陳雙喜, 董大偉, 鄧小軍, 林建輝

(1. 西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,成都　610031; 2. 中車青島四方機(jī)車車輛股份有限公司國家工程中心,山東 青島　2661113.西南交通大學(xué) 牽引動力國家重點實驗室,成都　610031)

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驅(qū)動工況下高速動車組蛇行失穩(wěn)非線性度

陳雙喜1,2, 董大偉1, 鄧小軍2, 林建輝3

(1. 西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,成都610031; 2. 中車青島四方機(jī)車車輛股份有限公司國家工程中心,山東 青島2661113.西南交通大學(xué) 牽引動力國家重點實驗室,成都610031)

基于信號的波內(nèi)調(diào)制現(xiàn)象定義信號的非線性指標(biāo)，并研究高速動車組在驅(qū)動工況下(驅(qū)動系統(tǒng)在直接轉(zhuǎn)矩控制下)蛇行失穩(wěn)的非線性特征。首先建立包括高速動車組的車輛動力學(xué)Simpack子模型和牽引傳動系統(tǒng)的直接轉(zhuǎn)矩控制Matlab/Simulink子模型在內(nèi)的機(jī)械電氣耦合聯(lián)合仿真模型，然后計算動力學(xué)響應(yīng)，最后基于黃變換計算列車在蛇行失穩(wěn)狀態(tài)下動力響應(yīng)的非線性指標(biāo)變化。仿真結(jié)果表明：若列車出現(xiàn)蛇行失穩(wěn)，轉(zhuǎn)向架和車體橫向振動非線性指標(biāo)會急劇增大；完全失穩(wěn)情況下，車體橫向加速度非線性度大于0.1，轉(zhuǎn)向架橫向位移非線性度大于0.3。

黃變換；非線性度；高速動車組；蛇行失穩(wěn)

車輛系統(tǒng)中的非線性因素主要有輪軌接觸幾何的非線性、輪軌接觸蠕滑力的非線性、懸掛剛度和阻尼的非線性等[1-2]。輪軌接觸關(guān)系由踏面外形和鋼軌外形幾何參數(shù)決定。車輪不同踏面如錐形踏面、LMA踏面、XP55踏面等踏面，以及車輪外形和鋼軌外形磨損后，輪軌接觸點位置、接觸角、側(cè)滾角、接觸面曲率半徑均非線性變化。當(dāng)輪對左右移動或者軌道高低、方向、扭曲等平順情況下，輪軌接觸點位置、接觸角、側(cè)滾角、接觸面曲率半徑、鋼軌作用點的位置、踏面等效錐度等參數(shù)均非線性變化。事實上，車輪輪緣常常貼近鋼軌，接觸幾何關(guān)系具有非常明顯的非線性關(guān)系。輪軌接觸一般先采用Kalker線性理論[3]來描述，然而該理論值適合于小蠕滑率和小自旋情況，即輪軌接觸面主要由黏著區(qū)控制。對于輪軌接觸面主要由滑動去控制的大蠕滑甚至全滑動情況，蠕滑力的線性關(guān)系被打破，蠕滑率不斷增大，最后趨于庫侖摩擦力飽和極限。為此，需要用非線性蠕滑理論[4]進(jìn)行修正，使輪軌蠕滑力可廣泛實用于任意蠕滑率情況。

