周洪濤

濰坊廣文中學(xué)在前期嘗試的基礎(chǔ)上對數(shù)學(xué)教材進行了二次開發(fā)。如編寫《初中數(shù)學(xué)經(jīng)典教學(xué)設(shè)計》，突破學(xué)生學(xué)習(xí)難點；編寫《典型例習(xí)題集》，減輕學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)；編寫《初中常見數(shù)學(xué)思想與方法》，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維等。數(shù)學(xué)教學(xué)不再是教教材，而是把教材內(nèi)容經(jīng)過二次開發(fā)后，每節(jié)課以“學(xué)生學(xué)習(xí)活動案”的形式呈現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力大為增強，學(xué)習(xí)興趣顯著提高，但即便這樣，學(xué)校也始終沒有解決好“為每個學(xué)生提供適合的教育”這一問題。

從知識儲備上看，學(xué)生水平參差不齊，一本教材顯然不可能適合每一個學(xué)生。從認(rèn)知方式上看，學(xué)生也是千差萬別的：有的學(xué)生喜歡聽教師詳細(xì)講解；有的學(xué)生喜歡自學(xué)后與同學(xué)交流或請教教師；有的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)很好，適合框架學(xué)習(xí)、整體推進；而有的學(xué)生適合學(xué)一點，鞏固一點，最后才能構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)。學(xué)生的這種個性化學(xué)習(xí)需求，促使我們開發(fā)數(shù)學(xué)分層教材。從本質(zhì)上講，我們開發(fā)的應(yīng)該是“學(xué)材”。

有這種想法后，我們也在冷靜思考：我們有能力開發(fā)數(shù)學(xué)校本教材嗎？回顧學(xué)科組全體數(shù)學(xué)教師近十年來的努力與探索，實際上我們已開發(fā)了大量校本教材，有了一些積累與沉淀，我們下決心要嘗試。

一、從教教材到“學(xué)材”

“學(xué)材”的主要使用者是學(xué)生，我們必須從“方便學(xué)生使用”的角度思考教材編寫的所有問題，當(dāng)然也要兼顧學(xué)科體系的科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，做到詳略得當(dāng)。由此，我們將“符合學(xué)生認(rèn)知水平，遵循學(xué)科固有規(guī)律，有利于學(xué)生思維發(fā)展，追求最佳使用體驗”作為課程開發(fā)的指導(dǎo)思想。國家課程標(biāo)準(zhǔn)是編寫學(xué)材的依據(jù)與參考，但國家課程標(biāo)準(zhǔn)的描述太過簡潔，要求過于宏觀而籠統(tǒng)，難以具體、明晰地指導(dǎo)教材編寫。因此，我們工作的第一步是進行國家課程標(biāo)準(zhǔn)的詳細(xì)解讀，把每個人的理解變成編寫者的共同認(rèn)知，把籠統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)具體分析拆解，將國家課程標(biāo)準(zhǔn)具體解讀為“國家課程標(biāo)準(zhǔn)細(xì)目標(biāo)”。

比如，在《分式》這一章，課標(biāo)有“了解分式的概念”這一宏觀要求，我們把它拆解為如下4個具體細(xì)目標(biāo)：

①會判斷一個有理式是否是分式。②會對有理式進行分類，能說出有理式、整式、分式、單項式、多項式之間的關(guān)系。③會將給定字母的值代入分式進行計算求分式的值。④掌握分式有意義、無意義、值為零的條件，并能據(jù)此確定分式中字母的值或范圍。經(jīng)過如此拆解后，教師與學(xué)生就能非常精準(zhǔn)地把握課標(biāo)要求。為更加形象地表達課標(biāo)要求，我們在拆解后的每一目標(biāo)后附以典型案例進行說明，同時在典型案例后繼續(xù)附加“達標(biāo)示例”，用以檢驗?zāi)繕?biāo)達成與否。為了方便學(xué)生學(xué)習(xí)與教師教學(xué)，我們還針對具體目標(biāo)給出銜接點、切入點、易錯點等學(xué)習(xí)建議或教學(xué)建議。

