賈　玲,史美華

(1.魯東大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計科學(xué)學(xué)院,山東煙臺　264025;2.浙江外國語學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院，浙江杭州　310012)

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Partial纏繞模的辮子monoidal范疇

賈玲1,史美華2*

(1.魯東大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計科學(xué)學(xué)院,山東煙臺264025;2.浙江外國語學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院，浙江杭州310012)

給出了使partial纏繞模范疇成為辮子monoidal范疇的充要條件.

partial纏繞模；辮子；monoidal范疇

Partial群作為研究算子代數(shù)的有力工具自1997年被Exel[1]引入以來，近年來已經(jīng)得到了豐富的結(jié)論[2-5].特別是Caenepeel等[6]引入的partial纏繞結(jié)構(gòu)，將纏繞結(jié)構(gòu)在不同于弱纏繞結(jié)構(gòu)的方向上給出了另一種推廣.簡單地說，partial纏繞結(jié)構(gòu)中的“余結(jié)合性”被破壞，因此它的理論研究更為復(fù)雜.

討論給定結(jié)構(gòu)的表示范疇能否成為辮子monoidal范疇是一個很重要的問題.文獻[7]討論了使Doi-Hopf模成為辮子monoidal范疇的等價條件；文獻[8]將其相應(yīng)結(jié)論推廣到纏繞模范疇上；文獻[9-10]討論了partial纏繞模的Maschke型定理.本文將探索使partial纏繞模范疇成為辮子monoidal范疇的等價條件，從而統(tǒng)一偏模結(jié)構(gòu)的相關(guān)結(jié)論.

我們的工作在一個域K上展開，對于余乘法和余模采用Sweedler符號.從K-空間V到V的恒等映射用idV表示.

∑(ab)φ?cφ=∑aφbφ?cφφ,

∑ε(cφ)aφ=ε(c)a,a,b∈A,c∈C.

注1:一個partial纏繞結(jié)構(gòu)(A,C,φ)是纏繞結(jié)構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)它同時是弱纏繞結(jié)構(gòu).

例1設(shè)H是Hopf代數(shù),e是其冪等元且滿足Δ(e)(e?1)=e?e和ε(e)=1.令A(yù):=H,C:=H，則(A,H,φ)是partial纏繞結(jié)構(gòu)，其中

例2設(shè)(A,C,φ)是右-右partial纏繞結(jié)構(gòu)，M是右-A模.定義映射p=(αM?idC)(idM?φ)(idM?C?1A)，令D=Imp，則易證p2=p,且D是partial纏繞模.模作用定義為：p(m?c)·a=p(m·aφ?cφ)，其partial余作用定義為

例3設(shè)H是Hopf代數(shù),e是其冪等元且滿足Δ(e)(e?1)=e?e和ε(e)=1，則H在作用g·h=egh(g,h∈H)下可稱為自身上的右partialH-模余代數(shù).

定義5一個右-右partial纏繞結(jié)構(gòu)(A,C,φ)稱為monoidal的，如果對任意a∈A,c,d∈C，下列條件滿足：

例4設(shè)H是余交換的Hopf代數(shù),C是partialH-模雙代數(shù)(既是partialH-模代數(shù)，又是partialH-模余代數(shù)),則易證(H,C,φ)是monoidal partial纏繞結(jié)構(gòu)，其中映射為

例5設(shè)(A,C,φ)為monoidal partial纏繞結(jié)構(gòu),則C?A是partial纏繞模，其模作用定義為(c?a)·b=c?ab，partial余作用定義為

模作用顯然成立,只需驗證partial余作用的合理性.因為，一方面，

另一方面有

引理1設(shè)(A,C,φ)為monoidal partial纏繞結(jié)構(gòu),且A和N是雙代數(shù)，M和N是partial纏繞模,則在通常的張量模作用和余作用下,M?N是partial纏繞模.

證明只需驗證余模作用是合理的.因為，對任意m∈M,n∈N,a∈A,有

且

這樣就完成了證明.】

設(shè)(A,C,φ)為monoidalpartial纏繞結(jié)構(gòu),令

是對合可逆的K-線性映射,M,N是partial纏繞模,定義

引理2條件如引理1所述,則τM,N是右A線性的當(dāng)且僅當(dāng)

證明由例5知C?Α是partial纏繞模，因此可方便地用映射

去替代τC?A,C?A.

