周　凱， 盧士勇， 李永東

(1. 裝甲兵工程學(xué)院機(jī)械工程系， 北京 100072； 2. 中國(guó)人民解放軍駐618廠軍事代表室， 北京 100072)

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鐵電陶瓷平行裂紋的相互作用規(guī)律

周凱1， 盧士勇2， 李永東1

(1. 裝甲兵工程學(xué)院機(jī)械工程系， 北京 100072； 2. 中國(guó)人民解放軍駐618廠軍事代表室， 北京 100072)

針對(duì)沿z軸極化的BaTiO3鐵電陶瓷在xoy平面內(nèi)發(fā)生平行開(kāi)裂的問(wèn)題，建立了斷裂力學(xué)理論模型。綜合運(yùn)用積分變換法、位錯(cuò)模擬法和格林函數(shù)法，推導(dǎo)了該裂紋問(wèn)題的Cauchy型奇異積分方程組，并采用配點(diǎn)法將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組。通過(guò)對(duì)代數(shù)方程組進(jìn)行數(shù)值求解，得到了裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)的強(qiáng)度因子。以2條平行裂紋為例，基于數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了參數(shù)分析，討論了它們的縱向間距與橫向間距對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響規(guī)律，并定量揭示了平行裂紋相互“屏蔽”和“干涉”的基本現(xiàn)象，為鐵電陶瓷結(jié)構(gòu)的防斷裂優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了理論參考。

鐵電陶瓷； 平行裂紋； 屏蔽效應(yīng)； 干涉效應(yīng)

鐵電材料由于其優(yōu)越的力電耦合性能而在智能控制與測(cè)試、信息傳輸與存儲(chǔ)等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用[1]。目前，工程中常見(jiàn)的鐵電材料是人工鐵電陶瓷。由于陶瓷具有天然的脆性，因此鐵電器件在制造和應(yīng)用中常遇到開(kāi)裂的問(wèn)題，開(kāi)裂失效甚至被工程界認(rèn)為是制約該類智能器件性能提升的一大瓶頸。因此，斷裂力學(xué)建模與分析是鐵電器件設(shè)計(jì)、優(yōu)化和評(píng)估中必須開(kāi)展的一項(xiàng)基礎(chǔ)性研究工作，也是近年來(lái)國(guó)內(nèi)外斷裂力學(xué)領(lǐng)域研究的一大熱點(diǎn)。實(shí)際中，鐵電陶瓷在外載荷作用下可能同時(shí)產(chǎn)生多處開(kāi)裂，多條裂紋往往具有多種不同的排列形式和相互作用規(guī)律，這使得鐵電陶瓷的斷裂行為可能會(huì)變得非常復(fù)雜，因此，在鐵電陶瓷防斷裂優(yōu)化設(shè)計(jì)中十分有必要研究多裂紋的影響[2]。平行多裂紋的幾何構(gòu)型相對(duì)簡(jiǎn)單且在理論分析方面具有較強(qiáng)可行性，它是構(gòu)造和研究更復(fù)雜的多裂紋問(wèn)題的基礎(chǔ)。針對(duì)鐵電陶瓷中的平行多裂紋問(wèn)題，筆者綜合運(yùn)用積分變換法、位錯(cuò)模擬法和格林函數(shù)法，推導(dǎo)其奇異積分方程組，并采用配點(diǎn)法進(jìn)行數(shù)值求解，基于應(yīng)力強(qiáng)度因子(Stress Intensity Factor，SIF)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行參數(shù)分析，同時(shí)在理論數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，用平行裂紋之間的“屏蔽”和“干涉”現(xiàn)象解釋其相互作用規(guī)律，對(duì)鐵電陶瓷結(jié)構(gòu)優(yōu)化和設(shè)計(jì)具有非常重要的工程意義。

1　理論模型

圖1　鐵電陶瓷中的2組平行裂紋

假設(shè)圖1中的鐵電陶瓷沿z軸極化，則依據(jù)壓電理論[3]可知：其在xoy平面內(nèi)具有各向同性性質(zhì)(即橫觀各向同性)。假設(shè)裂紋受到反平面等效剪切載荷作用，則在xoy平面內(nèi)只有反平面變形與面內(nèi)電場(chǎng)發(fā)生耦合。在上述假設(shè)條件下，鐵電陶瓷的力學(xué)、電學(xué)基本方程可表示為

(1)

(2)