在一次又一次反復(fù)研討解讀中，“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)細(xì)目標(biāo)”順利完成，它既是教師編寫數(shù)學(xué)校本教材—《數(shù)學(xué)讀本》的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)，也是編寫學(xué)生《習(xí)題訓(xùn)練知多少》的依據(jù)。在此基礎(chǔ)上編寫出的《數(shù)學(xué)讀本》與課標(biāo)高度吻合，選用的練習(xí)題層次合理、精簡典型、分類清晰而不疏漏，把學(xué)生從題海中解放了出來，減輕了他們的負(fù)擔(dān)。

二、從大一統(tǒng)到分層

《數(shù)學(xué)讀本》是學(xué)生起始學(xué)習(xí)最重要的載體，為了滿足不同需求的學(xué)生，我們把《數(shù)學(xué)讀本》分為三個層次。最底層步子小、難度低、重基礎(chǔ)，適合基礎(chǔ)弱、自控力差、思維水平較低的學(xué)生；中間層內(nèi)容適當(dāng)整合、難度適中、節(jié)奏平緩，適合基礎(chǔ)較好、有一定自主學(xué)習(xí)能力、思維水平中等的學(xué)生；最高層內(nèi)容整合較多、知識跨度大、節(jié)奏快、拓展多，適合熱愛數(shù)學(xué)、思維敏捷、具有很強自學(xué)能力的學(xué)生。為保證讀本編寫的科學(xué)準(zhǔn)確，參與教材編寫的教師參考了各種版本數(shù)學(xué)教材，大量征求教師與專家意見，調(diào)查所有在校學(xué)生與往屆離校學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感受，同時結(jié)合我校數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中積累的經(jīng)驗，最終確定了相對科學(xué)的教材結(jié)構(gòu)框架。包括教材的編寫原則、編寫建議、編寫及審核流程、編寫使用工具、章節(jié)課時編排順序、教材使用評價等，使教材編寫有據(jù)可依。三個層次使用同一結(jié)構(gòu)框架，并且先進行中間層數(shù)學(xué)讀本的編寫，在此基礎(chǔ)上確定最高層和最低層讀本內(nèi)容。在對各版本教材的研究中，我們發(fā)現(xiàn)，不同教材對同一知識的描述有時完全相同，有時各不相同。這啟發(fā)我們：對于數(shù)學(xué)這門學(xué)科來說，有些知識點必然有適合所有學(xué)生的最科學(xué)合理的呈現(xiàn)方式，此時就可以不用區(qū)分，否則，就需要對同一知識點進行不同處理，以適應(yīng)不同層次學(xué)生需要。為此，我們特別強調(diào)如下兩點。

首先，分層不是對學(xué)生的要求進行分層，而是為了達到同一目標(biāo)把學(xué)習(xí)路徑分層。不管如何分層，我們有一把共同的尺子，就是國家課程標(biāo)準(zhǔn)。其次，不要為了分層而分層，如果針對某一知識點，能找到適合所有層次學(xué)生的最好呈現(xiàn)方式，此時就可以不分層。比如，對于統(tǒng)計學(xué)這一知識模塊，相對簡單易懂，分層就毫無必要了。我們主要在以下三個方面進行分層。

第一，針對不同水平的學(xué)生，有些知識不好理解，我們就需要在知識的呈現(xiàn)方式上進行分層。比如對于“整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)”這一概念，有的教材沒有解釋清楚小數(shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，就需要分層。第二，對例題、習(xí)題的數(shù)量、難易程度、層次順序進行分層。比如針對最低層學(xué)生思維水平略低的特點，選擇的例題、習(xí)題綜合性要低一點。而針對高層學(xué)生，我們會盡量安排開放性例題，增加學(xué)生數(shù)學(xué)探究的機會，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維能力。第三，在知識的整合、拓展、延伸、補充上分層。對于低層學(xué)生，知識的構(gòu)建一般是由部分到整體，需要學(xué)生在對部分充分理解的基礎(chǔ)上，進行知識的整體構(gòu)建；而高層學(xué)生適合在聯(lián)系與對比中學(xué)習(xí)，所以，高層教材需要進行相對多的知識整合。例如，學(xué)習(xí)特殊平行四邊形的性質(zhì)時，把矩形、菱形、正方形的性質(zhì)放在同一課時中處理，學(xué)生在求同存異的過程中，會對矩形、菱形、正方形的性質(zhì)有更深刻的體會?？傊?，各層次教材之間“和而不同”。所謂“和”，是指對所有學(xué)生來說，都必須掌握基本的數(shù)學(xué)概念、方法、原理。所謂“不同”，是指各層次教材必然有些內(nèi)容是不同的，比如在知識應(yīng)用、知識拓展延伸、知識描述方式、習(xí)題難度及數(shù)量等方面加以區(qū)別。

