王愛法

(重慶理工大學(xué) 理學(xué)院，重慶　400054)

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分裂左GC-lpp 半群的+-同余

王愛法

(重慶理工大學(xué) 理學(xué)院，重慶400054)

利用分裂左GC-lpp半群的分件半群上的同余所構(gòu)成的同余對L和R來構(gòu)造此類半群上的+-同余,并證明這種半群上的所有同余作成的集合在文中定義的偏序關(guān)系下是完備格。

左GC-lpp半群; 左正則帶; 同余

1982年,Blyth和McFadden在文獻(xiàn)[1]中首次引入了正則半群的乘法逆斷面。EI-Qallali在文獻(xiàn)[2]中引入了與乘法逆斷面類似的適當(dāng)斷面。隨后,Chen和Guo在文獻(xiàn)[3-6]中分別研究了含有適當(dāng)斷面的富足半群的子類。文獻(xiàn)[7-9]分別研究了含有逆斷面的正則半群的同余。最近筆者在文獻(xiàn)[10]中利用含有SQ-適當(dāng)斷面S°的富足半群的分件半群上的同余所構(gòu)成的同余三元組L、T和R來構(gòu)造此類半群的*-同余。在文獻(xiàn)[6]中,Li、Guo和Fu給出了分裂左GC-lpp半群的結(jié)構(gòu)定理。本文利用裂左GC-lpp半群的分件半群上的同余所構(gòu)成的同余對L和R來構(gòu)造此類半群的+-同余并證明了在這種半群上的所有同余作成的集合在文中定義的偏序關(guān)系下是完備格。

1　預(yù)備知識

設(shè)S為半群,定義aR*b，對于所有的x,y∈S1,xa=ya當(dāng)且僅當(dāng)xb=yb。對偶地可定義L*。根據(jù)R*和L*的定義易得5*是左同余,L*是右同余。若a和b是S中的正則元，則當(dāng)aR*b且僅當(dāng)aRb。

設(shè)S為半群,若S的每一個R*-類含有一個冪等元,則稱S為左富足半群。對偶地可定義右富足半群。由文獻(xiàn)[11]知,若S既是左富足半群又是右富足半群,則稱S為富足半群。

設(shè)S為左富足半群,若S滿足:

1)E(S)是左正則帶;

2) 對于所有的a∈S,e∈E(S),有ae=(ae)+a。

則稱S為左GC-lpp半群[12]。 若正則半群S的E(S)是帶,則稱S為純正半群。若純正半群S的每一個R*-類只有一個冪等元,則稱S為R-冪幺半群。由以上3種半群的定義知：左GC-lpp半群是左ample半群和R-冪幺半群的推廣。

設(shè)S,T為半群,φ為S到T的同態(tài)映射,若φ滿足:

1) 若aR*b,則aφR*bφ;

2) 若aR*b,則aφR*bφ。

則稱φ為S到T的好同態(tài)。若φ為滿射且存在從T到S的好同態(tài)φ使得φφ=idT(其中idT是T上的恒等映射),則稱φ是分裂的。設(shè)ρ為半群S上的同余,若由ρ誘導(dǎo)的從S到S/ρ的自然同態(tài)ρb是好同態(tài),則稱ρ為S上的好同余。

設(shè)B為帶：

1) 若對于任意的x,y∈B,xy=xyx，則稱B為左正則帶；

2) 若對于任意的x,y∈B,xy=yxy，則稱B為右正則帶；

3) 若對于任意的x,y∈B,xyzx=xyxzx，則稱B為正則帶；

4) 若對于任意的x,y∈B,xyzw=xzyw，則稱B為正規(guī)帶。

引理1[11]設(shè)e∈E(S),a∈S，則eR*a，當(dāng)且僅當(dāng)ea=a且對于所有的x,y∈S1,有xa=ya?xe=ye。

以下假設(shè):

