張春霞,翟曉蕊

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅蘭州　730070)

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復(fù)形的Cartan-Eilenberg Gorenstein投射維數(shù)

張春霞,翟曉蕊

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅蘭州730070)

定義了Cartan-Eilenberg(CE) Gorenstein合沖復(fù)形,證明了對任意正整數(shù)n,復(fù)形K是CE Gorensteinn-合沖復(fù)形當(dāng)且僅當(dāng)它是CEn-合沖復(fù)形；給出了復(fù)形的CE Gorenstein投射維數(shù)的等價刻畫.作為應(yīng)用,證明了具有有限CE Gorenstein投射維數(shù)的復(fù)形存在CE Gorenstein投射預(yù)覆蓋.

CE Gorenstein 投射復(fù)形;CE Gorenstein 投射維數(shù);CE Gorensteinn-合沖復(fù)形;CEn-合沖復(fù)形

0　引言

1997年,Verdier[1]給出了Cartan-Eilenberg(CE)內(nèi)射復(fù)形和CE投射復(fù)形的概念,并引入了復(fù)形的CE內(nèi)射分解和CE投射分解.2011年,Enochs[2]介紹了CE Gorenstein內(nèi)射復(fù)形,證明了任意的CE Gorenstein內(nèi)射復(fù)形都可由完全CE內(nèi)射分解得到.2014年,Yang-Liang[3]研究了與內(nèi)射對偶的CE Gorenstein投射復(fù)形,給出了復(fù)形的CE Gorenstein投射維數(shù)的一些同調(diào)刻畫.

受以上文獻(xiàn)啟發(fā),本文對復(fù)形的CE Gorenstein 投射維數(shù)進(jìn)行探究.借助Huang[4]研究Gorenstein合沖和維數(shù)的方法,我們首先定義CE Gorenstein合沖復(fù)形,證明了對任意正整數(shù)n,復(fù)形K是CE Gorensteinn-合沖復(fù)形當(dāng)且僅當(dāng)它是CEn-合沖復(fù)形；然后，我們給出了復(fù)形的CE Gorenstein投射維數(shù)的等價刻畫,即對任意非負(fù)整數(shù)n及復(fù)形C,CE-Gpd(C)≤n當(dāng)且僅當(dāng)對任意一個整數(shù)t:0≤t≤n,存在CE正合序列

使得Gt是CE Gorenstein投射復(fù)形,Gi是CE 投射復(fù)形(i≠t)；作為應(yīng)用,證明了具有有限CE Gorenstein投射維數(shù)的復(fù)形存在CE Gorenstein投射預(yù)覆蓋.

1　預(yù)備知識

除非特別申明,本文中的環(huán)R是指具有單位元的結(jié)合環(huán),模均指酉R-模,復(fù)形均指R-復(fù)形.

設(shè)F是任意R-模類,將每個層次的模均在F中的復(fù)形所構(gòu)成的類記為C(F).

定義1[2]設(shè)F是一個R-模類,稱復(fù)形A為CEF復(fù)形,如果A,Z(A),B(A),H(A)都屬于C(F1).將所有CE F復(fù)形構(gòu)成的類記為CE(F).

特別地,若F是投射(或內(nèi)射,Gorenstein投射,Gorenstein內(nèi)射)R-模類,則CE F復(fù)形就是CE投射(或內(nèi)射,Gorenstein投射,Gorenstein內(nèi)射)復(fù)形.

定義2[2]稱R-復(fù)形序列…→C1→C0→C-1→…是CE正合的,如果以下序列均為正合序列:

( i )…→C1→C0→C-1→…;

( ii )…→Z(C1)→Z(C0)→Z(C-1)→…;

(iii)…→B(C1)→B(C0)→B(C-1)→…;

(iv)…→C1/Z(C1)→C0/Z(C0)→

C-1/Z(C-1)→…;

( v )…→C1/B(C1)→C0/B(C0)→

C-1/B(C-1)→…;

(vi)…→H(C1)→H(C0)→H(C-1)→….