三、從讀本到系列叢書

《數(shù)學(xué)讀本》作為新授課的依托，重點體現(xiàn)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的學(xué)科本質(zhì)。但數(shù)學(xué)必須有適量的練習(xí)，這樣，配套例題練習(xí)便同步開發(fā)出來?！稊?shù)學(xué)讀本》中的練習(xí)追求適量，重在精選，以熟悉新學(xué)知識、構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)為主，知識的應(yīng)用以直接應(yīng)用為主，尤其注意不要把讀本變成習(xí)題集。為了提高綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力，我們又開發(fā)了《習(xí)題訓(xùn)練知多少》，方便學(xué)生章末或者學(xué)期末綜合復(fù)習(xí)時使用。為了培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，我們開發(fā)了《初中數(shù)學(xué)思想與方法》，推動學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展。這一系列叢書致力于追求學(xué)生的最佳使用體驗，適合學(xué)生自學(xué)時閱讀與自修時練習(xí)。叢書主要突出了如下特點。

1.注重程序性知識

教材中所有計算步驟均作了程序化處理，所有算式均采用結(jié)構(gòu)劃分的處理方式，大幅度提升了學(xué)生計算能力。比如，有理數(shù)的加法運算的程序可歸納為：第一，確定加法運算的類型；第二，確定結(jié)果的符號；第三，確定結(jié)果的絕對值（絕對值相加還是相減）。

再比如，為了把復(fù)雜的整式加減算式進行分解，我們采取利用豎線把算式劃分為三個括號的和的形式，有利于從整體把握算式結(jié)構(gòu)。教材中大量類似的結(jié)構(gòu)劃分也讓教師對學(xué)生的具體審題要求具有可操作性，讓學(xué)生的認(rèn)真審題真正落到實處。

2.內(nèi)容適度整合、拆分

我們在瀏覽各版本教材后，發(fā)現(xiàn)教材順序編排主要參考三種結(jié)構(gòu)：模塊結(jié)構(gòu)、串式結(jié)構(gòu)（從一個知識點出發(fā)，引出其他相關(guān)知識）、螺旋式結(jié)構(gòu)。在認(rèn)真比較思考后，我校教材確定了以模塊結(jié)構(gòu)為主、螺旋式結(jié)構(gòu)為輔的編寫原則。比如除法法則，小學(xué)只涉及正數(shù)與0，初中數(shù)系擴展到了有理數(shù)，我們就要在小學(xué)除法法則的基礎(chǔ)上打補丁，把負(fù)數(shù)也納入小學(xué)的除法法則體系中。而直角三角形全等的判定，采取后來“打補丁”的方式就不科學(xué)，因為一般三角形與直角三角形僅僅是一般與特殊的關(guān)系，這兒沒有數(shù)學(xué)體系的發(fā)展、延伸問題，應(yīng)該作為一個模塊進行學(xué)習(xí)，“打補丁”就不利于學(xué)生構(gòu)建三角形全等的知識網(wǎng)絡(luò)，所以我校教材就把三角形（包括直角三角形）的全等整合為一章進行編寫。當(dāng)然，有時候我們也要考慮不同年齡階段學(xué)生認(rèn)知特點對教材編排順序的影響，比如多數(shù)教材把因式分解與整式的乘法整合在一起，確實有利于學(xué)生的整體系統(tǒng)認(rèn)知，但學(xué)生由于年齡原因達不到我們期望的認(rèn)知水平，有拔苗助長之嫌。所以，從學(xué)生認(rèn)知水平角度考慮，把兩者安排在初一下學(xué)期與初二上學(xué)期分別處理。再比如，一元二次方程的解法有四種，所有教材都把“因式分解法”這種解一元二次方程的方法放在四種方法的最后，然而從學(xué)生認(rèn)知沖突的角度考慮，我們把因式分解法作為第一種方法編寫，后面的方法都是因為用“因式分解法”解決不了而必然出現(xiàn)的。

