李永立， 吳　沖， 張曉飛

(1. 東北大學(xué)工商管理學(xué)院， 沈陽 110169； 2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院， 哈爾濱 150001)

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考慮網(wǎng)絡(luò)交互影響效應(yīng)的評(píng)價(jià)者權(quán)重分配方法①

李永立1， 吳沖2， 張曉飛2

(1. 東北大學(xué)工商管理學(xué)院， 沈陽 110169； 2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院， 哈爾濱 150001)

確定評(píng)價(jià)者的權(quán)重是評(píng)價(jià)理論與方法重要的一步. 提出了基于網(wǎng)絡(luò)博弈框架的新的評(píng)價(jià)者權(quán)重分配方法，并就解和參數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行了詳盡的討論與驗(yàn)證. 將評(píng)價(jià)者視為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，評(píng)價(jià)者的評(píng)價(jià)行為形成評(píng)價(jià)者之間的聯(lián)系，構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)的邊，根據(jù)評(píng)價(jià)者的評(píng)分信息定義他們之間的“合作”和“沖突”矩陣構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重矩陣，建立了網(wǎng)絡(luò)博弈的模型，其最優(yōu)解即為權(quán)重值. 給出了模型最優(yōu)解的求解方法，并證明了該最優(yōu)解是Nash均衡的內(nèi)點(diǎn)解，并且是這一問題唯一的Nash均衡解. 分析了最優(yōu)解與網(wǎng)絡(luò)中心性測(cè)度之間的聯(lián)系，較為本質(zhì)地分析了最優(yōu)解在網(wǎng)絡(luò)科學(xué)中的含義，將決策理論與網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的知識(shí)關(guān)聯(lián)起來. 通過數(shù)學(xué)證明和仿真分析，揭示了模型中參數(shù)的含義，其對(duì)于解的“保序性”和“穩(wěn)定性”兩個(gè)優(yōu)良性質(zhì)是此消彼長的關(guān)系，提出了根據(jù)數(shù)據(jù)集特征選擇參數(shù)值的相機(jī)抉擇的管理思想；并在真實(shí)的數(shù)據(jù)集上進(jìn)一步做模型的應(yīng)用分析. 本文提出的考慮網(wǎng)絡(luò)交互影響效應(yīng)的權(quán)重分配方法具有實(shí)用性，能夠平衡解“保序性”和“穩(wěn)定性”兩個(gè)良好屬性，具有理論意義和實(shí)踐價(jià)值.

評(píng)價(jià)理論與方法; 優(yōu)化模型； 網(wǎng)絡(luò)分析； 交互效應(yīng)； 網(wǎng)絡(luò)博弈； 權(quán)重分配； 仿真

0　引　言

評(píng)價(jià)理論與方法的研究是管理科學(xué)與工程領(lǐng)域重要的研究分支，其聯(lián)系著理論模型的構(gòu)建[1-3]，豐富決策理論與方法的知識(shí)體系，同時(shí)涉及廣泛的應(yīng)用，是管理實(shí)踐工作中較為廣泛采用的管理方法之一[4-6]. 注意到評(píng)價(jià)結(jié)果直接受到評(píng)價(jià)者或決策者權(quán)重的影響，其反映了各個(gè)評(píng)價(jià)者和決策者的重要性程度，關(guān)系到評(píng)價(jià)結(jié)果的可靠性和可信性，因此，評(píng)價(jià)者的權(quán)重分配問題是管理決策和評(píng)價(jià)過程一個(gè)重要的環(huán)節(jié)，本文集中分析這一問題，擬提出一個(gè)具有良好性質(zhì)的評(píng)價(jià)者權(quán)重分配方法，擴(kuò)展領(lǐng)域知識(shí)，豐富管理實(shí)踐.