線性系統(tǒng)總可以應(yīng)用疊加原理，系統(tǒng)對不同激勵的響應(yīng)可以線性相加，而非線性系統(tǒng)疊加原理不成立，因此非線性系統(tǒng)的研究復(fù)雜得多。在研究方法上，非線性振動與線性振動之間有本質(zhì)區(qū)別。在非線性振動的研究中，很難得到微分方程的解析解。非線性振動基本研究方法有定性方法和定量方法。定性方法主要研究已知解領(lǐng)域內(nèi)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，定量方法主要關(guān)心運動的時間歷程，一般采用攝動法求解得到近似解。我們也可以采用數(shù)字分析方法來求解非線性振動問題。其基本步驟是對非線性系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值積分，在時域內(nèi)把響應(yīng)的時間歷程離散化，對每一個時間步長內(nèi)按照線性系統(tǒng)進(jìn)行計算，并對每一步計算結(jié)果進(jìn)行修正。由于非線性分析理論發(fā)展的不完善，很多問題還無法進(jìn)行理論上的分析，而數(shù)值分析理論的發(fā)展和計算工具性能的提高使得數(shù)值仿真成為可能。本文基于信號的波內(nèi)調(diào)制現(xiàn)象定義信號的非線性指標(biāo)，建立包括高速動車組的車輛動力學(xué)非線性Simpack模型和牽引傳動系統(tǒng)的直接轉(zhuǎn)矩控制Matlab/Simulink模型在內(nèi)的機(jī)械電氣耦合聯(lián)合仿真模型，研究在驅(qū)動工況(牽引系統(tǒng)直接轉(zhuǎn)矩控制)下，高速動車組蛇行失穩(wěn)動力響應(yīng)的非線性度，并研究如何利用非線性度來衡量列車蛇行失穩(wěn)狀態(tài)。

1　基于黃變換的非線性度分析

根據(jù)線性代數(shù)的知識，線性系統(tǒng)是狀態(tài)變量和輸出變量對于所有可能的輸入變量和初始狀態(tài)都滿足疊加和放大原理的系統(tǒng)。例如對于兩個輸入變量x1(t)和x2(t)，輸出變量y1(t)=H{x1(t)}和y2(t)=H{x2(t)}，若滿足：

αy1(t)+βy1(t)=H{αx1(t)+βx1(t)}

(1)

式中:(α，β是放大系數(shù))，那么該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。由于該準(zhǔn)則依賴初始條件和載荷情況，現(xiàn)實中并不可行。這是因為現(xiàn)實中的系統(tǒng)要復(fù)雜得多，輸入和輸出很難量化。1998年Huang[5]首先提出經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解EMD和Hilbert譜分析。作為一種新的自適應(yīng)數(shù)據(jù)分析方法，其目的是有效提取非線性非穩(wěn)態(tài)數(shù)據(jù)的時頻分布。經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解EMD是為了能夠使Hilbert變換能定義瞬時頻率。最初Huang運用Hilbert變換定義瞬時頻率，后來它發(fā)現(xiàn)Hilbert變換不滿足Bedrosian 理論和Nuttall理論，提出了正交化的Hilbert變換(NHT)[6]、DQ方法[6]來計算時頻幅值譜。Huang[5]提出基于信號的波內(nèi)調(diào)制現(xiàn)象來定義信號的非線性度。波內(nèi)頻率調(diào)制定義為瞬時頻率與廣義Zero-crossing頻率之差[6]。在最近的研究中，Huang建議將非線性度定義為

(2)

本文中，定義非線性指標(biāo)為：

(3)

式中：IF(t)為瞬時頻率，IFzc(t)為廣義Zero-crossing(GZC)頻率，而非瞬時頻率，它能描述信號波內(nèi)部的頻率調(diào)制；Azc(t)為瞬時幅值。本文采用DQ方法計算局瞬譜。

對于簡單的非線性振動方程，如無阻尼系統(tǒng)的杜芬方程：

(4)

當(dāng)方程有周期解時，通過攝動法，得到方程的解為：

x(t)=(A0+εA1+ε2A2)cost+

(5)

x(t)=cos(t+δsin2t)=

(6)

那么方程(5)和(6)是一致的，方程(6)中x(t)很明顯是波內(nèi)頻率調(diào)制信號，即非線性方程的解是頻率調(diào)制的。假定方程中的系數(shù)ε=1，γ=0.1，Ω=0.2 Hz，100 s內(nèi)該方程的解如圖1所示，波形存在明顯的非線性特征。

圖1　杜芬方程的解(ε=1，γ=0.1，Ω=0.2 Hz)Fig.1 Solution of duffing equation

圖2　杜芬方程解非線性指標(biāo)Fig.2 Index of nonlinearity for duffing equation solution

根據(jù)式(2)計算杜芬方程解(圖1)的非線性度DN=0.36(圖2),表現(xiàn)出極強(qiáng)的非線性特征。計算表明，當(dāng)ε=1、2、5、10、20，DN分別為0.36、0.24、0.16、0.14、0.13，解的非線性度DN隨著ε則快速減小。下面嘗試用此方法研究復(fù)雜的動車組非線性振動響應(yīng)。