若φ滿足以下條件：(Q1)φ是半群同態(tài); (Q2) 對于所有的a∈T,x∈Lα,有φax∈L(aα)。且在半群L中,若x∈Y,則φax=(ax)+; 若a∈Y,則φax=ax。則稱四元組(Y,T,L;φ)是GC-系統(tǒng)。

在GC=GC(Y,T,L;φ)={(x,s)∈L×T|s∈T,x∈Ls+}上定義乘法為

按照這樣定義乘法是有意義的并且GC在上面的乘法下是閉的。

引理2[6]設(shè)(Y,T,L;φ)是GC-系統(tǒng)。則GC=GC(Y,T,L;φ)是含有左適當(dāng)斷面GC°={(s+,s)∈T}的左GC-lpp半群并且同構(gòu)于T；反之,每一個含有左適當(dāng)斷面的左GC-lpp半群都可以按照這種方式來構(gòu)造。

引理3[6]設(shè)GC=GC(Y,T,L;φ)是GC-系統(tǒng),(x,s)∈GC，則(x,s+)∈E(GC)并且(x,s)R*(x,s+)。

引理4[6]若S是左GC-lpp半群,則S是分裂半群，當(dāng)且僅當(dāng)S有左適當(dāng)斷面。

2　半群的+-同余

定義1設(shè)S為左富足半群,ρ為S上的同余。若對于所有的a,b∈S,aρb?a+ρb+，則稱ρ為S上的+-同余。

以下例子基于文獻(xiàn)[12]中的命題2.3。

例1設(shè)S是以Y為半格的左適當(dāng)半群。

則μR是包含在R*中的最大同余。易證μR是S上的+-同余。

例2設(shè)S是左型-A半群,τ是由R*生成的S上的同余。顯然，aτb當(dāng)且僅當(dāng)a+τb+，因此，τ是S上的+-同余。

設(shè)T是以冪等元集Y為半格的左型-A半群,L是以Y為骨架的正則帶,ρL為L上的同余,πT為T上的+-同余。若以下條件成立:

(C.1)ρL|Y=πT|Y;

(C.2) (?s,t∈T)(?m∈L)sπTt?s+(φsm)ρLt+(φtm);

(C.3) (?l∈T)(?m,x,u∈L)xρLu?m(φlx)ρLm(φlu)。

則稱(ρL,πT)為GC上的+-同余。

在GC上定義二元關(guān)系ρ(ρL,πT)為(x,s)ρ(ρL,πT)(u,t)?xρLu,sπTt。

定理1設(shè)GC為形如引理1.2中含有左適當(dāng)斷面的左GC-lpp半群,(ρL,πT)為GC上的+-同余對，則ρ(ρL,πT)是GC上的+-同余。反之,GC上的每一個+-同余都可以按照以上方式來構(gòu)造。

證明顯然ρ(ρL,πT)是GC上的等價關(guān)系,下證ρ(ρL,πT)是GC上的同余。

假設(shè)(x,s),(u,t),(m,l)∈GC，(x,s)ρ(ρL,πT)(u,t)，則xρLu,sπTt。由xρLu和(C.3)可得m(φlx)ρLm(φlu)。因為πT是+-同余,所以lsπTlt。從而可得

即

由sπTt和(C.2)可得s+(φsm)ρLt+(φtm),從而有x(φsm)ρLu(φtm)。再由πT是+-同余得slπTtl,因此(x(φsm),sl)ρ(ρL,πT)(u(φlm),tl),即

故ρ(ρL,πT)是GC上的同余。

若(x,s)ρ(ρL,πT)(u,t),則xρLu,sπTt。因為πT是+-同余,所以s+πTt+，從而可得(x,s+)ρ(ρL,πT)(u,t+)。因此ρ(ρL,πT)是GC上的+-同余。

反之,假設(shè)ρ是GC上的+-同余，在L和T上分別定義二元關(guān)系ρL和ρT為:

由于完全抗剪連接的FCB梁結(jié)合面滑移很小，測試精度較差，故本試驗僅對部分連接結(jié)合梁(PCB梁)進(jìn)行了鋼梁與混凝土板之間結(jié)合面的相對滑移測試，圖8給出了不同質(zhì)量試驗車輛以2 m/s通過PCB梁時支座位置結(jié)合面的滑移時程曲線。

因為ρ是GC上的+-同余,所以ρL是L上的等價關(guān)系,ρT是T上的等價關(guān)系。

設(shè)(x,s),(u,t),(p,o),(m,l)∈GC。若xρLu,pρLm,則(x,s+)ρ(u.t+)和(p,o+)ρ(m,l+)，從而可得(x,s+)(p,o+)ρ(u,t+)(m,l+)，因此

再利用(Q2)可得(xp,s+o+)ρ(um,t+l+)，所以xpρLum。顯然ρL|Y=πT|Y,故(C.1)成立。

設(shè)sρTt,則(s+,s)ρ(t+,t)，從而(s+,s)(m,l)ρ(t+,t)(m,l),即

因此s+(φsm)ρLt+(φtm)，故(C.2)成立。

設(shè)(m,l)∈GC,x∈Ls+,u∈Lt+,xρLu,則(x,s+)ρ(u.t+)，從而

即

因此m(φlx)ρLm(φlu),故(C.3)成立。

由以上證明可得(ρL,ρT)是GC上的+-同余對。顯然ρ(ρL,ρT)是GC上的+-同余。若(x,s)ρ(ρL,ρT)(u,t),則xρLu,sρTt，故

從而

即(x,s)ρ(u,t)。 故ρ(ρL,ρT)?ρ，而ρ?ρ(ρL,ρT)是顯然的,所以ρ(ρL,ρT)=ρ。

例3設(shè)M={1,x,e}在M上定義乘法為:

M1xe111exxxeeeee

易證M為半群。若令Y={1,e},則Y為半格。顯然,I1={1,x},Ie={e}是M的所有左零正則帶。通過計算可得M是以Y半格為骨架的左正則帶。

例4設(shè)A是由a生成的無限循環(huán)群,B是由b生成的無限循環(huán)幺半群,其中e為B的恒等元，將A和B分別記作:

其中b0=e，令S=A∪B∪{1},在S上定義乘法如下:

1)am1am2=am1+m2,其中am1,am2∈A;

2)bn1bn2=bn1+n2,其中bn1,bn2∈B;

3)ambn=am+n,其中am∈A,bn∈B;

4)bnam=bn+m,其中bn∈B,am∈A。

易得S是含有冪等元1和e的幺半群。S的R*-類為:A∪{1},B;L*-類為:{1},A∪B，因此S是適當(dāng)幺半群。進(jìn)一步可得,對于S中的所有冪等元x和S中的所有元素s有sx=(sx)+s，故S是左型-A半群。

以下將給出一個含有左適當(dāng)斷面的左GC-lpp半群的+-同余的例子。

例5設(shè)S={(1,1),(1,al),(x,am),(x,1),(e,bn)|l,m,n∈Z且l>0,m>0,n≥0},S上的乘法如下所示：

S(1,1)(1,al)(x,am)(x,1)(e,bn)(1,1)(1,1)(1,al)(1,am)(1,1)(e,bn)(1,al1)(1,al1)(1,al1+l)(1,al1+m)(1,al1)(1,al1+n)(x,am1)(x,am1)(x,am1+l)(x,am1+m)(x,am1)(x,am1+n)(x,1)(x,1)(x,al)(x,am)(x,1)(e,bn)(e,bn1)(e,bn1)(e,bn1+l)(e,bn1+m)(e,bn1)(e,bn1+n)

易證S是半群并且E={(1,1),(x,1),(e,e)}是左正則帶。從表中可得S的R*-類是：{(1,1),(1,al)|l>0},{(x,am),(x,1)|m>0},{(e,bn)|n≥0}。還可證得對于所有的a∈S和e∈E,有ae=(ae)+a。因此，S是左GC-lpp半群。