式中：k=x,y；w=(w，φ)T，為廣義位移，其中w和φ分別為機(jī)械位移和電勢(shì)；τk=(τkz，Dk)T，為廣義應(yīng)力，其中τkz和Dk分別為剪切應(yīng)力和電位移；c44、e15和ε11分別為剪切模量、壓電系數(shù)和介電系數(shù)。

(3)

在斷裂力學(xué)分析中，一般認(rèn)為反平面裂紋是閉合的[2]，也就是說(shuō)，電勢(shì)和法向電位移在裂紋上表面和下表面之間滿足連續(xù)條件[4]。于是，上述裂紋問(wèn)題的定解條件表示如下：

w(x,±∞)=0;

(4)

(5)

(6)

τy(x,0+)=τy(x,0-);

(7)

w(x,0+)=w(x,0-);

(8)

(9)

τyz(x,hI)=-τ0，

(10)

τyz(x,hII)=-τ0，

(11)

(12)

式中：-τ0為裂紋所受的反平面等效剪切載荷。

2　斷裂力學(xué)分析

2.1Green函數(shù)的求解

對(duì)于圖1的2組平行裂紋，本文采用位錯(cuò)模擬法開(kāi)展斷裂力學(xué)分析。將這2組裂紋用連續(xù)分布位錯(cuò)進(jìn)行模擬，相應(yīng)的位錯(cuò)分布密度函數(shù)[4]分別為

(13)

(14)

式中：i=1,2,…,nI；j=1,2,…,nII。

顯然，式(13)、(14)分別使式(9)、(10)中的連續(xù)條件得到了滿足。根據(jù)斷裂力學(xué)位錯(cuò)理論，為使位移場(chǎng)滿足單值性要求，式(13)、(14)在相應(yīng)裂紋區(qū)間范圍內(nèi)的定積分需取0，即

(15)

(16)

為求解連續(xù)分布位錯(cuò)問(wèn)題，一般需先確定位錯(cuò)點(diǎn)源的響應(yīng)。為此，暫時(shí)將裂紋從模型中去除，而在它們所在位置處分別引入位錯(cuò)點(diǎn)源I和II[2]：

(17)

(18)

式中：sI、sII分別為位錯(cuò)點(diǎn)源I和II的橫坐標(biāo)；δ為狄拉克Delta函數(shù)。

鐵電陶瓷中的位錯(cuò)點(diǎn)源如圖2所示，假設(shè)鐵電陶瓷中僅存在位錯(cuò)點(diǎn)源I，為方便推導(dǎo)，將式(17)等價(jià)表示為

(19)

(20)

圖2　鐵電陶瓷中的位錯(cuò)點(diǎn)源

根據(jù)狄拉克Delta函數(shù)的性質(zhì)可以推斷：α(x)和β(x)分別為偶函數(shù)和奇函數(shù)。故位錯(cuò)點(diǎn)源I的廣義位移場(chǎng)也必然由x的偶函數(shù)和奇函數(shù)所組成。對(duì)式(3)中的控制方程分別進(jìn)行x的余弦積分變換和正弦積分變換，然后利用式(4)中的邊界條件可分別求出位錯(cuò)點(diǎn)源I所產(chǎn)生的廣義位移場(chǎng)的對(duì)稱和反對(duì)稱部分，進(jìn)行疊加可得不同區(qū)域的廣義位移場(chǎng)：

F1e-ξysin(ξx)]dξ;

(21)

(F2e-ξy+V2eξy)sin(ξx)]dξ;

(22)

V3eξysin(ξx)]dξ。

(23)

式中：A=(Aw，Aφ)T，C=(Cw，Cφ)T，F(xiàn)=(Fw，F(xiàn)φ)T，V=(Vw，Vφ)T，均為待定系數(shù)向量。下文中，分別用上、下標(biāo)中的1、2、3標(biāo)志y≥hI、0

將式(21)-(23)代入式(1)可得位錯(cuò)點(diǎn)源I所產(chǎn)生的廣義應(yīng)力場(chǎng)(略)。將廣義應(yīng)力場(chǎng)和廣義位移場(chǎng)代入式(5)-(8)和(19)，然后將偶函數(shù)和奇函數(shù)部分分開(kāi)，并對(duì)所得到的方程相應(yīng)地進(jìn)行余弦和正弦變換，可以將它們化為2組代數(shù)方程，即附錄中j=I時(shí)的式(A1)-(A8)和(A9)-(A16)。這2組代數(shù)方程具有相同的系數(shù)矩陣，記作MI。分別求解2組代數(shù)方程可得