2　動車組機(jī)電耦合仿真模型

一般情況下，假定車輛動力學(xué)模型為恒定的速度，即便是牽引工況也很少考慮牽引系統(tǒng)的控制策略[7]，為了充分考慮牽引和制動對列車動力學(xué)的影響，本文從牽引系統(tǒng)的角度建立機(jī)電耦合的聯(lián)合仿真模型。針對我國更高速試驗動車組，首先建立列車的車輛動力學(xué)模型，然后建立動車組牽引傳動系統(tǒng)的直接轉(zhuǎn)矩控制系統(tǒng)[8]的Matlab/Simulink仿真模型，并通過接口模塊將兩個系統(tǒng)連接起來，從而建立起直接轉(zhuǎn)矩控制下列車運行的機(jī)電耦合模型。

首先在Simpack軟件中建立高速動車組的動力學(xué)模型，包括三節(jié)車，每節(jié)車包括兩個構(gòu)架、四個輪對、八個軸箱、四個電機(jī)(電機(jī)軸)、四個齒輪箱(輸入輸出軸)、兩個牽引拉桿，如圖3所示。輪對、轉(zhuǎn)向架、車體和電機(jī)均有縱向、橫向、垂向、側(cè)滾、點頭和搖頭六個自由度；電機(jī)懸掛在構(gòu)架上；齒輪箱一端懸掛在構(gòu)架上，另一端在車軸上。一系二系懸掛采用彈簧單元模擬。運用彈簧單元模擬牽引拉桿連接車體和構(gòu)架；阻尼單元模擬抗蛇行減振器、橫向和垂向減振器和車間減振器。車鉤之間和橫向止擋用非線性彈簧模擬。車輪直徑0.92 m，踏面為LMA，鋼軌為中國軌道60 kg/m。

圖3　動車組車輛動力學(xué)模型Fig.3 Dynamics model of EMU

圖4　動車組機(jī)電耦合模型簡圖Fig.4 Electromechanical coupling model of EMU

然后根據(jù)各個部分的工作原理搭建了高速動車組牽引傳動系統(tǒng)的Matlab/simulink與simpack動力學(xué)聯(lián)合仿真模型，整個系統(tǒng)簡圖如圖4所示，包括：電源模塊、三相逆變器模塊、測量模塊、異步電動機(jī)模塊、直接轉(zhuǎn)矩控制模塊(DTC)、速度控制模塊和simpack接口模塊。直接轉(zhuǎn)矩控制模塊由轉(zhuǎn)矩給定、磁通給定，電流和電壓輸入信號都經(jīng)過采樣開關(guān)，DTC模塊包括轉(zhuǎn)矩和磁通計算、滯環(huán)控制、磁通選擇、開關(guān)表、開關(guān)控制等單元。DTC模塊是輸出三相逆變器開關(guān)器件的驅(qū)動信號。在Simpack接口模塊中，測量列車運行速度并反饋到電機(jī)模塊，同時通過自定義函數(shù)(牽引特性曲線)計算給定扭矩。自定義函數(shù)根據(jù)速度計算列車的運行阻力，并通過接口模塊加載到列車車體上。異步電動機(jī)模塊輸出的電磁轉(zhuǎn)矩通過接口模塊，作為扭矩輸入加載到車輛動力學(xué)模型中的電機(jī)轉(zhuǎn)子軸上，并經(jīng)齒輪箱傳遞到車軸上驅(qū)動列車前進(jìn)。于是整個模型就完成了?？捎么四Ｐ陀嬎懔熊噺膯拥酵Ｖ谷^程中機(jī)械系統(tǒng)和電氣系統(tǒng)的響應(yīng)。鑒于本文重點并非機(jī)電耦合模型，模型詳細(xì)介紹省略。

