殷智強

“認識方程”教學(xué)實錄及思考

殷智強

課前思考

方程與不等式是刻畫數(shù)量關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型。“認識方程”的教學(xué)應(yīng)將重心放在體驗方程模型的建立，體會方程思想上，教學(xué)難點則是如何引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會順向思考，會用方程表示事物之間的數(shù)量關(guān)系。

通過前面四年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)積累了用算術(shù)方法解決問題的經(jīng)驗，能夠運用算術(shù)方法快速地找到問題的答案。在這一過程中，學(xué)生運用的是以問題為導(dǎo)向的逆向思維。所以在列方程的過程中，由于受算術(shù)解題方法經(jīng)驗的影響，學(xué)生習(xí)慣于把未知數(shù)作為目標，然后列式計算。而方程本質(zhì)上是闡述一個事實，不以解決問題為目標，表達的是題目中最基本的等量關(guān)系，體現(xiàn)的是一種順向思維。逆向思維和順向思維體現(xiàn)了解決問題的兩種不同思考方向。在小學(xué)階段，由于解決的問題尚不復(fù)雜，許多問題其實都可以通過逆向思考的方式予以解決。而初中、高中階段的題目則需要通過順向思考列出方程，最后通過解方程得以解決。所以“認識方程”的教學(xué)目標不能停留在方程的概念性描述上，而應(yīng)讓學(xué)生學(xué)會順向思維，獲得解決問題的另一種方法。因此在教學(xué)時，教師要通過巧妙的教學(xué)設(shè)計，逐步向?qū)W生滲透順向思考的方式，讓順向思考列方程成為一種習(xí)慣。

教學(xué)過程

一、導(dǎo)入

師：仔細觀察下面這些圖片，它們都有一個什么共同點？

生：這些標志當中都用到了天平。

師：天平有什么特點？

圖1　

生1：如果天平兩邊的質(zhì)量相等，天平就會保持平衡；如果天平兩邊的質(zhì)量不相等，天平就會傾斜，天平重的一端就會沉下去，輕的一端就會翹起來。

師：是的，這里就是利用天平的特點來象征公平與正義。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們也會利用天平的特點解決一些問題。老師這里就有一臺天平。（課件呈現(xiàn)天平并進行介紹）

二、新授

1.根據(jù)數(shù)量關(guān)系列算式

師：（出示圖2）你看到了什么？

圖2　

生2：天平的左邊放了兩個蘋果，一個重80克，一個重90克；天平右邊有兩個砝碼，一個重100克，一個重70克，天平保持平衡。

師：你是怎么看出天平保持平衡的？

生2：天平的指針指向正中間。

師：那你能用一個算式表示出它們的數(shù)量關(guān)系嗎？生2：80+90=100+70。

師：（出示圖3）你又看到了什么？

圖3　

生3：天平的左邊放了一個重80克的蘋果和一塊積木，天平的右邊放了一個重100克的砝碼，天平向左邊傾斜。

師：天平向左傾斜說明了什么？你能像剛才一樣用一個算式表示出它們之間的數(shù)量關(guān)系嗎？

生3：80+一塊積木＞100。

生4：這樣寫太麻煩了，我們可以將這塊積木的質(zhì)量假設(shè)為x克，用算式表示為80+x＞100。

師：太棒了，你居然想到了用字母表示這塊積木的質(zhì)量。但是一定要將這塊積木的質(zhì)量假設(shè)為x克嗎？設(shè)為其他字母可以嗎？（可以）只是我們通常將其設(shè)為x克。要使天平保持平衡，我們該怎么調(diào)整砝碼？