確定評(píng)價(jià)者的權(quán)重問題一直被相關(guān)領(lǐng)域的學(xué)者所關(guān)注，按照年代順序，這一領(lǐng)域的研究工作有如下文獻(xiàn)：French[7]利用圖論處理決策成員之間的相互影響關(guān)系，由這一影響關(guān)系確定廣告成員的重要性；Bodily[8]利用除去某成員之外的決策群體投票的方法來獲取該決策者的權(quán)重；Mirkin等[9]將特征向量引入決策者權(quán)重確定中，建立了基于向量的權(quán)重分配方法；Brock[10]利用納什談判的方法來估計(jì)一項(xiàng)群體決策中各個(gè)決策者的權(quán)重；Ramanathan和Ganesh[11]在決策群成員主觀意見的基礎(chǔ)上，利用特征向量進(jìn)行處理，從而求得各個(gè)成員的權(quán)重；宋光興和鄒平[12]分別給出了AHP判斷矩陣和排序向量下的決策者客觀權(quán)重確定方法，并提出由主觀權(quán)重和客觀權(quán)重結(jié)合確定最終權(quán)重的方法；Honert[13]將層次分析法和Smart模型相結(jié)合，形成了REMBRADT決策者賦權(quán)系統(tǒng)；徐澤水和達(dá)慶利[14]在兼顧主觀權(quán)重信息和客觀權(quán)重信息的基礎(chǔ)上，利用線性目標(biāo)規(guī)劃建立了多屬性決策組合賦權(quán)方法，以及Xu[15]利用多種類型的語言偏好關(guān)系來決定決策者權(quán)重；Yue[16]在TOPSIS方法的基礎(chǔ)上解決多屬性群決策問題時(shí)，利用個(gè)人決策和理想決策之間的歐幾里德距離來決定決策者之間的權(quán)重分配問題，以及Yue和Jia[17]利用一個(gè)擴(kuò)展的TOPSIS方法解決區(qū)間值直覺模糊環(huán)境下的決策者權(quán)重分配. 縱觀以上文獻(xiàn)，可以發(fā)現(xiàn)以上的權(quán)重確定方法并沒有考慮網(wǎng)絡(luò)的交互影響效應(yīng)，也鮮有文獻(xiàn)從網(wǎng)絡(luò)博弈的角度確定評(píng)價(jià)者的權(quán)重，本文將從這些思考點(diǎn)出發(fā)，提出新的權(quán)重確定方法，并通過數(shù)學(xué)證明和仿真分析的技術(shù)手段，論證本文提出新方法的有利特征；特別是本文重點(diǎn)分析了模型的假設(shè)，指出了新發(fā)法的適用范圍. 從學(xué)科體系上說，本文的方法和以上文獻(xiàn)同屬于一個(gè)學(xué)科領(lǐng)域，是相互補(bǔ)充的關(guān)系；從發(fā)展的角度看，本文的方法也是以上方法的發(fā)展和有利補(bǔ)充，并進(jìn)行了較為完整地論證，而不是僅僅局限于個(gè)別算例的分析.

由此，本文的主要工作及貢獻(xiàn)如下：1)將評(píng)價(jià)者(決策者)的權(quán)重分配問題視為一個(gè)網(wǎng)絡(luò)博弈問題，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)模型考慮了評(píng)價(jià)者之間的相互影響效應(yīng)：也即“合作”與“沖突”的關(guān)系，建立了描述該網(wǎng)絡(luò)博弈問題的最優(yōu)化模型；2)討論了模型最優(yōu)解的相關(guān)性質(zhì)，并將其與網(wǎng)絡(luò)中心性測(cè)度的理論統(tǒng)一起來，挖掘了該決策問題與網(wǎng)絡(luò)中心性測(cè)度的內(nèi)在聯(lián)系；3)證明了基于模型的最優(yōu)解是Nash均衡的內(nèi)點(diǎn)解，并且是這一問題唯一的Nash均衡解；4)給出了模型參數(shù)的取值范圍，并探索了參數(shù)的不同取值對(duì)最優(yōu)解“保持既有評(píng)價(jià)序”和“當(dāng)存在虛假數(shù)據(jù)時(shí)，解魯棒性”兩個(gè)性質(zhì)的影響關(guān)系問題，顯然一個(gè)優(yōu)良的評(píng)價(jià)結(jié)果應(yīng)當(dāng)具有既能“更多地反映既有評(píng)價(jià)者的評(píng)價(jià)序關(guān)系”，又能“在存在虛假數(shù)據(jù)時(shí)，保持解的穩(wěn)定性”這兩方面的能力；5)在真實(shí)數(shù)據(jù)集上，做了模型的應(yīng)用工作. 為此，本文以下的各節(jié)按照以上“工作及貢獻(xiàn)”呈現(xiàn)的順序逐步展開，并在總結(jié)部分就全文的工作和意義做了一個(gè)更詳盡的表述.

