徐恭賢，張　靜

(渤海大學 數(shù)理學院，遼寧 錦州　121013)

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埃博拉流行病的傳染動力學

徐恭賢，張靜

(渤海大學 數(shù)理學院，遼寧 錦州121013)

針對埃博拉流行病的傳染動力學問題，首先用確定型logistic模型描述埃博拉流行病，然后構(gòu)建了可以確定埃博拉logistic模型參數(shù)的辨識優(yōu)化模型，最后根據(jù)幾內(nèi)亞、塞拉利昂和利比里亞3個國家的累積感染病例數(shù)據(jù)對埃博拉logistic模型進行數(shù)據(jù)擬合和參數(shù)辨識分析。結(jié)果表明：各地區(qū)的埃博拉流行病傳染情況不同，而且埃博拉流行病的染病者增長率與抑制常數(shù)也具有較大的差異。

埃博拉流行病；傳染動力學；logistic模型；數(shù)學模型；參數(shù)辨識

identification

1976年首次出現(xiàn)一種急性嚴重傳染病，它的先期主要癥狀為發(fā)熱、乏力、肌肉疼痛、頭痛和咽喉痛，隨后會出現(xiàn)嘔吐、腹瀉、皮疹、腎臟和肝臟功能受損癥狀，某些情況下會有內(nèi)出血和外出血，并且會嚴重影響到生命安全[1-2]。經(jīng)世界衛(wèi)生組織檢查認定后稱為埃博拉病毒感染(又稱埃博拉出血熱)。2014年再次爆發(fā)埃博拉疫情，并且這是歷史上最嚴重的一次。本次疫情出現(xiàn)的病例和死亡數(shù)字超過了之前所有疫情的總和。疫情首先在幾內(nèi)亞發(fā)生，隨后快速蔓延到其他國家。世界衛(wèi)生組織指出，這次疫情傳播較快的主要原因是：第一，當?shù)厝藗兏鶕?jù)習俗偷埋病死人員；第二，疫情暴發(fā)地人口稠密；第三，幾內(nèi)亞、塞拉利昂和利比里亞3個疫情國家存在邊貿(mào)活動。埃博拉的傳播方式主要是通過血液傳播或者通過破損的皮膚直接傳播。雖然疫情主要爆發(fā)在非洲，但是隨著經(jīng)濟的發(fā)展中國與非洲國家的聯(lián)系日益密切，因此有必要對它進行研究和預防。目前已有學者對埃博拉流行病的數(shù)學建模、傳染動力學、最優(yōu)控制等進行了廣泛研究，取得了一系列成果[3-11]。

本文針對埃博拉流行病的傳染動力學問題，首先建立了埃博拉流行病的logistic模型，然后提出了可以確定埃博拉logistic模型參數(shù)的辨識優(yōu)化模型，最后根據(jù)幾內(nèi)亞、塞拉利昂和利比里亞3個國家的累積感染病例數(shù)據(jù)，對埃博拉Logistic模型進行數(shù)據(jù)擬合和參數(shù)辨識分析，并分析了埃博拉流行病的傳染特征。

1　埃博拉流行病的數(shù)學模型

目前有多種數(shù)學模型可以用來描述流行病的傳染動力學[12-13]。本文根據(jù)埃博拉傳染病的流行特點，采用Logistic 模型描述埃博拉流行病的動力學特征。

假設某國家第t天患有埃博拉流行病的累積染病人數(shù)為N(t)，染病者增長率為μ，抑制常數(shù)為λ，則由logistic確定型增長模型可得如下埃博拉流行病的數(shù)學模型：

(1)

(2)

染病初期，人們不太重視埃博拉病毒，沒有采取任何預防和控制措施，所以病人數(shù)目增長很快。式(1)右邊第1項代表了埃博拉傳染病的自然傳播情況。當疫情嚴重爆發(fā)后，人們會采取許多措施控制疫情，例如殺菌、注射疫苗等，因此式(1)右邊的第2項會占據(jù)重要地位。直到埃博拉傳染病后期，由于人們不斷研究預防和治療措施，導致傳染病人數(shù)不再上升，即dN/dt→0，疫情得到控制。

式(2)中，N0為埃博拉流行病在傳染初期時的患者數(shù)量，一般情況下某地區(qū)或某國家的原始染病人數(shù)為N0=1，但是對于國家邊貿(mào)地區(qū)和人口密集地區(qū)，初始值N0可能滿足N0>1。參數(shù)t0表示第1個埃博拉流行病患者的初始染病時間，當t0=0時分別表示本文模型中對幾內(nèi)亞、塞拉利昂和利比里亞3個國家統(tǒng)計數(shù)據(jù)的第1天，但并不是病毒真正爆發(fā)的時間，而是本文根據(jù)世界衛(wèi)生組織統(tǒng)計數(shù)據(jù)確定的時間，即分別表示：幾內(nèi)亞2014年4月1日，塞拉利昂2014年5月27日，利比里亞2014年6月16日。

