陳文鋒1，2，龔書喜1，董海林1，張鵬飛1，趙 博1

（1.西安電子科技大學(xué)天線與微波技術(shù)重點實驗室，陜西西安 710071；2.中國電子科技集團公司第三十六研究所，浙江嘉興 314033）

雷達目標(biāo)寬帶散射特性的GGO快速分析方法

陳文鋒1，2，龔書喜1，董海林1，張鵬飛1，趙 博1

（1.西安電子科技大學(xué)天線與微波技術(shù)重點實驗室，陜西西安 710071；2.中國電子科技集團公司第三十六研究所，浙江嘉興 314033）

文中將降維技術(shù)應(yīng)用到傳統(tǒng)矩量法中，并結(jié)合梅利逼近對目標(biāo)二維雷達散射截面進行快速分析.針對角域和頻域中目標(biāo)表面電流的二維展開式，Gauss-Green-Ostrogradsky（GGO）降維技術(shù)將問題轉(zhuǎn)化為角域（或頻域）的一元函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的疊加，有效避免了逼近函數(shù)二維展開系數(shù)的求解過程，并通過控制導(dǎo)數(shù)的階數(shù)調(diào)整計算精度，從而快速有效獲得雷達目標(biāo)二維散射特性.與二維梅利逼近方法相比，該方法在不失精度下更易于實現(xiàn)編程計算，內(nèi)存需求和求解時間僅為原始算法的1/6和1/3.

矩量法；雷達散射截面；梅利逼近；降維技術(shù)

在研究電磁場邊值問題的目標(biāo)散射時，雷達散射截面（Radar Cross Section，RCS）和角度與頻率密切相關(guān)，這使得在進行數(shù)值分析時，需要分別或同時在角域和頻域上求解感應(yīng)電流的分布矩陣方程.應(yīng)用傳統(tǒng)的掃角與掃頻法計算時，必須用非常小的角度和頻率間隔才能獲得精確的計算結(jié)果，從而在整個角域和頻域內(nèi)增加了矩陣方程求解量，大量占用了計算時間和內(nèi)存.因此，在分析寬角和寬帶響應(yīng)時，提高數(shù)值計算方法的效率就更為重要.

傳統(tǒng)的矩量法（Method of Moment，Mo M）［1］是一種有效且高精度的數(shù)值方法，但長期受限于計算機的內(nèi)存，不能在求解電大尺寸問題過程中得到應(yīng)用，使其只能局限于電小尺寸問題的計算.上世紀90年代以來，伴隨著硬件的發(fā)展和各種計算方法的應(yīng)用，各種基于矩量法的快速算法取得很大進步，如模型估計（Model-Based Parameter Estimation，MBPE）［2］、漸近波形估計（Asymptotic Waveform Evaluation，AWE）［3-4］、最佳一致逼近［5］和梅利逼近［6-8］等.文獻［6］給出的一維單變量梅利逼近，精確有效地計算了目標(biāo)RCS的頻率響應(yīng)，但該方法無法得到三維的RCS數(shù)據(jù).文獻［7］將其擴展成二維的外推技術(shù)，即對目標(biāo)RCS的角度和頻率同時進行外推，并快速計算雷達散射截面的空頻二維特性，但二維梅利逼近技術(shù)中的電流未知展開系數(shù)求解過程相對較復(fù)雜.

有理逼近的降維展開法［9-10］廣泛應(yīng)用于橋梁建造、工程設(shè)計中，其原理通過基于GGO公式［11］，提出利用一元函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的疊加實現(xiàn)二元函數(shù)的平滑逼近.文獻［12］將基于Mo M的AWE技術(shù)結(jié)合降維展開技術(shù)，實現(xiàn)了頻域和角域外推.筆者將基于Mo M的梅利逼近方法結(jié)合降維展開技術(shù)，分別在角域和頻域內(nèi)進行計算，分析目標(biāo)在載體平臺上的寬帶特性.然后通過坐標(biāo)的變換，計算出在給定的頻帶中切比雪夫節(jié)點，并應(yīng)用Mo M計算獲得節(jié)點處的表面電流，再用梅利逼近技術(shù)快速計算出給定頻帶內(nèi)任意頻點上的表面電流，從而完成寬帶目標(biāo)的快速掃角和掃頻.計算結(jié)果表明，在保證精度的前提下，該技術(shù)使計算效率得到了明顯的提高.