1　模型及其意義

1.1基于網(wǎng)絡(luò)視角的權(quán)重分配模型構(gòu)建

不失一般性，一個(gè)評(píng)價(jià)系統(tǒng)可以抽象為如下的模型：該系統(tǒng)中有n個(gè)評(píng)價(jià)者，他們對(duì)m種商品(或者是服務(wù))中的全部或者部分做出評(píng)分. 當(dāng)?shù)趇個(gè)評(píng)價(jià)者對(duì)第s種商品做出評(píng)分時(shí)，該評(píng)分記為vis，當(dāng)沒有做出評(píng)分時(shí)，記為“—”；其中，i∈{1,2,…,n}，s∈{1,2,…,m}，vis可以為任意實(shí)數(shù)，但一般情況下，vis≥0.示例如表1所示.

表1　評(píng)價(jià)模型的一般性示例

評(píng)價(jià)者的評(píng)價(jià)行為使得他們彼此相互聯(lián)系起來，而不再是孤立的評(píng)價(jià)者個(gè)體，這一思想是建立網(wǎng)絡(luò)模型的著眼點(diǎn). 為了更清楚地說明這一問題，以表1為例，可以發(fā)現(xiàn)評(píng)價(jià)者1和評(píng)價(jià)者2因?yàn)楣餐u(píng)價(jià)了商品1和商品2而聯(lián)系起來. 由于評(píng)價(jià)者的偏好和評(píng)分不同，這些評(píng)價(jià)者之間就存在著“合作”和“沖突”的關(guān)系，這一關(guān)系是建立網(wǎng)絡(luò)博弈模型的著眼點(diǎn). 注意到如果兩個(gè)評(píng)價(jià)者給出的評(píng)價(jià)較為一致，他們?cè)诰W(wǎng)絡(luò)中表現(xiàn)出了更多的“合作”關(guān)系；如果兩個(gè)評(píng)價(jià)者給出的評(píng)價(jià)差別較大，則他們表現(xiàn)出了更多的“沖突”關(guān)系；而這些關(guān)系恰恰是網(wǎng)絡(luò)博弈，分析納什均衡的基礎(chǔ)，通過接下來的效用分析，可以發(fā)現(xiàn)該博弈均衡的結(jié)果決定著網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)評(píng)價(jià)者的權(quán)重分配(也可以理解為“影響力”).

為了刻畫評(píng)價(jià)者之間合作和沖突的關(guān)系，以及量化這一關(guān)系，定義評(píng)價(jià)者之間的關(guān)系強(qiáng)度矩陣為σ=[σij]i,j=1,…,n，其中σij表示評(píng)價(jià)者i和評(píng)價(jià)者j之間的關(guān)系量化值.

由此，綜合兩位評(píng)價(jià)者對(duì)全部商品的評(píng)價(jià)信息，得到

(1)

關(guān)于該定義性質(zhì)和合理性的討論：

性質(zhì)1當(dāng)兩位評(píng)價(jià)者(記為i和j)評(píng)價(jià)了全部的既有商品，并給出一致的評(píng)價(jià)偏好時(shí)，σij=1；如果給出完全相反的評(píng)價(jià)，則σij=-1.

性質(zhì)1給出了關(guān)系強(qiáng)度矩陣的兩個(gè)極端值，反映了完全一致和完全不一致的情況；由此還可以推得-1≤σij≤1.

性質(zhì)2當(dāng)兩位評(píng)價(jià)者評(píng)價(jià)的商品交集為空集時(shí)，σij=0.

證畢.

注意到，性質(zhì)2意味著在構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)中，如果評(píng)價(jià)者之間沒有共同的評(píng)價(jià)商品，他們之間沒有聯(lián)系，是彼此孤立的.