Logistic模型經(jīng)常用于表達指數(shù)型增長模型的統(tǒng)計規(guī)律，因此當式(1)中的dN/dt=0時，可得埃博拉流行病的最大染病人數(shù)Nmax為

(3)

埃博拉流行病與很多傳染病類似，其疫情的發(fā)展規(guī)律不僅與人們所采取的控制力度有關，還與病毒本身的特性有關。埃博拉病毒發(fā)生的早期，由于還沒有有效的預防和控制措施，也就是抑制率λ趨近于0，導致疫情發(fā)展很快，所以有

(4)

根據(jù)式(4)還可得埃博拉病毒的倍增周期T為

(5)

2　埃博拉流行病模型的參數(shù)辨識

為方便起見，將式(1)中的參數(shù)μ和λ簡記為

由埃博拉流行病的實際情況易知：參數(shù)μ>0，λ>0；初始值N0>0，且μ，λ和N0均為有界變量，即存在

電壓變換電路的作用是將整流電路輸出的直流電壓轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)供電所需的12 V直流電壓。電壓變換電路包括MOSFET功率開關管、功率二極管、脈沖發(fā)生器、儲能電感、濾波電容、負載等組成,其中負載選用10 Ω電阻,電路仿真模型如圖5所示。電路輸入端接整流電路輸出的直流電壓,輸出電壓加載在負載R上,通過測量儀表檢測負載兩端電壓電流情況。

0

0

0

另設 f (N,u)=N(u1-u2N)=N(μ-λN)，則式(1)～ (2)可重新寫為如下問題：

(6)

(7)

(8)

設某國家第ti(i=1,2,…,n)天的實際埃博拉流行病累計患病人數(shù)為Ne(ti)。為了使logistic模型(1)～(2)能較好地描述埃博拉流行病的傳染過程，本文以各天的理論值與實際值之差的總和為優(yōu)化目標函數(shù)，建立了如下埃博拉流行病的參數(shù)辨識問題：

(9)

(10)

N(t0)=N0

(11)

u∈U

(12)

3　結(jié)果與分析

根據(jù)世界衛(wèi)生組織提供的幾內(nèi)亞、塞拉利昂和利比里亞3個國家的埃博拉流行病累計病例數(shù)據(jù)，通過Matlab軟件中的最小二乘法可以求得各埃博拉疫情國對應式(1)的染病者增長率μ和抑制常數(shù)λ的值，如圖1～2所示，其中幾內(nèi)亞、塞拉利昂和利比里亞3個國家的數(shù)據(jù)起始時間分別為2014年3月22日、6月1日和6月16日，結(jié)束時間均為2015年12月30日。

圖1　不同國家染病者增長率的比較

圖2　不同國家抑制常數(shù)的比較

從圖1中可以看到，在所有3個埃博拉疫情國中，幾內(nèi)亞的染病者增長率μ最低，塞拉利昂次之，利比里亞最高。染病者增長率主要受某些因素的影響，比如國家的經(jīng)濟狀況、衛(wèi)生條件、人口數(shù)量和流動情況等。如果國家經(jīng)濟狀況比較富裕、人民的生活水平較高，就會有更多的精力和時間注意衛(wèi)生情況。如果衛(wèi)生習慣較好，就能及時或者經(jīng)常做殺菌處理，民眾的身體狀況良好，染病者增長率較低，埃博拉病毒傳播的速度就不會很快。相反，如果人們的生活水平比較落后，公共衛(wèi)生條件差，那么染病者的增長率就越高。從圖1也可以看出，雖然幾內(nèi)亞、塞拉利昂和利比里亞的染病者增長率μ都在同一個數(shù)量級內(nèi)，但是利比里亞的染病者增長率是幾內(nèi)亞的2倍還多，這是因為μ值不僅與國家的實際情況有關，更與埃博拉病毒自己的傳染特性有關。

從圖2可以看到：在所有3個埃博拉疫情國中，塞拉利昂的抑制常數(shù)λ最低，利比里亞次之，幾內(nèi)亞最高，這與實際情況還是比較一致的。當然傳染病抑制率與一些人為控制因素有關，如及時接種疫苗和擁有優(yōu)越的公共衛(wèi)生團隊、能快速對患者做出診斷、減少他人與患者之間的接觸等都會大大提高傳染病的抑制率?？傊?，抑制率大的國家，埃博拉疫情相對來說能得到較好的控制。在西非埃博拉疫情最嚴重的就是幾內(nèi)亞、塞拉利昂和利比里亞這3個國家，它們相互鄰近，彼此又有貿(mào)易往來，經(jīng)濟條件普遍都比較差，衛(wèi)生措施也都很落后。3個國家中，幾內(nèi)亞對埃博拉流行病非常重視，不僅增長率相對比較低，而且抑制常數(shù)也是相對比較大的，因此該國與其他兩國相比，疫情得到了比較好的控制，患病人數(shù)相對比較少。塞拉利昂雖然不是染病者增長率最高的國家，但由于抑制常數(shù)最小，所以染病者人數(shù)最多。