1 基本理論

1.1矩量法理論概述

眾所周知，可用以下電場積分方程（Electric Field Integral Equation，EFIE）表示目標(biāo)的電磁散射問題:

其中，S為目標(biāo)的表面.JS（r）為目標(biāo)表面上分布的待求解感應(yīng)電流；Et（r）為已知的入射波電場；L｛·｝為線性微積分算子.

其中，ω和μ0分別是角頻率和磁導(dǎo)率；k=2πλ，是自由空間波數(shù)；G（r）為格林函數(shù).

用矩量法把式（1）化為矩陣方程進行求解:

其中，θ和f分別表示入射波的角度和頻率；對于非周期的目標(biāo)結(jié)構(gòu)，矩陣Z（f）是復(fù)稠密的，與f有關(guān)；V（f，θ）是激勵矢量，與θ和f都有關(guān)；I（f，θ）是目標(biāo)表面待求解的感應(yīng)電流矢量，與θ和f都有關(guān).因此，RCS與θ和f都有關(guān)，若用傳統(tǒng)矩量法計算，需要在角域［θmin，θmax］和頻域［fmin，fmax］上逐點掃描，并重復(fù)求解式（3），這將占用大量計算機內(nèi)存，且產(chǎn)生巨大的計算量.

1.2有理逼近的降維展開法

有理逼近的降維展開技術(shù)，其原理通過基于GGO公式，針對目標(biāo)表面電流中角度與頻率的二元函數(shù)進行降維處理，利用一元函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的疊加實現(xiàn)二元函數(shù)的平滑逼近.它的優(yōu)點是只需對頻率和角度分別進行計算，對比現(xiàn)有的二維梅利逼近技術(shù)，減少需要對頻率和角度同時求解的計算量.

假設(shè)函數(shù)I（X）=I（x1，x2，…，xn） 在Ω上連續(xù)可微，一般形式的GGO公式為

其中，d S是曲面Sn-1的面積元素；?xn?Ω表示變量xn對曲面的外法向量的方向?qū)?shù).

其中，最后一項ρn表示余項.其表達式如下:

將式（9）代入式（7）和式（8），可得

其中，

式（10）中，余項ρn可以表示成

于是由式（10），可得以下展開式:

1.3梅利逼近

分析目標(biāo)的寬帶特性，有理梅利逼近的具體步驟如下:

步驟1 對于給定x∈［xa，xb］，變換坐標(biāo)得

由此，可在［xa，xb］中確定nl個切比雪夫節(jié)點，其表達式為

步驟3 由切比雪夫逼近可得目標(biāo)的表面電流系數(shù)I1（x），表達式為

其中，nl為截斷階數(shù) ，

步驟4 用梅利有理展開替代切比雪夫多項式，可以提高計算精度.電流系數(shù)I1（x）重寫為

，可得未知系數(shù)ai（i=0，1，…，L）和bj（j=0，1，…，M）如下:

其中，

當(dāng)有理函數(shù)系數(shù)ai和bj被確定，再將其代入式（25），即可求出給定頻域分布中任意頻點的電流密度，然后分析目標(biāo)寬帶的散射特性.

2 數(shù)值結(jié)果與分析

應(yīng)用該方法分析任意形狀導(dǎo)體目標(biāo)的RCS，并在給定角域和頻帶范圍內(nèi)實現(xiàn)快速掃描.為驗證該方法的準(zhǔn)確性和高效性，文中給出了兩個算例的數(shù)值結(jié)果.所有算例都在主頻為3.0 GHz的個人電腦上完成，文中所有算法均采用Fortran語言編程實現(xiàn).

考慮立方體和錐體的組合體a，立方體的尺寸為0.5 m×0.5 m×0.5 m，錐體的高為0.4 m，整個模型剖面為2 002個三角形，總未知量為3 003個.采用文中提出的降維階數(shù)N=8和梅利逼近（L=7，M=7）結(jié)合Mo M分析組合體隨頻率f和入射角度θ同時變化的情況.考察組合體在?=0°時隨頻率f（500～700 MHz）和入射角度θ（-90°～+90°）變化的二維散射特性，頻率間隔為5 MHz，角度間隔為3°，計算單站RCS的三維圖，如圖1所示.將θ=45°時的結(jié)果與Mo M逐點計算結(jié)果進行比較，頻率間隔為5 MHz，二者吻合良好，如圖2所示.