生5：可以在天平的右邊繼續(xù)放砝碼。

師：那好，在天平的右邊增加一個重100克的砝碼，看看天平兩邊又會發(fā)生什么樣的變化（如圖4所示）。

圖4　

生6：右邊的重一些。

師：那你能夠根據(jù)這幅圖列出一個算式嗎？生6：80+x＜200。

師：這時的天平還是不平衡，我們該怎樣調(diào)整砝碼呢？你是怎樣想的？

生7：說明天平左邊物體的總質(zhì)量在100克和200克之間，增加的這個100克的砝碼太重了，可以換小一點的試試。

師：那好，我們將這個100克的砝碼換成一個50克的砝碼，看看結(jié)果怎么樣（如圖5所示）。（天平平衡了）你能根據(jù)這幅圖再列出一個算式嗎？

圖5　

生8：80+x=150。

師：老師這里買了一個重150克的蘋果，如果將其放在天平的左邊，閉上眼睛想一想，天平兩邊會發(fā)生怎樣的變化？能列出一個式子嗎？

生9：天平左邊會沉下去，因為150＞100+30。

師：我很好奇，如果將這個蘋果咬掉一口后放到天平的左邊會怎么樣？

圖6　

生10：天平還是向左邊傾斜。

生11：不一定，要看咬掉的這一口有多重。如果剛好是20克，天平會保持平衡；如果重于20克，天平會向右邊傾斜；如果小于20克，天平會繼續(xù)向左邊傾斜。

師：同意嗎？說得真好。那你能用式子表示出來嗎？

生11：150-x＜130，150-x=130，150-x＞130。

2.對式子進行分類整理

師：同學(xué)們，通過剛才的學(xué)習(xí)我們列出了8個算式。你能將它們按照一定的標準分成兩類嗎？說說你的想法。

①80+90=100+70②80+x＞100

③80+x＜200④80+x=150

⑤150＞130⑥150-x＜130

⑦150-x=130⑧150-x＞130

生：可以按是否為等式分類；按是否含有字母分類。

師：大家在分類時用到了兩個標準：是否為等式和是否含有字母。請仔細觀察兩個特別的算式④和⑦。你知道為什么說它們特別嗎？

生12：因為它們既是等式又含有字母。

師：對，像這樣含有未知數(shù)的等式，在數(shù)學(xué)里我們稱為方程。這節(jié)課我們認識了數(shù)學(xué)王國里的一位新成員——方程。（板書課題：認識方程）你能告訴大家方程具有什么特點嗎？

生13：方程有兩個特點，一是必須含有字母，二是必須為等式。

師：了不起。請你繼續(xù)完成下列練習(xí)題（課件出示圖7）。

“全人”是指全面發(fā)展的人、具有主體性且能夠把握自己命運的人。因此，“全人教育”強調(diào)人的整體發(fā)展，尊重個體的多樣性，其目的就是培養(yǎng)有道德、有知識、有紀律、有能力，和諧發(fā)展的“完人”[7]?，F(xiàn)階段，我們所有的教育工作者其重要使命是要培養(yǎng)“通德、通識、心智和諧”的人，大學(xué)英語教師最直接的方法就是在課程教學(xué)設(shè)計中彰顯和體現(xiàn)此觀念及其理論。不難發(fā)現(xiàn)本次設(shè)計中的幾處全人教育理念：女性地位提高、女性自我意識覺醒、客觀公正地評價反饋等，特別是寫作作業(yè)，同學(xué)會用真實的經(jīng)歷和情感描寫自己的母親，對于內(nèi)斂保守的中國人來講，這是多么好的一次機會！

圖7　

生14：1號肯定是方程，既含有未知數(shù)又是等式。

生15：2號可能是方程，也可能不是方程。因為只知道它是一個等式，不知道墨水后面是不是未知數(shù)。

3.鞏固練習(xí)

師：請根據(jù)圖8提供的信息分別列出方程。

圖8　

生16：x+90=120。

生17：x+x+x+x=190，或者4x=190。

師：剛才我給了大家天平，讓大家根據(jù)相關(guān)信息列出方程?，F(xiàn)在沒有天平，大家還能列出方程嗎？（出示題目：3包相同的餅干，總質(zhì)量是210克，每包餅干的質(zhì)量是多少克？）

生18：3x=210。

生18：x表示一包餅干的質(zhì)量，3x就表示3包餅干的質(zhì)量，題目中已經(jīng)告訴我們3包餅干的總質(zhì)量是210，所以方程是3x=210。

師：那也就是說我們先找到未知量，并將其假設(shè)為x，然后想辦法找到題目中的等量關(guān)系列方程。那再來一道題：一個長方形的長為13厘米，周長為40厘米，長方形的寬為多少厘米？

生19：長方形的周長計算公式是（長+寬）×2，假設(shè)長方形的寬為x厘米，這道題可列方程為（13+x）×2=40。

師：你是利用長方形周長的計算公式列方程。那方程究竟有什么好處呢？（出示例題：王老師帶100元到文具店為學(xué)生購買獎品。筆記本每本6元，她購買了4本，還買了8支鋼筆，售貨員找回10元，你知道王老師買的鋼筆單價是多少嗎？）你能用方程表示出題中的數(shù)量關(guān)系嗎？

生20：6×4+8×x=100-10。

師（故作疑惑狀）：這個方程這么長，誰能幫我翻譯一下，讓大家都明白？

生21：筆記本每本6元，買了4本，6×4表示買筆記本花的錢；將鋼筆的單價假設(shè)為x元，買了8支，8×x表示買鋼筆花的錢；6×4+8×x表示所花出去的總錢數(shù)；100-10表示的也是所花出去的總錢數(shù)，所以相等。