(24)

式中：ak1(k=3， 4， 5， 6)為MI的逆矩陣元素。

結(jié)合式(24)和廣義應(yīng)力場(chǎng)的表達(dá)式推導(dǎo)可以得到位錯(cuò)點(diǎn)源I在y=hI和y=hII所產(chǎn)生的剪切應(yīng)力的格林函數(shù)分別為

(25)

QI(ξ)=c44(a31e-ξh2-a41eξh2)+e15(a51e-ξh2-a61eξh2)。

(26)

當(dāng)ξ→∞時(shí)，QI(ξ)的極限值為0。于是，利用積分公式[2]

(27)

可將式(25)化為

(28)

(29)

對(duì)位錯(cuò)點(diǎn)源II進(jìn)行類似的理論推導(dǎo)，可將式(6)-(8)和(18)化為代數(shù)方程組。進(jìn)一步可得位錯(cuò)點(diǎn)源II在y=hI和y=hII所產(chǎn)生的剪切應(yīng)力的格林函數(shù)分別為

(30)

(31)

式中：bk1(k=1， 2)為附錄中代數(shù)方程組系數(shù)矩陣MII的逆矩陣元素。

2.2Cauchy奇異積分方程組

基于Green函數(shù)理論，利用式(28)中的格林函數(shù)，可以將式(13)所定義的連續(xù)分布位錯(cuò)在y=hI和y=hII所產(chǎn)生的剪切應(yīng)力分別表示為

(32)

同理，采用式(30)中的格林函數(shù)，可以將式(14)所定義的連續(xù)分布位錯(cuò)在y=hI和y=hII所產(chǎn)生的剪切應(yīng)力分別表示為

(33)

將式(32)、(33)對(duì)應(yīng)相加，可以得出上述位錯(cuò)在y=hI和y=hII共同產(chǎn)生的剪切應(yīng)力，代入式(11)、(12)，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行線性變換處理，可得一組具有標(biāo)準(zhǔn)形式的Cauchy奇異積分方程：

(34)

(35)

(36)

根據(jù)奇異積分方程理論，式(34)中的位錯(cuò)密度函數(shù)的解可表示為[5]

(37)

將式(37)代入式(15)、(16)和(34)，然后采用配點(diǎn)法，可將其離散為如下代數(shù)方程組[5]：

(38)

式中：k=1,2,…,nI；t=1,2,…,nII；q=1,2,…,m，其中m為求積節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)；λ0=λm=1/2；λ1=λ2=…=λm-1=1；

(39)

2.3應(yīng)力強(qiáng)度因子

反平面裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子(SIF)定義為

(40)

(41)

2組裂紋左、右尖端處的奇異應(yīng)力為

(42)

(43)

將式(41)、(42)相應(yīng)地代入式(40)、(41)，經(jīng)進(jìn)一步推導(dǎo)可得

(44)

(45)

3　數(shù)值計(jì)算與討論

在實(shí)際工程中，BaTiO3是一種廣泛應(yīng)用的鐵電材料，因此假設(shè)圖1中的鐵電陶瓷為該材料。數(shù)值計(jì)算時(shí)，裂紋面等效載荷-τ0=-5 MPa。相關(guān)材料參數(shù)如下[2]：c44=4.3×1010N/m2；e15=11.6 C/m2；ε11=1.12×10-8C2/(N·m2)。通過(guò)計(jì)算，探討平行裂紋之間的相互作用規(guī)律。為確保SIF數(shù)值計(jì)算結(jié)果的正確性，需首先明確數(shù)值計(jì)算的精度。

3.1計(jì)算精度

圖3　無(wú)量綱核函數(shù)的收斂行為,

3.2平行裂紋之間的相互作用

圖4　2條平行裂紋的間距示意圖

假設(shè)2組平行裂紋分別只有1條裂紋。按2條裂紋共軸(即它們的中心位于同一條鉛垂線上)和不共軸2種情況(見(jiàn)圖4)，分別通過(guò)改變縱、橫2個(gè)方向的間距c和d來(lái)分析裂紋尖端SIF的變化特征，并在此基礎(chǔ)上揭示2條平行裂紋之間的相互作用規(guī)律。