如果t是右A線性的，則對任意c,d∈C,a∈A,有

等式右邊=∑c1?d1?(1φ?1φ)?(dφ?cφ)Δ(a).

兩邊用εC?εC?idA?idA作用即可證得.

這樣就完成了證明.】

引理3條件如前所述，則τM,N是右partialC余線性的當(dāng)且僅當(dāng)

證明如果t是右partialC余線性的，則對任意c,d∈C,有ρ(t(c?d?1?1))(t?idC)ρ(c?d?1?1)，其中ρ是余作用.而

等式右邊=

兩邊用εC?εC?idA?idA?εC作用即可證得.

反之，

引理4設(shè)(A,C,φ)為monoidalpartial纏繞結(jié)構(gòu)，且A和C是雙代數(shù)，M,N和P是partial纏繞模，則

證明?.取M=N=P=C?A，于是對任意c,d,e∈C，一方面有

另一方面有

兩式用εC?idA?εC?idA?εC?idA作用即可證得.

?.易證

這樣就完成了證明.】

引理5條件如引理4所述,則

[1]EXEL R.Twisted partial actions:A classification of regular algebraic bundels[J].ProcLondonMathSoc,1997,74:417.

[2]CAENEPEEL S,GROOT D E.Corings applied to partial Galois theory[C]//KALLA S L,CHAWLA M M.ProceedingsoftheInternationalConferenceonMathematicsandApplications.Kuwait:Kuwait University,2005:117.

[3]DOKUCHAEV M,EXEL R,PICCIONE P.Partial representations and partial group algebras[J].AdvMath,2000,226(1):251.

[4]DOKUCHAEV M,EXEL R.Associativity of crossed products by partial actions,enveloping actions and partial representations[J].TransAmerMathSoc,2005,357:1937.

[5]JIA Ling.A Maschke-type theorem for a partial entwining structure[J].TaiwaneseJournalofMathematics,2010,14(4):1571.

[6]CAENEPEEL S,JANSSEN K.Partial (Co)actions of Hopf algebras and partial Hopf-Galois theory[J].CommAlgebra,2008,36(8):2923.

[7]CAENEPEEL S,VAN O F,ZHOU B.Making the category of Doi-Hopf modules into a braided monoidal category[J].AlgebraandRepresentationTheory,1998,1:75.

[8]賈玲.纏繞模的辮子monoidal范疇[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報，2009，29(5)：1307.

[9]姜秀燕，賈玲.Partial Doi-Hopf模的辮子monoidal范疇[J].吉林大學(xué)學(xué)報理學(xué)版，2010，48(2)：241.

[10]姜秀燕，王志忠，金天坤.Partial Doi-Hopf模的Maschke型定理[J].吉林大學(xué)學(xué)報理學(xué)版，2011，49(2)：259.

(責(zé)任編輯馬宇鴻)

The braided monoidal category of partial entwined modules

JIALing1,SHIMei-hua2

(1.SchoolofMathematicsandStatistics,LudongUniversity,Yantai264025,Shandong,China;2.SchoolofScienceandTechmology,ZhejiangInternationalStudiesUniversity,Hangzhou310012,Zhejiang,China)

Thispapermainlygivesthesufficientandnecessaryconditionsmakingtherepresentationcategoryofpartialentwinedmodulesbeabraidedmonoidalcategory.

partialentwinedmodules;braiding;monoidalcategory

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.03.002

2015-03-20;修改稿收到日期:2015-05-07

山東省自然科學(xué)基金資助項目(ZR2012AL02)

賈玲(1974—)，女，山東煙臺人，副教授，博士.主要研究方向為Hopf代數(shù).

E-mail:jialing471@126.com

O153.6

A

1001-988Ⅹ(2016)03-0006-04

*通訊聯(lián)系人，女，教授，碩士.主要研究方向為Hopf代數(shù).E-mail:shimeihua63@163.com