張新春

自然數(shù)的基數(shù)意義與大小比較

張新春

自然數(shù)的基數(shù)意義

有了集合等價(jià)的概念，我們就可以定義基數(shù)意義下的自然數(shù)了。

讓我們想象一下，把所有有限集合進(jìn)行分類，分類的標(biāo)準(zhǔn)是：凡是互相等價(jià)的集合都分為一類。這樣一來，你家那只叫小黃的狗所成的集合｛小黃｝和你家那條沒有名字的金魚所成的集合｛無名金魚｝以及你的一個(gè)中指（不妨用字母P表示）所成的集合｛P｝就屬于一類。而｛A，B，C，D，E｝，｛五只羊｝，｛張三左手的五個(gè)手指｝，這些集合又屬于另一類。在這里，我們并不關(guān)心這些集合中對(duì)象的具體屬性是什么。它們之所以屬于一類，是因?yàn)樗鼈冇胁灰蕾囉趯?duì)象特殊性質(zhì)的共同屬性。這種共同屬性（或特征）的標(biāo)志就叫做集合的基數(shù)。事實(shí)上，“1”就是上述第一類集合的共同屬性，而“5”就是上述第二類集合的共同屬性。對(duì)有限集合來說，它的基數(shù)就是自然數(shù)。或者說，互相等價(jià)的一類集合的共同屬性即是自然數(shù)。

在｛a｝中添加一個(gè)元素b，得到的集合｛a，b｝也是有限集合，與它等價(jià)的所有集合的基數(shù)記作2；

……

基數(shù)意義自然數(shù)的大小比較

把自然數(shù)定義為集合的基數(shù)，解決了“自然數(shù)是什么”的問題。只有在此基礎(chǔ)上明確自然數(shù)的一些主要屬性，才能應(yīng)用自然數(shù)這個(gè)概念?；鶖?shù)意義下的自然數(shù)首要的應(yīng)用就是計(jì)數(shù)，即數(shù)物體的個(gè)數(shù)。物體的個(gè)數(shù)有多有少，因此，我們必須規(guī)定自然數(shù)的大小。

我們不妨先看看小學(xué)數(shù)學(xué)教材上的處理。

下圖是人教版教材中比較自然數(shù)大小的處理方式。我們嚴(yán)格定義自然數(shù)大小的方法與這種處理方法完全類似，只是用的是集合的語言。

上述左圖中兔子集合與籠子集合能建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系（即兩個(gè)集合等價(jià)），我們說兩個(gè)集合中的元素個(gè)數(shù)相等，即4=4。而右圖中小豬集合不能與木棒集合建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系（即它們不等價(jià)），但我們可以看出，小豬集合與木棒集合的“一部分”能建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。這種一個(gè)集合全體與另一個(gè)集合的“一部分”建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，就規(guī)定出了“多”和“少”，也就規(guī)定出了這兩個(gè)集合所對(duì)應(yīng)的自然數(shù)的“大”和“小”。即3＜4或4＞3。為了用集合的語言表述所謂“一部分”，我們建立了子集的概念。如果集合A中的每一個(gè)元素都是集合B中的元素，我們就說集合A是集合B的子集。比如，集合A=｛1，2，3｝是集合B=｛1，2，3，4｝的子集。特別地，一個(gè)集合也是它自己的子集。這一點(diǎn)只要對(duì)照子集的定義就可以知道。有時(shí)候不需要考慮這種特別的情況。于是我們把一個(gè)集合不同于自己的子集叫做真子集。即，集合A是集合B的真子集，就是說集合A中的元素都是集合B中的元素，但集合B中至少有一個(gè)元素不在集合A中。一個(gè)集合的真子集就是這個(gè)集合的“一部分”。

下面我們來定義自然數(shù)的大小。

定義：兩個(gè)有限集合A和B的基數(shù)分別用自然數(shù)a和b表示，那么：

當(dāng)集合A的一個(gè)真子集與集合B等價(jià)（即能建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系）時(shí)，稱a大于b，記作a＞b。

當(dāng)集合A與集合B的一個(gè)真子集等價(jià)時(shí)，稱a＜b，記作a＜b。

當(dāng)集合A與集合B等價(jià)時(shí)，稱a等于b，記作a=b。

這種比較大小的方式被推廣到了無限。我們說自然數(shù)個(gè)數(shù)與偶數(shù)個(gè)數(shù)一樣多，就是在這種意義上說的。因?yàn)樽匀粩?shù)集合和偶數(shù)集合是等價(jià)的——能建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。事實(shí)上自然數(shù)的個(gè)數(shù)與有理數(shù)的個(gè)數(shù)也一樣多，但實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)就多于有理數(shù)的個(gè)數(shù)。