3.2.1共軸平行裂紋之間的相互作用

圖5為2條共軸平行裂紋的SIF隨其橫向間距d變化的關(guān)系曲線。由于此時(shí)幾何模型在水平方向上關(guān)于2條裂紋的中心軸線左右對(duì)稱，故同一裂紋2個(gè)尖端的應(yīng)力場(chǎng)將始終具有相等的SIF。在圖5(a)中，2條共軸平行裂紋等長(zhǎng)，故它們的SIF相等。觀察圖5(a)可以發(fā)現(xiàn)：若減小2條裂紋的橫向間距d，則它們的SIF將會(huì)相應(yīng)地減小。該現(xiàn)象稱為2條平行裂紋之間的“屏蔽效應(yīng)”，當(dāng)2條共軸平行裂紋等長(zhǎng)時(shí)，它們所受的屏蔽作用相同。在圖5(b)中，2條共軸平行裂紋不等長(zhǎng)，故它們的SIF不相等。觀察圖5(b)可以發(fā)現(xiàn)：較短的裂紋會(huì)受到顯著的屏蔽作用，而較長(zhǎng)的裂紋卻基本不受屏蔽。這主要是因?yàn)檩^長(zhǎng)的裂紋對(duì)較短的裂紋的尖端變形場(chǎng)起到了一定程度的“放松”作用，而反過(guò)來(lái)后者對(duì)前者的尖端變形場(chǎng)卻基本沒(méi)有作用。

圖5　2條共軸平行裂紋的SIF隨橫向間距d變化的關(guān)系曲線

3.2.2非共軸平行裂紋之間的相互作用

圖6為2條非共軸平行裂紋的SIF隨其縱向間距c變化的關(guān)系曲線?？梢?jiàn)：在SIF變化規(guī)律方面，尖端aII和bI相似；尖端aI和bII相似。

1)尖端aII和bI的SIF變化情況。若c從0開(kāi)始逐漸增大，則尖端aII和bI會(huì)逐漸由外側(cè)尖端轉(zhuǎn)變?yōu)閮?nèi)側(cè)尖端。在這一變化過(guò)程中，其SIF具有3個(gè)階段的典型變化特征：(1)當(dāng)c從0剛開(kāi)始變大時(shí)，尖端aII和bI逐漸向相鄰的裂紋中部移動(dòng)，它們會(huì)因此受到越來(lái)越強(qiáng)的屏蔽作用，其SIF會(huì)逐漸減??；(2)當(dāng)SIF的變化超過(guò)其局部最小值所對(duì)應(yīng)的c值范圍后，若繼續(xù)增大c值，則2條裂紋相互屏蔽的作用就會(huì)逐漸弱化直至最后消失，然而，尖端aII和bI應(yīng)力場(chǎng)相互干涉的作用卻會(huì)逐漸增強(qiáng)，其SIF會(huì)逐漸增大；(3)當(dāng)SIF的變化超過(guò)其局部最大值所對(duì)應(yīng)的c值范圍后，若繼續(xù)增大c值，則尖端aII和bI應(yīng)力場(chǎng)相互干涉的作用會(huì)逐漸弱化直至最后消失，其SIF會(huì)逐漸減小至其穩(wěn)定值。

圖6　2條非共軸平行裂紋的SIF隨縱向間距c變化的關(guān)系曲線(nI=nII=1,hI=7 mm,hII=5 mm)

2)尖端aI和bII的SIF變化情況。隨著c從0開(kāi)始逐漸增大，尖端aI和bII一直位于外側(cè)，其SIF具有2個(gè)階段的典型變化特征：(1)若c從0開(kāi)始逐漸增大，則尖端aI和bII所受的屏蔽作用會(huì)逐漸弱化，然而，若c值變化超過(guò)某個(gè)范圍，則尖端aI和bII之間就會(huì)逐漸出現(xiàn)相互干涉，而且干涉作用會(huì)越來(lái)越強(qiáng)，其SIF也可能會(huì)出現(xiàn)增長(zhǎng)；(2)當(dāng)SIF的變化超過(guò)其局部最大值所對(duì)應(yīng)的c值范圍后，若繼續(xù)增大c值，則內(nèi)側(cè)尖端的相互干涉作用會(huì)弱化，而外側(cè)尖端aI和bII所受干涉作用的影響也會(huì)弱化，其SIF會(huì)逐漸減小，最終達(dá)到其穩(wěn)定值，當(dāng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后，同一裂紋左、右尖端的SIF相等。