表2　關(guān)系強(qiáng)度矩陣適用于刻畫缺失數(shù)據(jù)的示例

根據(jù)以上的定義，可以算得σ12=1/6和σ23=1/2. 從表中給出的信息，可以發(fā)現(xiàn)三位評(píng)價(jià)者在評(píng)價(jià)了的商品上是有著一致偏好的，但因?yàn)樵u(píng)價(jià)者1有著更多未評(píng)價(jià)的信息，其和評(píng)價(jià)者2之間的關(guān)系強(qiáng)度就小于評(píng)價(jià)者2和評(píng)價(jià)者3之間的關(guān)系強(qiáng)度，注意到評(píng)價(jià)者3給出了全部四種商品的評(píng)價(jià). 由于未評(píng)價(jià)的商品難以判斷偏好，所以以上的結(jié)果是合理的. 如果定義的關(guān)系強(qiáng)度指標(biāo)只考察評(píng)價(jià)了的商品，不考慮未評(píng)價(jià)的商品，則評(píng)價(jià)者1和評(píng)價(jià)者2之間的關(guān)系強(qiáng)度是1，同理，評(píng)價(jià)者2和評(píng)價(jià)者3之間的關(guān)系強(qiáng)度也是1，這顯然不如本文考慮未評(píng)價(jià)商品，給出一個(gè)折中的分?jǐn)?shù)0.5來的合理. 這是本文的定義能夠處理未評(píng)價(jià)商品(也即存在缺失數(shù)據(jù))合理性的體現(xiàn).

在以上著眼點(diǎn)和關(guān)系矩陣定義的基礎(chǔ)上，由評(píng)價(jià)行為構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)模型是明確的：評(píng)價(jià)者{1,…,n}構(gòu)成了網(wǎng)絡(luò)中的點(diǎn)，由評(píng)價(jià)信息得到的評(píng)價(jià)者之間的關(guān)系矩陣σ=[σij]i,j=1,…,n構(gòu)成了網(wǎng)絡(luò)的邊及其權(quán)重，特別當(dāng)權(quán)重為0時(shí)，意味著邊是不存在的. 根據(jù)關(guān)系矩陣的定義及性質(zhì)，可以發(fā)現(xiàn)該關(guān)系矩陣反映了評(píng)價(jià)者之間“合作”和“沖突”關(guān)系的大小及強(qiáng)弱. 由此，當(dāng)給定每個(gè)評(píng)價(jià)者的效用函數(shù)時(shí)，該網(wǎng)絡(luò)博弈問題就是明確給定的.

本文給出如下的評(píng)價(jià)者效用函數(shù)

(2)

(3)

從形式上看，這個(gè)最優(yōu)化問題并不復(fù)雜；但是從博弈的觀點(diǎn)看，其是多個(gè)主體參與的靜態(tài)博弈問題，其中博弈的參與人是網(wǎng)絡(luò)中的評(píng)價(jià)者(或稱為節(jié)點(diǎn))，參與人的收益是他們的目標(biāo)函數(shù)并彼此相互影響(注意到本文中每個(gè)參與人都有一個(gè)目標(biāo)函數(shù))，參與人的行動(dòng)集是他們各自的權(quán)重，而博弈的信息則是全體的參與人都相互了解彼此給出的評(píng)價(jià)，這體現(xiàn)在效用函數(shù)的關(guān)系矩陣?yán)? 那么該最優(yōu)化問題的解是不是唯一的Nash均衡點(diǎn)，或者在參數(shù)滿足怎樣的條件下，其為唯一的Nash均衡點(diǎn)？該問題的解與網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)中心性的刻畫指標(biāo)是否有著內(nèi)在的關(guān)聯(lián)，其還將聯(lián)系著關(guān)于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)怎樣的特征指標(biāo)？以及所獲得的權(quán)重對(duì)于得到的最終評(píng)價(jià)結(jié)果將有怎樣的有益效果？本文將在第2和第3部分逐一解答這些問題. 但首先，對(duì)模型的假設(shè)做一個(gè)評(píng)述，這也成為進(jìn)一步分析模型合理性和適用范圍的基礎(chǔ).