3.力求簡潔易懂

簡潔是我們編寫教材時孜孜以求的目標(biāo)。比如，在編寫“有理數(shù)的減法”時，我們需要把減法轉(zhuǎn)化為加法處理，而后一課時“有理數(shù)的加減法”，需要把“加減混合運算”看成“省略加號與括號的和”的形式，也就是“-”不再被看作減號，而是負(fù)號。為了避免“減法運算”對“加減混合運算”的負(fù)遷移影響，我們在編寫時把“有理數(shù)的減法”弱化，并直接與“有理數(shù)的加減法”并入同一課時，時間節(jié)省了，效果反而更好。再比如，對于“去括號”這一知識點，其本質(zhì)是“乘法分配律”，所以我們在“乘法分配律”這一認(rèn)知基礎(chǔ)上描述“去括號”會更簡潔易懂，也能體現(xiàn)學(xué)科內(nèi)在本質(zhì)統(tǒng)一。

4.常見數(shù)學(xué)結(jié)論“模型化”處理

數(shù)學(xué)也需要記憶，大腦解決問題時，多數(shù)情況下是在搜索可利用的模型。為了讓學(xué)生學(xué)起來更輕松，我們歸納了常見數(shù)學(xué)模型以供學(xué)生理解后識記應(yīng)用。比如，所有涉及幾何圖形的編寫，均可歸納出常見幾何模型，提高了學(xué)生的圖形分離能力。學(xué)習(xí)“線段的和差關(guān)系”時，我們歸納了如下兩個基本模型：

模型一：圖中三條線段AC、AB、BC（C不是中點），可知二求一。

模型二：圖中三條線段AC、AB、BC（C是中點），可知一求二。

所有利用線段和差關(guān)系求線段的問題都是上述兩個模型的組合，模型歸納出來，有利于學(xué)生從復(fù)雜問題中識別出基本模型而使問題簡化。

5.編排符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律

教材的編排必須考慮學(xué)生的年齡特征及認(rèn)知特點，使整個結(jié)構(gòu)體系符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。具體編寫時必須從細(xì)節(jié)入手，體現(xiàn)由淺入深、由易到難、由特殊到一般、由直觀到抽象，注重內(nèi)在邏輯，注重激發(fā)思維。比如，所有數(shù)學(xué)知識都涉及一般情況與特殊情況，必然要在“由特殊到一般”與“由一般到特殊”兩種認(rèn)知方式之間做選擇，以便學(xué)生獲得最佳體驗。教材中函數(shù)的學(xué)習(xí)遵循“由特殊到一般”的規(guī)律，而圖形的學(xué)習(xí)則遵循“由一般到特殊”的規(guī)律。我們依據(jù)自己的教學(xué)實踐經(jīng)驗，參考不同版本教材的處理方式，確定了每個知識點的科學(xué)合理的認(rèn)知方式。例如，對于三元一次方程組的解法，我們確定先處理最一般的（三個方程均為三元一次方程），再處理特殊的（三個方程中有一個是二元一次方程），如果反過來處理，就容易先入為主，使學(xué)生產(chǎn)生思維定勢。

正是因為有心系學(xué)生的換位思考，數(shù)學(xué)校本課程系列叢書一出爐便得到了學(xué)生的歡迎與家長認(rèn)同。學(xué)生說，“原來的教材總是讀不大懂，現(xiàn)在的教材簡潔易懂，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得輕松多了！”。家長說，“原來的教材更多關(guān)注教師的教，而校編學(xué)生用書真正關(guān)注了學(xué)生的學(xué)！”。

（作者單位：山東省濰坊廣文中學(xué)）

責(zé)任編輯：趙彩俠

zhaocx@163.com