注1：由文獻(xiàn)[5]引理9.2.2可知,在上述序列中,若(i)與(ii)或(i)與(v)正合,則(i)～(vi)都正合.

命題1設(shè)F是一個R-模類.對R-復(fù)形的正合序列C:…→C1→C0→C-1→…，以下結(jié)論成立:

( i )若Hom(CE(F),C)正合,且F包含一個忠實(shí)投射R-模,則C是CE正合的.特別地,若C是短正合序列,且C1為正合復(fù)形,則C是CE正合的.

( ii )若Hom(C,CE(F))正合,且F包含一個忠實(shí)內(nèi)射R-模,則C是CE正合的.

(1)

由文獻(xiàn)[2]命題2.1(1)可得正合序列

(2)

所以…→Z(C1)→Z(C0)→Z(C-1)→…是正合序列.由注1可知C是CE正合的.

(ii)證明過程與(1)類似,由文獻(xiàn)[2]命題2.1(2)和注1可知C是CE正合的.】

定義3[3]R-復(fù)形G的完全CE投射分解是指由CE投射復(fù)形構(gòu)成的CE正合序列P:…→P1→P0→P-1→…,使得G?Ker(P0→P-1),并且對任意CE投射復(fù)形Q,Hom(P,Q)是正合的.

命題2[3]對R-復(fù)形G,以下條件等價:

( i )B(G),H(G)∈C(GP(R));

(ii)G,G/B(G)∈C(GP(R));

(iii)G有完全CE投射分解;

(iv)G是CE Gorenstein投射復(fù)形.

定義4[4]稱R-復(fù)形C的CE Gorenstein投射維數(shù)小于或等于n,記為CE-Gpd(C)≤n,如果存在CE正合序列0→Gn→Gn-1→…→G0→C→0,使得每個Gi是CE Gorenstein投射復(fù)形.若n是滿足上述CE正合序列的最小非負(fù)整數(shù),則記CE-Gpd(C)=n;若n不存在,則記CE-Gpd(C)=∞.

2　復(fù)形的CE Gorenstein投射維數(shù)

引理1設(shè)R-復(fù)形序列0→A→B→C→0是CE正合的.若其中任意兩個復(fù)形有有限的CEGorenstein投射維數(shù),則第三個復(fù)形也有有限的CEGorenstein投射維數(shù).

證明由CE正合序列的定義可知,對任意整數(shù)i,存在以下正合序列:

(3)

(4)

設(shè)復(fù)形A,B有有限的CEGorenstein投射維數(shù),則存在非負(fù)整數(shù)n,使得CE-Gpd(A)≤n,CE-Gpd(B)≤n,于是由文獻(xiàn)[3]命題2.15可知:Gpd(Bi(A))≤n,Gpd(Hi(A))≤n,Gpd(Bi(B))≤n,Gpd(Hi(B))≤n.由文獻(xiàn)[7]定理2.24及(3)和(4)式可知Gpd(Bi(C))<∞,Gpd(Hi(C))<∞.再根據(jù)文獻(xiàn)[3]命題2.15可得CE-Gpd(C)<∞,即復(fù)形C的CEGorenstein投射維數(shù)有限.

對其它情形,同理可證.】

命題3設(shè)R-復(fù)形序列0→A→B→C→0是CE正合的且A≠0.若C是CEGorenstein投射復(fù)形,則CE-Gpd(A)=CE-Gpd(B).

證明由文獻(xiàn)[3]命題2.14和引理1可得.

引理2由復(fù)形范疇中的兩個CE短正合序列構(gòu)成的推出圖或拉回圖中,所有的行和列都是CE正合的.

證明設(shè)有關(guān)于X2→X3和X2→X4的推出圖

命題4設(shè)R-復(fù)形序列0→L→G1→G0→C→0是CE正合的,其中G1,G0是CE Gorenstein投射復(fù)形,則存在CE正合序列:

其中P,Q是CE投射復(fù)形,G,H是CE Gorenstein投射復(fù)形.

