(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的蘊(yùn)涵代數(shù)，則(X,→，0)是Fuzzy蘊(yùn)涵代數(shù)。

引理1[1]設(shè)(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的蘊(yùn)涵代數(shù)，則對于任意x,y,z∈X，

① 若x≤y,則y→z≤x→z,z→x≤z→y；

② ((x→y) →y) →y=x→y

定義3設(shè)(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蘊(yùn)涵代數(shù)，在X上定義一個一元運算﹁，使得對于任意x∈X,﹁x=x→0,則稱﹁為補(bǔ)算子，如果﹁還滿足﹁﹁x=x，則稱(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的正則Fuzzy蘊(yùn)涵代數(shù)。

引理2設(shè)(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蘊(yùn)涵代數(shù)，則

① (X,→，0)是正則的，當(dāng)且僅當(dāng)對于任意x，y∈X，x→y′=y→x′。

② (X,→，0)是正則的，當(dāng)且僅當(dāng)對于任意x，y∈X，x→y=y′→x′。

③ 若(X，≤)構(gòu)成格，∨，∧分別為其上確界和下確界，則

(i)x∨y≤((x→y)→y)∧((y→x)→x),

(ii) De Morgan對偶律成立，即(x∨y)′=x′∧y′,(x∧y)′=x′∨y′。

證明①，②顯然成立。現(xiàn)在證③：由(P8)、(P9)得，x≤((x→y)→y)∧((y→x)→x),同理y≤((x→y)→y)∧((y→x)→x),所以x∨y≤((x→y)→y)∧((y→x)→x)。

由于′是逆序?qū)蠈?yīng)，所以De Morgan 對偶律成立。

性質(zhì)3設(shè)(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的正則蘊(yùn)涵代數(shù)，若(X，≤)構(gòu)成格，則對于任意的x,y,z∈X，有x→y≤x∨z→y∨z，x→y≤x∧z→y∧z。

證明由性質(zhì)1中(P8)、(P9)及引理1得：x≤(x→y)→y≤(x→y)→y∨z,z≤(x→y)→z≤(x→y)→y∨z，因此x∨z≤(x→y)→y∨z，所以由(P13)得x→y≤x∨z→y∨z。又因為(X,→，0)是正則的，由性質(zhì)2和引理2中的②可得，x∧z≤(x→y)→y∧z。再由(P13)得：x→y≤x∧z→y∧z。

2　Fuzzy蘊(yùn)涵代數(shù)與幾種代數(shù)的關(guān)系

性質(zhì)4設(shè)(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蘊(yùn)涵代數(shù)且滿足條件：對于任意x,y∈X,

(＊)

在X中，記x′=x→0，則(X，≤)構(gòu)成格,上、下確界分別由下面的性質(zhì)⑦和⑧中的兩個等式確定，而且(X,→,0)有以下性質(zhì)：

① (x→y)→((y→z)→(x→z))=1；

② (y→z)→((x→y)→(x→z))=1；

③ 若x≤y,則y→z≤x→z,z→x≤z→y；

④ ((x→y)→y)→y=x→y；

⑤ ′是逆序?qū)蠈?yīng)；

⑥x→y=y′→x′；

⑦x∨y=(x→y)→y；

⑧x∧y=((y→x)→y′)′；

⑨ (x→y)→(x→z)=x∧y→z；

⑩ (x→y)→(z→y)=z→x∨y；

證明

(i) 由(P14)和條件(＊)得：(x→y)→((y→z)→(x→z))= (x→y)→(x→((y→z)→z))= (x→y)→(x→((z→y)→y))= (x→y)→((z→y)→(x→y))=1，所以①成立。再由定義1可得②、③成立。

(ii) 由條件(＊)可得：((x→y)→y)→y=(y→(x→y))→(x→y)= (x→(y→y))→(x→y)= (x→1)→(x→y)=1→(x→y)=1，故④成立。