圖1　組合體a的單站RCS的三維圖形

圖2　組合體a單站RCS隨頻率f的變化情況

圖3　組合體b的單站RCS的三維圖形

圖4　組合體b單站RCS隨角度θ的變化情況

考慮半球和圓錐體的組合體b，半球的半徑為0.6 m，圓錐體的高為0.6 m.整個模型剖面為2 218個三角形，總未知量為3 327個.采用文中提出的降維階數(shù)N=8和梅利逼近（L=7，M=7）結(jié)合Mo M分析組合體隨頻率f和入射角度θ同時變化的情況.考察組合體在?=0°時隨頻率f（300～500 MHz）和入射角度θ（-90°～+90°）變化的二維散射特性，頻率間隔為5 MHz，角度間隔為3°，計算單站RCS的三維圖，如圖3所示.將f=400 M Hz時的結(jié)果與Mo M逐點計算結(jié)果進行比較，角度間隔為3°，二者吻合良好，如圖4所示.

圖5給出了組合體a和組合體b的余項隨著降維階數(shù)N的變化情況.當(dāng)N≥8時，余項δN的誤差在0.15 d B以下.表1給出了組合體a和組合體b中不同方法的計算內(nèi)存和效率對比.

圖5　組合體的余項隨著降維階數(shù)N的變化情況

表1　組合體a和組合體b中不同方法的計算性能對比

3 結(jié) 論

當(dāng)不同頻率和角度入射時，Mo M結(jié)合降維展開技術(shù)和梅利逼近法與Mo M逐點計算結(jié)果吻合良好，使計算效率得到有效的提高，較之傳統(tǒng)Mo M的計算時間和內(nèi)存需求上有明顯優(yōu)勢.數(shù)值結(jié)果表明了該方法的有效性.文中采用的有理逼近的降維技術(shù)將目標(biāo)表面電流關(guān)于頻率與角度的二元函數(shù)化為一元函數(shù)的疊加，以及梅利逼近技術(shù)快速獲取關(guān)于角度或頻率的一元函數(shù)的目標(biāo)表面電流，從而有效地避免傳統(tǒng)方法在角域和頻域上對矩陣方程的逐點重復(fù)求解，計算效率得到了極大提升.因此，矩量法結(jié)合有理逼近的降維展開法和梅利逼近方法分析目標(biāo)在載體平臺上的散射特性，在實際工程應(yīng)用中有一定的指導(dǎo)意義.

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（編輯:李恩科）

Fast analysis of wide-band scattering from radar targets using the GGO method

CHEN Wenfeng1，2，GONG Shuxi1，DONG Hailin1，ZHANG Pengfei1，ZH AO Bo1
（1.Science and Technology on Antenna and Microwave Lab.，Xidian Univ.，Xi’an 710071，China；2.No.36 Research Institute of CETC，Jiaxing 314033，China）

The dimensions reducing technique combined with the Maehly approximation is applied to the Method of Moment（Mo M）for analysis of the two-dimensional radar cross section（RCS）of the target. The Gauss-Green-Ostrogradsky（GGO）algorithm is utilized to transform the two-dimensional expression for the surface currents in both spatial and frequency domains to one dimension and its derivatives.This procedure avoids the solution of expansion coefficients in the two-dimensional expression and makes the accuracy adjustable by the order of derivatives.Compared with the two-dimensional Maehly approximation method，the proposed scheme can acquire RCS data efficiently with good accuracy and reduce procedural complexity.Finally，numerical results show that memory requirement and calculation time are about 1/6 and 1/3 of what are needed in the original method.

method of moment；radar cross section；Maehly approximation；reduced dimensions technique

TN802.1

A

1001-2400（2016）01-0060-06

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.01.011

2014-08-12 網(wǎng)絡(luò)出版時間：2015-04-14

國家自然科學(xué)基金資助項目（61201023）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助項目（K5051302021）

陳文鋒（1982-），男，西安電子科技大學(xué)博士研究生，E-mail:laker-cwf@163.com.

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20150414.2046.008.html