3　蛇行失穩(wěn)動力響應(yīng)的非線性度分析

假定列車運行在直線軌道上，軌道為干軌，摩擦系數(shù)μ=0.3。根據(jù)動力學(xué)計算已知：在正常情況下，列車蛇行失穩(wěn)臨界速度大于700 km/h；在每個轉(zhuǎn)向架失效一個抗蛇行減振器情況下，臨界速度仍然大于650 km/h；而在所有轉(zhuǎn)向架單側(cè)抗蛇行減振器都失效情況下，臨界速度大幅降低到262 km/h。為了得到蛇行失穩(wěn)狀態(tài)，本文假定所有轉(zhuǎn)向架單側(cè)抗蛇行減振器都失效。下面首先計算列車從啟動到300 km/h(大于蛇行失穩(wěn)速度262 km/h)并運行一段時間后減速到零全過程的動力學(xué)響應(yīng)，然后分析失穩(wěn)過程中加速度響應(yīng)的非線性指標(biāo)變化情況。

給定列車首先從t=0，速度1 km/h(為了防止速度過小導(dǎo)致無法計算蠕滑力，速度沒有設(shè)置為0)加速到最高運行速度300 km/h，運行250 s后開始減速到1 km/h。轉(zhuǎn)速給定使用simulink離散控制模型庫中的timer模塊，設(shè)定值為：t=0、250、500 s時轉(zhuǎn)速分別為3 476、12、12 r/min。耦合模型將根據(jù)給定的轉(zhuǎn)速計算磁鏈、給定轉(zhuǎn)矩、逆變器變頻變壓電壓并產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩驅(qū)動輪對運行。需要指出的是：由于對電機(jī)采用了直接轉(zhuǎn)矩控制技術(shù)，列車實際轉(zhuǎn)速并非為給定轉(zhuǎn)速，而是在跟蹤給定轉(zhuǎn)速，因此總是在給定轉(zhuǎn)速附近波動；電機(jī)輸出電磁轉(zhuǎn)矩也是在理論輸出轉(zhuǎn)矩附近大幅波動，這是由變頻變壓的逆變器決定的。模型采用混合步長的離散算法，基本仿真步長Ts=1×10-5s，轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器仿真步長為140×10-6s，動力學(xué)模型仿真步長為0.001 s。因本文重點在動力學(xué)響應(yīng)，故不對系統(tǒng)的電氣響應(yīng)如電壓、電流、磁鏈、電磁扭矩等進(jìn)行討論。

在牽引系統(tǒng)直接轉(zhuǎn)矩控制下，中間車前轉(zhuǎn)向架的橫向振動加速度與速度如圖5所示。列車從零加速開始加速前進(jìn)，轉(zhuǎn)向架橫向加速度一直很小(小于0.05 m/s2)；當(dāng)運行130 s后，列車運行速度達(dá)到臨界速度262 km/h，轉(zhuǎn)向架橫向加速度開始逐漸增大，列車出現(xiàn)小幅度蛇行失穩(wěn)；從130 s到152 s的20 s范圍內(nèi)，加速度在0.5 m/s2附近波動，列車處于失穩(wěn)的第一階段；運行152 s后，列車運行速度達(dá)到292 km/h，轉(zhuǎn)向架橫向加速度進(jìn)一步增大(大于5 m/s2)，列車完全蛇行失穩(wěn)(失穩(wěn)第二階段)；運行250 s后，即驅(qū)動轉(zhuǎn)矩反向后，列車開始以較大加速度減速，轉(zhuǎn)向架橫向加速度開始逐漸減小(失穩(wěn)第三階段)；運行276 s后速度降到233 km/h，橫向加速度減小到0.05 m/s2，列車從蛇行失穩(wěn)狀態(tài)消失。

目前國內(nèi)判斷列車蛇行失穩(wěn)通常采用這樣的處理方法："對列車轉(zhuǎn)向架橫向振動加速度進(jìn)行0.5～10 Hz帶通濾波，若濾波后的信號連續(xù)6個波峰值大于8～10 m/s2，則認(rèn)為列車蛇行失穩(wěn)。若依此方法對圖5的橫向加速度進(jìn)行計算判別(計算過程略)，列車并沒有蛇行失穩(wěn)。但是很明顯，列車確實已經(jīng)蛇行失穩(wěn)了。因此，該方法判別列車蛇行失穩(wěn)并不準(zhǔn)確。下面從非線性特征角度研究蛇行失穩(wěn)。