(iii) (x′)′=(x→0)→0=(0→x)→x=1→x=x,當(dāng)x≤y時,由③得，y→0≤x→0,即y′≤x′。又由引理2可知⑤、⑥成立。

(iv) 由x≤(x→y)→y,y≤(x→y)→y得,(x→y)→y是x,y的上界，且x∨y≤(x→y)→y。下面證明，若x≤t,y≤t,則(x→y)→y≤t。事實上(x→y)→y≤t當(dāng)且僅當(dāng)((x→y)→y)→t=1。只須證((x→y)→y)→t=1。由③和④得：((x→y)→y)→t=((x→y)→y)→(1→t)=((x→y)→y)→((y→t)→t)=((x→y)→y)→((t→y)→y)=(t→y)→(((x→y)→y)→y)=(t→y)→(x→y)≥x→t=1。因此,((x→y)→y)→t=1。即(x→y)→y是x,y的最小上界，也就是上確界，即x∨y=(x→y)→y，故⑦成立。 再由⑤、⑥得：x∧y=(x′∨y′)′=((x′→y′)→y′)′=((y→x)→y′)′是x,y的最大下界，即是下確界。同時⑧也成立。所以，(X，≤)是格。

(v) 由⑤、⑥得，(x→y)→(x→z)=(y′→x′)→(z′→x′)=z′→((y′→x′)→x′)=z′→y′∨x′=z′→x′∨y′= (x′∨y′)′→z=x∧y→z，所以⑨成立。

(vi) 由條件(＊)得，(x→z)→(y→z)=y→((x→z)→z)=y→x∨z，所以⑩成立。

性質(zhì)5設(shè)(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蘊(yùn)涵代數(shù)且滿足條件(＊)，則(X,→，0)是(正則)蘊(yùn)涵代數(shù)。

性質(zhì)6設(shè)(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蘊(yùn)涵代數(shù)且滿足條件(＊),若在X上定義一元運算′和二元運算⊕使得對于任意x，y∈X,x⊕y=x′→y,x′=x→0,則：

① (X,⊕,′,0)構(gòu)成一個MV代數(shù)；

② (X，≤)構(gòu)成一個分配格。

證明

1) 由于x⊕y=x′→y=y′→x=y⊕x，x⊕0=x′→0=0′→x=1→x=x，(x⊕y) ⊕z=(x′→y)′→z=z′→(x′→y)=x′→(z′→y)=x′→(y′→z)=x⊕(y⊕z)，所以(X,⊕,0)是以0為單位的交換半群。

x⊕0′=x′→0′=0→x=1=0′

由性質(zhì)3中的⑤知，(x′)′=x。

由條件①得,(x′⊕y)′⊕y= (x→y)→y=(y→x)→x=(y′⊕x)′⊕x。所以(X,⊕,′,0)構(gòu)成一個MV代數(shù)。

2) 由于(X，≤)構(gòu)成一個格，x∨y=(x→y)→y和x∧y=((y→x)→y′)′分別是它的上、下確界。下面再證明x∧(y∨z)=(x∧y)∨(x∧z)成立。因為x∧y≤x∧(y∨z)，x∧z≤x∧(y∨z)，則(x∧y)∨(x∧z) ≤x∧(y∨z)。反過來,由性質(zhì)2、3和定義1中②得：x∧(y∨z)→(x∧y)∨(x∧z)≥(x∧(y∨z)→x∧y)∨(x∧(y∨z)→x∧z)≥(y∨z→y)∨(y∨z→z)=1，故x∧(y∨z)→(x∧y)∨(x∧z)=1，即x∧(y∨z)≤(x∧y)∨(x∧z)。所以x∧(y∨z)=(x∧y)∨(x∧z)，說明(X，≤)構(gòu)成分配格。

性質(zhì)7設(shè)(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蘊(yùn)涵代數(shù)且滿足條件(＊)，對于任意x，y∈X，若定義﹁x=x′=x→0,x∨y=(x→y)→y，則(X,﹁,∨，→)構(gòu)成一個FuzzyR0代數(shù)。