此外，在2條非共軸平行裂紋不等長(zhǎng)的情況下，較短的裂紋往往對(duì)縱向間距c的變化表現(xiàn)得更為敏感。

4　結(jié)論

針對(duì)鐵電陶瓷中的2組平行多裂紋，采用積分變換法、位錯(cuò)模擬法和格林函數(shù)法，推導(dǎo)了相應(yīng)的奇異積分方程組，并利用配點(diǎn)法進(jìn)行了數(shù)值求解。通過(guò)對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行參數(shù)分析，揭示并解釋了平行裂紋之間相互作用的“屏蔽效應(yīng)”和“干涉效應(yīng)”，為工程中鐵電陶瓷智能結(jié)構(gòu)的防斷裂優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。然而，平行裂紋問(wèn)題僅是鐵電陶瓷開(kāi)裂方面的一類簡(jiǎn)化的特殊問(wèn)題，對(duì)實(shí)際鐵電智能結(jié)構(gòu)而言，不同裂紋之間可能會(huì)具有多樣化的相對(duì)位置關(guān)系，相應(yīng)的斷裂力學(xué)理論分析過(guò)程會(huì)變得更加復(fù)雜，裂紋之間的相互作用也會(huì)呈現(xiàn)出更豐富的特征，相關(guān)規(guī)律尚有待進(jìn)一步研究。

附錄

(A1)

(A2)

(A3)

(A4)

(A5)

(A6)

(A7)

(A8)

(A9)

(A10)

(A11)

(A12)

(A13)

(A14)

(A15)

(A16)

式中：j=I,II，分別對(duì)應(yīng)位錯(cuò)點(diǎn)源I、II。式(A1)-(A8)組成的方程組與式(A9)-(A16)組成的代數(shù)方程組具有相同的系數(shù)矩陣，記作Mj(j=I,II)，其為8階方陣，其元素按照上述方程的順序確定。

[1]ScottJF.ApplicationsofModernFerroelectrics[J].Science, 2007, 315(5814): 954-959.

[2]LiYD,FengFX,ZhaoH.MultipleInterfacialCracksinaBi-laye-redMultiferroicCompositeunderMagnetostrictionorElectrostriction[J].EngineeringFractureMechanics, 2012, 90 (1): 65-75.

[3]YangJS.AnIntroductiontotheTheoryofPiezoelectricity[M].US:Springer,2005: 31-58.

[4]LiYD,LeeKY,FengFX.Magnetostrictive/ElectrostrictiveFractureofthePiezomagneticandPiezoelectricLayersinaMultiferroicComposite:Anti-planeCase[J].InternationalJournalofSolidsandStructures, 2011, 48 (9): 1311-1317.

[5]TheocarisPS,IoakimidsNI.NumericalIntegrationMethodsfortheSolutionofSingularIntegralEquations[J].QuarterlyofApp-liedMathematics, 1977, 35 (1): 173-183.

(責(zé)任編輯: 尚彩娟)

Interaction Laws among Parallel Cracks in Ferroelectric Ceramics

ZHOU Kai1, LU Shi-yong2, LI Yong-dong1

(1. Department of Mechanical Engineering, Academy of Armored Force Engineering, Beijing 100072, China;2. PLA Military Representative Office in No.618 Factory, Beijing 100072, China)

The fracture mechanics theoretical model is established for the problem of parallel cracking in thexoyplane of transversely isotropic BaTiO3ferroelectric ceramics that is polarized along thez-axis. The methods of integral transform, dislocation simulation and Green’s functions are employed to derive the Cauchy-type singular integral equations for the cracks, which are further transformed into algebraic equations by the collocation method. The intensity factors of the crack tip stress field are determined by numerically solving the algebraic equations. Finally, a simple example that only involves two parallel cracks is taken to make parametric studies. The effects of the longitudinal space and transverse space between the two cracks on the stress intensity factors are discussed in detail, and then the shielding and interference phenomena between the two parallel cracks are quantitatively revealed. The obtained results can serve as theoretical references for the anti-fracture optimal design of structures that are made of ferroelectric ceramics.

ferroelectric ceramics; parallel cracks; shielding effect; interference effect

1672-1497(2016)04-0098-07

2016-05-15

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11372358)

周凱(1991-)，男，碩士研究生。

O346.1

A

10.3969/j.issn.1672-1497.2016.04.020