1.2關(guān)于模型假設(shè)的評(píng)述

在1.1節(jié)中，指出了模型基于的假設(shè)為“每位評(píng)價(jià)者是理性的評(píng)價(jià)者，其認(rèn)真對(duì)待自己做出的評(píng)價(jià)，并期望該評(píng)價(jià)被廣泛接受，最大化地發(fā)揮其評(píng)價(jià)的價(jià)值”. 事實(shí)上，這個(gè)假設(shè)一定程度上也給出了模型的適用范圍；注意到，經(jīng)?？梢园l(fā)現(xiàn)有一類在線的評(píng)價(jià)者專門故意給出虛假的打分信息，用以抬高對(duì)其有利商品的評(píng)分，打擊與其競爭商品的評(píng)分. 事實(shí)上，這一類評(píng)價(jià)者也符合以上的假設(shè)，其目的就是他的評(píng)價(jià)被廣泛接受，這類評(píng)價(jià)者屬于理性評(píng)價(jià)者的范疇. 但是，有些評(píng)價(jià)者是不嚴(yán)肅的，他們對(duì)自己和他人的評(píng)價(jià)持無所謂的態(tài)度，這類評(píng)價(jià)者不屬于理性評(píng)價(jià)者的范疇，其不符合該模型討論的范圍，如果所分析的數(shù)據(jù)中，有大量這類非理性的評(píng)價(jià)者，該文的模型不適用. 不過對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活中，事實(shí)上有大量非理性評(píng)價(jià)者的評(píng)價(jià)集并不多見，因?yàn)榻^大多數(shù)人對(duì)于在線評(píng)價(jià)，或者自己所從事的評(píng)價(jià)領(lǐng)域的工作還是有其目的性和嚴(yán)謹(jǐn)性的，所以，本文的模型事實(shí)上適用的范圍是廣泛的.

2　模型的解及相關(guān)性質(zhì)

2.1等價(jià)變換與模型求解

為了便于分析該網(wǎng)絡(luò)博弈均衡的情況，并探索最優(yōu)解與網(wǎng)絡(luò)中心性測(cè)度的聯(lián)系，首先對(duì)式(3)最優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)ui(w1,w2,…,wn)中的參數(shù)做一個(gè)等價(jià)變換，如下

(4)

這里的σij即為“定義1”中給出的評(píng)價(jià)者之間的關(guān)系強(qiáng)度矩陣σ=[σij]i,j=1,…,n中的元素，則上式中的γ,λ以及gij(i≠j)都是明確的，可以從σij算出；進(jìn)一步令矩陣δ=[δij]i,j=1,…,n，其中δii=c和δij=σij(i≠j)，則以上的變換寫成矩陣形式為

δ=-β·I-γ·U+λ·G

(5)

其中I是n階的單位矩陣，U是矩陣元素全為1的n×n的矩陣，同時(shí)G=[gij]i,j=1,…,n. 注意到令u=(u1,u2,…,un)T和w=(w1,w2,…,wn)T，則目標(biāo)函數(shù)的矩陣形式為

u=α·w+δ·w=α·w+

(-β·I-γ·U+λ·G)·w

(6)

從式(5)和式(6)可以發(fā)現(xiàn)，事實(shí)上等價(jià)變換的結(jié)果是將原始的矩陣拆分為了幾個(gè)部分. 在求解這個(gè)模型前，關(guān)注矩陣G的性質(zhì)和網(wǎng)絡(luò)Bonacich中心性的定義，其對(duì)于進(jìn)一步分析解的性質(zhì)是導(dǎo)論性的基礎(chǔ).

性質(zhì)4矩陣G中的元素滿足gii=0，且當(dāng)i≠j時(shí)，0≤gij≤1，并且其為對(duì)稱矩陣.

證明由式(4)和式(5)易見，矩陣δ的對(duì)角線元素都為c，其來源于式(5)等號(hào)右邊的前兩項(xiàng)，因此可以算得gii=0，也即矩陣G對(duì)矩陣δ的對(duì)角線沒有貢獻(xiàn)；由γ和λ的定義，可見γ≥0，并且λ≥σij+γ≥0，因此根據(jù)式(4)的第二個(gè)子式有0≤gij≤1. 再則由式(4)中σij=-γ+λgij,(i≠j)的關(guān)系，由于矩陣σ是對(duì)稱的，則矩陣G也為對(duì)稱的.

矩陣G的這個(gè)性質(zhì)使得其滿足了鄰接矩陣的基本條件，是定義Bonacich中心性的基礎(chǔ)，這一點(diǎn)將在本文的2.3節(jié)進(jìn)一步討論.