證明因為對于任意x，y，z∈X,x∨y=(x→y)→y，故運算﹁,∨，→的定義是合理的。(y→z)≤(x→y)→(x→z),且﹁是逆序?qū)蠈?yīng)。

下面證明(R5)x→y∨z=(x→y)∨(x→z)成立。

由性質(zhì)3的(2)和條件(＊)得，

(x→y∨z)→(x→y)∨(x→z)=

(x→y∨z)→(((x→y)→(x→z))→(x→z))=

(x→y∨z)→((x∧y→z)→(x→z))=

(x→y∨z)→(x→(x∧y)∨z)=

x∧(y∨z)→(x∧y)∨z=

(x∧y)∨(x∧z)→(x∧y)∨z=1，則(x→y∨z)→(x→y)∨(x→z)=1，即x→y∨z≤(x→y)∨(x→z)。

又x→y≤x→y∨z且x→z≤x→y∨z，故，(x→y)∨(x→z)≤x→y∨z，所以x→y∨z=(x→y)∨(x→z)。

再證(R6)也成立。由(R5)和性質(zhì)4得：

x∧y→z=z′→(x∧y)′=

z′→x′∨y′=(x→y)∨(x→z)

所以

(x→y)∧(x→z)→(x→y∧z)=

(x→y∧z)′→((x→y)∧(x→z))′=

(x→y∧z)′→(x→y)′∨(x→z)′=

((x→y∧z)′→(x→y)′)∨((x→y∧z)′→

(x→z)′)=((x→y)→(x→y∧z) )∨

((x→z)→(x→y∧z) )≥(y→y∧z) ∨

(z→y∧z)=1

故(x→y)∧(x→z)→(x→y∧z)=1，即(x→y)∧(x→z)≤x→y∧z。

反之，x→y∧z≤x→y，x→y∧z≤x→z，可得x→y∧z≤(x→y)∧(x→z)，則x→y∧z=(x→y)∧(x→z)。

由上面的分析知(X,﹁,∨，→)顯然構(gòu)成一個FuzzyR0代數(shù)。

[1]李志偉.偏序集上的關(guān)聯(lián)蘊(yùn)涵代數(shù)[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2002(16):99-102.

[2]李志偉.偏序集上的關(guān)聯(lián)蘊(yùn)涵代數(shù)的性質(zhì)[J].首都師范大學(xué)學(xué)報,2003,24(2):15-18.

[3]劉練珍,王國俊.Fuzzy蘊(yùn)涵代數(shù)與MV代數(shù)[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),1998,12(1):20-25.

[4]王國俊．?dāng)?shù)理邏輯與歸結(jié)原理引論[M]．北京：科學(xué)出版社，2003.

[5]王國俊.非經(jīng)典數(shù)理邏輯與近似推理[M].北京:科學(xué)出版社,2003.

[6]裴道武.剩余格與正則剩余格的特征性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,2002,45(2):271-278.

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[8]PAVELKA J.On Fuzzy logic(II)[J].Z.Math.Logik Grund.Math.,1979,25(1):119-134.

(責(zé)任編輯何杰玲)

Poset on Fuzzy Implication Algebras and Their Properties

WANG Zhao-hai1, WU Hong-bo2

(1.School of Mathematics and Statistics,Ankang University, Ankang 725000, China;2.School of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Xi’an 710062, China)

Poset was given on the concept of Fuzzy implication algebra and the nature of it was discussed. And we proved that it constitutes MV algebra under satisfying certain conditions, and also constitutes a FuzzyR0algebra.

poset; implication algebra; property

2016-01-09

陜西省教育廳科研計劃項目資助((15JK1012)

王昭海(1966—)，男， 陜西安康人，碩士，副教授，主要從事從事模糊數(shù)學(xué)和非經(jīng)典數(shù)理邏輯的研究，E-mail:akwzh@163.com。

format：WANG Zhao-hai, WU Hong-bo.Poset on Fuzzy Implication Algebras and Their Properties[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(8):148-151.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.08.024

O141.1

A

1674-8425(2016)08-0148-04

引用格式：王昭海，吳洪博.偏序集上的Fuzzy蘊(yùn)涵代數(shù)及其性質(zhì)[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué))，2016(8):148-151.