圖5　轉(zhuǎn)向架橫向加速度(0～300 km/h)Fig.5 Lateral acceleration of bogie(0～300 km/h)

圖6給出了列車從蛇行失穩(wěn)前到完全失穩(wěn)(120 s～160 s)過程中的轉(zhuǎn)向架橫向振動加速度的局部瞬時譜和非線性指標(biāo)INL的變化情況。從圖6(a)可以看出，從130 s開始，列車運行速度達(dá)到臨界速度262 km/h，局部瞬時譜在2 Hz附近出現(xiàn)大波動特征頻率，該頻率與理論蛇行頻率一致，系統(tǒng)開始出現(xiàn)蛇行失穩(wěn)跡象；152 s開始，特征頻率波動有所減小，但幅值增大(顏色變深)，系統(tǒng)完全失穩(wěn)。蛇行失穩(wěn)第一階段雖然振動幅值很小，但是頻率波動稍大。從圖6(b)看出，蛇行失穩(wěn)出現(xiàn)后，雖然振動幅值很小(小于1 m/s2)，INL指標(biāo)卻迅速增大超過0.2；152 s后完全失穩(wěn)階段，振動幅值增大10倍，INL指標(biāo)增大到超過0.4。圖7給出了車體橫向加速度的局部瞬時譜和非線性指標(biāo)，蛇行失穩(wěn)出現(xiàn)時刻(130 s)，非線性指標(biāo)INL就迅速增大到超過0.4；152 s后的完全失穩(wěn)階段，INL則沒有明顯變化。因此，非線性指標(biāo)INL對蛇行失穩(wěn)非常敏感，只要列車出現(xiàn)蛇行失穩(wěn)，其數(shù)值就大幅增加。

從圖6和圖7可知，雖然轉(zhuǎn)向架和車體橫向加速度的非線性指標(biāo)均能揭示列車蛇行失穩(wěn)。但是從數(shù)據(jù)處理角度來講，用車體數(shù)據(jù)來計算能減少計算量。這是因為轉(zhuǎn)向架的高頻頻率成分比車體多，而蛇行頻率在低頻段，黃變換信號分解總是先分解出高頻成分，用車體計算能減少信號分解次數(shù)。因此，建議用車體數(shù)據(jù)進(jìn)行計算非線性指標(biāo)和非線性度。

圖6　轉(zhuǎn)向架橫向加速度非線性分析(0～300 km/h)Fig.6 Nonliearity analysis for lateral acceleration of bogie

圖7　車體橫向加速度非線性分析(0～300 km/h)Fig.7 Nonliearity analysis for lateral acceleration of car body

表1給出了列車在完全失穩(wěn)階段，不同速度工況下，車體橫向加速度的非線性度DN的變化情況。非線性度DN計算的時間長度均為10 s。列車在300 km/h完全失穩(wěn)狀態(tài)下(從180 s～240 s)，車體橫向加速度非線性度DN為0.14；列車在350 km/h完全失穩(wěn)狀態(tài)下(從220 s～290 s)，車體橫向加速度非線性度DN在0.15-0.18范圍波動；列車在400 km/h完全失穩(wěn)狀態(tài)下(從300 s～380 s)車體橫向加速度非線性度DN在0.18～0.24范圍波動?？梢?，列車在完全蛇行失穩(wěn)狀態(tài)下，車體橫向振動DN大于0.1，且隨速度增加而增大。

圖8給出了所有轉(zhuǎn)向架單側(cè)抗蛇行減振器都失效工況下，列車從啟動加速到不同最高運行速度(300 km/h、350 km/h、400 km/h)再到減速停止過程中，轉(zhuǎn)向架和車體橫向位移的非線性度DN變化情況。列車完全失穩(wěn)后，轉(zhuǎn)向架和車體的非線性度DN均大幅度增大，轉(zhuǎn)向架的DN大于車體，且隨速度增加而增大。速度從300 km/h增大到400 km/h，轉(zhuǎn)向架橫向位移DN最大值從0.35增大到0.5，甚至大于第一節(jié)圖1中杜芬方程解的非線性度，表現(xiàn)出極強(qiáng)的非線性特征；而車體橫向位移DN始終在0.1附近。