師：現(xiàn)在我終于明白了，一段看起來很長很復(fù)雜的文字，用方程表示出來更簡潔明了。

（作者單位：長沙市芙蓉區(qū)育才學(xué)校）

點評

從算術(shù)向代數(shù)過渡，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要轉(zhuǎn)變，也是重要的進步。代數(shù)研究的對象不僅包括數(shù)，還包括符號。處理符號是代數(shù)的本質(zhì)特征。在代數(shù)里，用字母或其他符號表示數(shù)、表示性質(zhì)、表示關(guān)系、表示運算等，就把數(shù)與數(shù)的關(guān)系推廣到了一般。

學(xué)生在算術(shù)學(xué)習(xí)過程中形成了一些基本的觀念。這些觀念中，有的與代數(shù)思維是相悖的。比如對運算的理解。在算術(shù)里，2+3表示的是一個運算過程，即把2和3加起來。在代數(shù)里，a+b不僅表示一個過程，還可以表示一個對象，即a與b的和。又如對等號（“=”）的理解。在算術(shù)里，學(xué)生傾向于把“=”理解為“宣布一種結(jié)果”。2+3=5，這里的“=”被認為是宣布2+3的結(jié)果。有這種認識的學(xué)生，難免會寫出這樣的錯誤式子2+3=5-1=4+6=10。而在代數(shù)里，“=”表示一種關(guān)系，等號兩邊是表示同一個東西。

方程的認識，關(guān)鍵是對這種關(guān)系的認識。這里的關(guān)系，當然是指數(shù)量關(guān)系。所謂數(shù)量關(guān)系，就是指數(shù)量之間的彼此依存與彼此約束。比如我有一些零錢，去商店買東西花掉了一些，還剩下一些。這里有三個數(shù)量，它們之間是有關(guān)系的。比如剩下的那些錢一定比原有的錢要少。這種關(guān)系就約束了這兩個量不可能隨意取值：在這里，原來10元，剩下8元，這是可能的；原來8元，剩下10元，通常就是不可能的。這種關(guān)系用不等式來刻畫。又如剩下的錢加上花掉的錢，一定等于原有的錢。這種關(guān)系也約束了這三個量不可能任意取值。這種關(guān)系用等式來刻畫。如果在一個等式里有未知數(shù)，我們就把這個等式叫做方程。因為這個等式反映了數(shù)量間的一種約束關(guān)系，其中的一個未知數(shù)不能任意取值。如果只有一個未知數(shù)的話，通?？梢郧蟪鰜怼＿@就是解方程。

殷老師執(zhí)教的“認識方程”一課，就是強調(diào)學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的理解。天平的左邊放了兩個蘋果，一個重80克，一個重90克；天平的右邊有兩個砝碼，一個重100克，一個重70克，天平保持平衡。這4個蘋果的質(zhì)量間滿足一種關(guān)系：80+90=100+70。這個等號不是通過計算、比較左右兩邊的結(jié)果得到的，而是通過觀察天平得到的。同樣，天平的左邊放一個重80克的蘋果和一塊積木，天平的右邊放一個重100克的砝碼，天平向左邊傾斜。這三個量之間又有一種關(guān)系，這種關(guān)系用不等式刻畫：80+x＞100，這里的大于號同樣不是通過計算、比較左右兩邊的值得到的（事實上，不等式左邊根本無法計算出一個具體結(jié)果來）。左邊放一個重150克的蘋果，右邊放100克和30克的砝碼各一個，天平偏左，用150＞100+30刻畫?，F(xiàn)在，若把蘋果咬掉一口，再放回去，會如何？如此，讓學(xué)生不斷加深對數(shù)量關(guān)系的理解：在這里，刻畫數(shù)量關(guān)系的有不等式和等式。我們把目光集中到等式上來，如果等式里有未知數(shù)，就被稱為方程。這里的分類，不僅是對那些式子的分類，也是對式子背后的數(shù)量關(guān)系的分類。

不僅有有形的天平，還有無形的天平。長方形的長、寬和周長之間有可以用等式刻畫的數(shù)量關(guān)系，若其中有未知數(shù)，就是方程。王老師帶100元到文具店為學(xué)生購買獎品。筆記本每本6元，她購買了4本，還買了8支鋼筆，售貨員找回10元。這些數(shù)量之間也有可以用等式刻畫的關(guān)系，而鋼筆的價格未知，刻畫這些數(shù)量之間關(guān)系的等式就是方程。

在教學(xué)中，也可以適當引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)量關(guān)系對其中的數(shù)量的約束。比如天平的左邊放一個重80克的蘋果和一塊積木，天平的右邊放一個重100克的砝碼，天平向左邊傾斜。80+x＞100，這個不等式約束了積木的質(zhì)量：30克是可能的，但10克是不可能的。不等式通常把其中的未知數(shù)約束在了某個范圍內(nèi)。而對于只有一個未知數(shù)的方程，我們往往能確定其中的未知數(shù)。這個過程事實上就是用方程解決問題。

（長沙市教育科學(xué)研究院張新春）