表1給出了幾內(nèi)亞、塞拉利昂和利比里亞3個國家的埃博拉病毒倍增周期T。從表1中可以看到：T值位于16～38 d；幾內(nèi)亞的埃博拉病毒倍增周期T最長，為38 d；塞拉利昂次之，為24 d；利比里亞最短，為16 d。這與實際情況還是比較一致的。

表2給出了幾內(nèi)亞、塞拉利昂和利比里亞3個國家的埃博拉流行病的最大染病人數(shù)Nmax。從表2中可以看到，幾內(nèi)亞、塞拉利昂和利比里亞3個國家的埃博拉流行病的最大染病人數(shù)Nmax與實際染病人數(shù)之間的差值分別為26，857和586，與實際染病人數(shù)的相對誤差分別為0.68%，6.07%和5.49%，說明本文計算獲得的埃博拉流行病的最大染病人數(shù)Nmax與實際情況還是比較接近的。

表1　各疫情國的埃博拉病毒倍增周期

表2　各疫情國的埃博拉流行病的最大染病人數(shù)

圖3～5分別是幾內(nèi)亞、塞拉利昂和利比里亞的埃博拉流行病仿真結(jié)果。從圖3～5中可以直觀地看出模擬結(jié)果和實際埃博拉流行病累計感染人數(shù)之間吻合性較好。

圖3　幾內(nèi)亞的埃博拉流行病仿真結(jié)果

圖4　塞拉利昂的埃博拉流行病仿真結(jié)果

圖5　利比里亞的埃博拉流行病仿真結(jié)果

4　結(jié)束語

本文針對埃博拉流行病的傳染動力學問題，構(gòu)建了可以描述埃博拉流行病傳染動力學特征的logistic模型，并根據(jù)幾內(nèi)亞、塞拉利昂和利比里亞等典型疫情國的累積感染病例數(shù)據(jù)，對埃博拉logistic模型進行數(shù)據(jù)擬合和參數(shù)辨識分析。結(jié)果表明：各地區(qū)的埃博拉流行病傳染情況不同，而且埃博拉流行病的染病者增長率和抑制常數(shù)也具有較大的差異。

通過對埃博拉流行病的研究發(fā)現(xiàn)其增長率還是比較高的。本文所采用的模型對解釋埃博拉流行病還有一些局限性，比如模型中的增長率和抑制率可能不是常數(shù)，而是關于人口接觸情況、地理條件、時間等其他因素的一個可變參數(shù)。幾內(nèi)亞、塞拉利昂和利比里亞相互鄰近，彼此有著密切的聯(lián)系，且都位于海邊，所以若要采取控制措施，政府可以限制人員跨區(qū)域流動，加強人員密集地方的衛(wèi)生安全。為了防止疫情向其他地區(qū)蔓延傳播，應該加強對外出人員的嚴格檢查，有效遏制大規(guī)模人口流動。埃博拉疫情的傳播情況也可能不同，因為每個患者接觸的人數(shù)也是不相同的，這樣就為其傳播規(guī)律的確定帶來了極大的挑戰(zhàn)，因此將來對埃博拉流行病的傳染動力學還需進行更深入的研究。

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(責任編輯何杰玲)

Infectious Dynamics of Ebola Epidemic

XU Gong-xian，ZHANG Jing

(College of Mathematics and Physics, Bohai University, Jinzhou 121013, China)

This paper addressed the infectious dynamics of Ebola epidemic. The determined logistic model was first used to describe the Ebola epidemic. Then an identification optimization model that can determine the logistic model parameters of Ebola epidemic was established. Finally, both data fitting and parameter identification for the logistic model of Ebola epidemic were done by using the cumulative infection data of Ebola epidemic situation in Guinea, Sierra Leone and Liberia. The results show that these countries have different infection situations of Ebola epidemic. In addition, there are big differences in the growth rate and inhibition constant of these infected countries.

Ebola epidemic; infectious dynamics; logistic model; mathematical model; parameter

2016-06-01

國家自然科學基金資助項目(11101051); 遼寧省自然科學基金資助項目(2015020038).

徐恭賢(1976—),男,遼寧莊河人,博士,副教授,主要從事最優(yōu)化方法與應用研究，E-mail:gxxu@bhu.edu.cn。

format：XU Gong-xian，ZHANG Jing.Infectious Dynamics of Ebola Epidemic[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(8):76-80.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.08.012

O29

A

1674-8425(2016)08-0076-05

引用格式：徐恭賢,張靜.埃博拉流行病的傳染動力學[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2016(8):76-80.