證明令M=Im(G1→G0),則有兩個CE短正合序列:

因?yàn)镚1是CE Gorenstein投射復(fù)形,所以由命題2知，存在CE正合序列0→G1→P→G2→0,使得P是CE投射復(fù)形,G2是CE Gorenstein投射復(fù)形，所以有如下推出圖:

再考慮推出圖

在CE正合序列0→G0→G→G2→0中,因?yàn)镚0,G2都是CE Gorenstein投射復(fù)形,所以由命題3知G也是CE Gorenstein投射復(fù)形.由推出圖中兩個CE短正合序列0→L→P→N→0和0→N→G→C→0可得CE正合序列0→L→P→G→C→0,其中P是CE投射復(fù)形,G是CE Gorenstein投射復(fù)形.

因?yàn)镚0是CE Gorenstein投射復(fù)形,所以由命題2知存在CE正合序列0→G3→Q→G0→0,使得Q是CE投射復(fù)形,G3是CE Gorenstein投射復(fù)形.對偶于上面的證法,做兩個拉回圖即可得到CE正合序列0→L→H→Q→C→0,其中Q是CE投射復(fù)形,H是CE Gorenstein投射復(fù)形.】

定義5對任意的正整數(shù)n,稱R-復(fù)形K為復(fù)形C的CEn-合沖復(fù)形(或CE Gorensteinn-合沖復(fù)形),若存在CE正合序列0→K→Gn-1→Gn-2→…→G0→C→0,使得每個Gi是CE(或CE Gorenstein)投射復(fù)形.

注2：若R-復(fù)形K是復(fù)形C的CEn-合沖復(fù)形(或CE Gorensteinn-合沖復(fù)形),則由定義5可知,對任意整數(shù)i,Ki(或Zi(K),Bi(K),Hi(K))是Ci(或Zi(C),Bi(C),Hi(C))的n-合沖(或Gorensteinn-合沖).

定理1對任意正整數(shù)n及CE正合序列0→K→Gn-1→Gn-2→…→G0→C→0,若每個Gi是CE Gorenstein投射復(fù)形,則以下結(jié)論成立:

( i )存在CE正合序列0→K→Pn-1→Pn-2→…→P0→T→0和0→C→T→G→0,使得每個Pi是CE投射復(fù)形,G是CE Gorenstein投射復(fù)形.

( ii )存在CE正合序列0→L→Qn-1→Qn-2→…→Q0→C→0和0→H→L→K→0,使得每個Qi是CE投射復(fù)形,H是CE Gorenstein投射復(fù)形.

證明由于(ii)的證明與(i)對偶,此處只給出(i)的證明.設(shè)n≥1,對n進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納.

當(dāng)n=1時,有CE正合序列0→K→G0→C→0.因?yàn)镚0是CE Gorenstein投射復(fù)形,所以由命題2知,存在CE正合序列0→G0→P0→G→0,使得P0是CE投射復(fù)形,G是CE Gorenstein投射復(fù)形.于是依如下推出圖即可獲證：

(5)

由歸納假設(shè)知存在以下兩個CE正合序列:

(6)

(7)

使得每個Pi是CE投射復(fù)形,G是CE Gorenstein投射復(fù)形.

結(jié)合由(5)～(7)式結(jié)論即可得證.】

推論1對任意正整數(shù)n,R-復(fù)形K是CE Gorensteinn-合沖復(fù)形當(dāng)且僅當(dāng)它是CEn-合沖復(fù)形.

證明由定理1(i)和定義5可得.】

推論2([3, 命題2.1.9])設(shè)R-復(fù)形C的CE Gorenstein投射維數(shù)有限,則存在CE正合序列0→C→T→G→0,使得G是CE Gorenstein投射復(fù)形,且CE-pd(T)=CE-Gpd(C).

證明設(shè)CE-Gpd(C)= n<∞，則由定理1中K=0的結(jié)論可得CE正合序列0→C→T→G→0,使得G是CEGorenstein投射復(fù)形,且CE-pd(T)≤n.再根據(jù)命題3知CE-Gpd(T)=CE-Gpd(C)=n.因?yàn)槊總€CE投射復(fù)形都是CEGorenstein投射復(fù)形,所以CE-Gpd(T)≤CE-pd(T)恒成立.由此可得CE-pd(T)=n.】

定理2設(shè)C是R-復(fù)形,則對任意非負(fù)整數(shù)n,以下條件等價:

( i )CE-Gpd(C)≤n.