表1　車體橫向加速度非線性度

圖8　不同速度下位移響應(yīng)非線性度Fig.8 DN for displacement response at different speed

根據(jù)車輛動力學(xué)理論，蛇行運動的非線性穩(wěn)定性通常采用Hopf分叉理論來分析：如果其極限環(huán)幅值出現(xiàn)分叉，則列車蛇行運動失穩(wěn)，極限環(huán)幅值分叉點即為理論臨界速度點。而實際臨界速度常用的計算方法為：給定一段有限長的實際軌道隨機(jī)不平順激擾樣本函數(shù)，首先讓列車運行在不平順軌道上并激發(fā)其振動，然后讓列車運行在理想光滑軌道上，通過觀察系統(tǒng)的振動能否衰減到平衡位置，來判斷系統(tǒng)是否出現(xiàn)蛇行失穩(wěn)。如果在某一車速下系統(tǒng)的振動不再收斂到平衡位置，這時的車速值即為系統(tǒng)的實際臨界速度。若列車出現(xiàn)蛇行失穩(wěn)，最直接能觀察到的現(xiàn)象是輪對橫向位移不再收斂到平衡位置。失穩(wěn)后轉(zhuǎn)向架橫向振動加速度幅值也會增大，目前的蛇行判定方法也是根據(jù)濾波后的振動峰值來定義，然而該方法并不準(zhǔn)確。

本文通過對振動響應(yīng)非線性度的分析可觀察到這樣現(xiàn)象：若列車開始蛇行失穩(wěn)，轉(zhuǎn)向架和車體橫向振動非線性指標(biāo)INL會急劇增大；若完全失穩(wěn)，車體橫向加速度非線性度DN大于0.1，轉(zhuǎn)向架橫向位移非線性度DN大于0.3。因此，我們可建議根據(jù)這樣的特征來判別列車是否失穩(wěn): 若車體橫向加速度非線性度大于0.1或轉(zhuǎn)向架橫向位移非線性度大于0.3，列車完全蛇行失穩(wěn)。

4　結(jié)　論

筆者建立了包括高速動車組的車輛動力學(xué)子模型和牽引傳動系統(tǒng)的直接轉(zhuǎn)矩控制子模型在內(nèi)的機(jī)電耦合模型，計算了列車從啟動到完全失穩(wěn)再到減速停止全過程中的動力學(xué)響應(yīng)，基于黃變換計算動車組動力響應(yīng)的非線性指標(biāo)。分析結(jié)果表明基于黃變換的非線性指標(biāo)能清晰揭示列車的非線性振動特征的變化，可作為衡量列車失穩(wěn)的指標(biāo)，并且給出了判別蛇行失穩(wěn)的參考方法。

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Nonlinearity index for hunting instability of high-speed EMUs with a drive system

CHEN Shuangxi1,2, DONG Dawei1, DENG Xiaojun2, LIN Jianhui3

(1. College of Mechanical Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China; 2. National Engineering Center, CRRC Qingdao Sifang Co., Ltd, Qingdao 266111, China;3. State Key Laboratory of Power Traction, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

The nonlinearity index of signals was defined based on intra-wave modulation and the nonlinear characteristics for hunting instability of high-speed EMUs with a drive system controlled with a direct torque were studied. Firstly, an electromechanical coupling co-simulation model including a vehicle dynamic Simpack submodel of high speed EMUs and a Matlab/Simulink submodel of drive system controlled with a direct torque was built. Then the EMU’s dynamic responses were calculated. Finally, the nonlinearity index of the dynamic responses was calculated based on Huang transformation. The simulation results indicated that when the EMU’s hunting motion instability happens, the nonlinearity indexes for lateral vibrations of bogie and car body increase dramatically, the nonlinearity indexes for car body lateral acceleration and bogie lateral displacement are larger than 0.1 and 0.3, respectively under the full unstable condition.

Huang transformation; degree of nonlinearity; high speed EMU; hunting instability

中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項資金資助(SWJTU10ZT04)

2015-02-25修改稿收到日期：2015-08-17

陳雙喜 男，博士后，1982年生

U270.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.15.007