容易驗證T={(1,1), (1,al),(e,bn)}是S的左適當(dāng)斷面。此外還可得等價關(guān)系1S和σS是S上的+-同余,其中1S和σS對應(yīng)的等價類分別是:

1S:{(1,1)},{(x,1)},{(e,e)},{(1,a)},{(1,a2)},…{(x,a)},{(x,a2)},…,{(e,b)},{(e,b2)},…;

σS:{(1,1)},{(x,1)},{(e,bn)n≥0},{(1,al)|l>0},{(x,am)|m>0}。

3　+-同余格

用C(GC)表示GC上+-同余的全體,CT(GC)表示形如定理1中GC上+-同余的全體。

證明充分性是顯然的,下面看必要性。

命題1設(shè)Ω?C(GC),Tρ=(ρL,ρT) (其中ρ∈Ω)，則

證明第1個等式顯然成立,因此只需證明第2個等式。

結(jié)合上面的結(jié)果可得到下面的定理：

定理2設(shè)GC是形如引理2中的半群,則CT(GC)在文中定義的偏序下是完備格，且C(GC)和CT(GC)作為完備格是同構(gòu)的。

[1]BLYTH T S,MCFADDEN R.Regular semigroups with a multiplicative inverse transversal[J].Proceedings of the Royal Society of Edinburgh:Section A Mathematics,1982,92(3/4):253-270.

[2]El-QALLALI A.Abundant semigroups with a multiplicative type A transversal[C]//Semigroup Forum.Springer-Verlag:[s.l.],1993,47(1):327-340.

[3]CHEN J C.Abundant semigroups with adequate transversals[C]//Semigroup Forum.Springer-Verlag:[s.n.],2000,60(1):67-79.

[4]GUO X J.Abundant semigroups with a multiplicative adequate transversal[J].Acta Mathematica Sinica,2002,18(2):229-244.

[5]GUO X,WANG L M.Idempotent-connected abundant semigroups which are disjoint unions of quasi-ideal adequate transversals[J].Algebra,2002,30(4):1779-1800.

[6]LI Z Z,GUO X J,FU Z Q.Split Left GC-Lpp Semigroups[J].Journal of Mathematical Research with Applications,2012,32(1):33-42.

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[9]WANG L M,TANG X.Congruence lattices of regular semigroups with inverse transversals 1[J].Communications in Algebra,1998,26(4):1243-1255.

[10]WANG A,WANG L.*-congruences on abundant semigroups with SQ-adequate transversals[J].Acta Mathematica Hungarica,2013,141(4):358-365.

[11]FOUNTAIN J.Abundant semigroups[J].Proceedings of the London Mathematical Society,1982,3(1):103-129.

[12]FOUNTAIN J.Adequate semigroups[J].Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society (Series 2),1979,22(2):113-125.

(責(zé)任編輯陳艷)

+- Congruences on Split Left GC-Lpp Semigroups

WANG Ai-fa

(School of Science, Chongqing University of Technology, Chongqing 400054, China)

We gave +-congruences on a split left GC-lpp semigroup by the +-congruence pair abstractly which consists of congruences on the structure component partsLandR. We proved that the set of all congruences on this kind of semigroups is a complete lattice.

left GC-lpp semigroup; left regular band; congruence

2016-03-26

重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項目(KJ1500925，KJ1600930)

王愛法(1980—)，男，山東泰安人，博士研究生，講師，主要從事半群及半環(huán)代數(shù)理論研究，E-mail:wangaf1980@163.com。

format：WANG Ai-fa.+- Congruences on Split Left GC-Lpp Semigroups[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(8):143-147.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.08.023

O152.7

A

1674-8425(2016)08-0143-05

引用格式：王愛法.分裂左GC-lpp 半群的+-同余[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué))，2016(8):143-147.