( ii )對任意一個非負(fù)整數(shù)t:0≤t≤n,存在CE正合序列0→Gn→Gn-1→…→G0→C→0,使得Gt是CE Gorenstein投射復(fù)形,Gi是CE投射復(fù)形(i≠t).

證明(ii)?(i)顯然.

(i)?(ii).對n進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納.

當(dāng)CE-Gpd(C)≤1時,由定義4知存在CE正合序列0→C1→C0→C→0且C1,C0是CEGorenstein投射復(fù)形.由命題4中L=0的結(jié)論可得兩個CE正合序列:

其中P1,P0是CE投射復(fù)形,G1,G0是CEGorenstein投射復(fù)形.

現(xiàn)只需要證明t=0的情形.令M=Im(C1→C0),可得到CE正合序列0→Cn→Cn-1→…→C1→M→0,顯然CE-Gpd(M)≤n-1.由歸納假設(shè)知存在CE正合序列0→Pn→Pn-1→…→P2→G1→M→0,使得G1是CEGorenstein投射復(fù)形,Pi是CE投射復(fù)形,i=2,3,…,n.令K=Im(P2→G1),根據(jù)命題4,由CE正合序列0→K→G1→C0→C→0可得到CE正合序列0→K→P1→G0→C→0,其中P1是CE投射復(fù)形,G0是CEGorenstein投射復(fù)形.因此存在CE正合序列0→Pn→Pn-1→…→P1→G0→C→0,使得G0是CEGorenstein投射復(fù)形,Pi是CE投射復(fù)形,i=1,2,…,n.】

推論3([3,定理2.18])設(shè)C是R-復(fù)形,且CE-Gpd(C)=n,則存在CE正合序列0→K→G0→C→0,使得G0→C是C的CE Gorenstein投射預(yù)覆蓋,且CE-pd(K)=n-1(若n=0,則K=0).

證明設(shè)CE-Gpd(C)=n≤∞.由定理2中t=0的結(jié)論可得到CE正合序列0→Pn→Pn-1→…→P1→G0→C→0,使得G0是CEGorenstein投射復(fù)形,Pi是CE投射復(fù)形,i=1,2,…,n.令K=Im(P1→G0),則有CE正合序列0→K→G0→C→0,且CE-pd(K)≤n-1.類似于引理1的證明,由文獻(xiàn)[7]命題2.18和文獻(xiàn)[3]命題2.15可知CE-Gpd(K)=n-1.因?yàn)槊總€CE投射復(fù)形都是CEGorenstein投射復(fù)形,所以CE-Gpd(K)≤CE-pd(K)恒成立.由此可得CE-pd(K)=n-1.

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(責(zé)任編輯馬宇鴻)

Cartan-Eilenberg Gorenstein projective dimension of complexes

ZHANG Chun-Xia,ZHAI Xiao-rui

(College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,China)

After introducing the concept of Cartan-Eilenberg(CE) Gorenstein syzygy complexes,it is proved that a complexKis CE Gorensteinn-syzygy complex if and only if it is a CEn-syzygy complex for any positive integern.Furthermore,an equivalent characterization of CE Gorenstein projective dimension of complexes is given.As applications,it is proved that a complex existing finite CE Gorenstein projective dimension has a CE Gorenstein projective precover.

CE Gorenstein projective complex;CE Gorenstein projective dimension;CE Gorensteinn-syzygy complex;CEn-syzygy complex

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.03.001

2014-12-24;修改稿收到日期:2015-12-24

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11261050,11401475)

張春霞(1979—),女,甘肅慶陽人,副教授,博士，碩士研究生導(dǎo)師.主要研究方向?yàn)橥{(diào)代數(shù)理論.

E-mail:zhangcx@nwnu.edu.cn

O 153.3

A

1001-988Ⅹ(2016)03-0001-05