定義2(網(wǎng)絡(luò)中Bonacich中心性的定義[21])給定一個(gè)網(wǎng)絡(luò)g和它的鄰接矩陣G=[gij]，要求gii=0，并且當(dāng)i≠j時(shí)，0≤gij≤1；給定遞減參數(shù)φ，使得I-φG是可逆并且正定的，則網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的Bonacich中心性構(gòu)成的列向量b(g,φ)=[I-φG]-1·1，其中1是組成元素全為1的列向量.

該網(wǎng)絡(luò)中心性的定義最早由Bonacich提出，是比較常用的中心性測(cè)度指標(biāo)，曾被用于許多討論網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)重要性的應(yīng)用中，一個(gè)較好的綜述可以參見Guimerà等的文獻(xiàn)[22].

引入Langrange乘子l，將式(4)的關(guān)系和式(6)代入約束最優(yōu)化問題式(3)中，可以得到如下定理1所示的結(jié)果.

定理1已知評(píng)價(jià)者之間的關(guān)系強(qiáng)度矩陣σ=[σij]i,j=1,…,n，如果選定合適的β參數(shù)值使得I-(λ/β)·G可逆并且正定，則式(3)最優(yōu)化問題的解為

(7)

其中bi(g,λ/β)是列向量b(g,λ/β)的第i個(gè)元素，b(g,λ/β)是“定義2”給出的以λ/β為遞減參數(shù)的Bonacich中心性列向量. 這時(shí)，Langrange乘子l為

(8)

證明由Langrange乘子法，設(shè)定Langrange乘子為l，則最優(yōu)化問題(3)的一階條件為(α+l)·1+δ·w=0，其中0是組成元素全為0的列向量，將式(5)代入有

(α+l)·1+(-β·I-γ·U+λ·G)·w=0

(9)

也即

根據(jù)Bonacich中心性的定義(也即定義2)，有

(10)

同時(shí)注意到，目標(biāo)函數(shù)關(guān)于w是上凸的，所以以上的解為滿足極大值的最優(yōu)解，再由I-(λ/β)·G可逆并且正定的條件，所有節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的Bonacich中心性是非負(fù)的，也即所有的wi非負(fù)，其滿足式(3)約束條件的第二個(gè)部分，由此以上定理1得證.

定理1給出了最優(yōu)化問題(3)解的形式，如果這個(gè)解是存在的，那么由定理1所示的求解過程，可見其恰恰是該網(wǎng)絡(luò)博弈問題的Nash內(nèi)點(diǎn)均衡解(最優(yōu)解不在邊際上，并且由求導(dǎo)得到的最優(yōu)解滿足Nash均衡解的定義)；但就參數(shù)β的值如何選取才能保證以上的解存在，以及以上的最優(yōu)解是不是Nash均衡的唯一解等問題未做討論，這將在2.2節(jié)中進(jìn)一步分析. 但從以上結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：每個(gè)評(píng)價(jià)者最優(yōu)的權(quán)重分配就是他們各自歸一化了的Bonacich中心性，這個(gè)中心性與參數(shù)β有關(guān)，因?yàn)棣丝蓮脑u(píng)價(jià)者關(guān)系強(qiáng)度矩陣中算出，事實(shí)上反觀式(4)，這個(gè)參數(shù)β是由效用函數(shù)中反映邊際效用遞減規(guī)律的參數(shù)c決定的；而參數(shù)α并不影響最優(yōu)權(quán)重值的分配，因?yàn)樵谑?7)中沒有出現(xiàn)這個(gè)反映邊際收益的參數(shù)α，因此其對(duì)于決定Nash內(nèi)點(diǎn)均衡的存在性和唯一性也是不重要的，在計(jì)算權(quán)重分配時(shí)，這個(gè)參數(shù)是可以不給定的，這是從解的形式得到的分析結(jié)果.

2.2Nash內(nèi)點(diǎn)均衡解的存在性及唯一性

通過以上的定理1，這里Nash內(nèi)點(diǎn)均衡存在性的問題就歸結(jié)為參數(shù)β值的選擇問題，要求合理選定該值其使得I-(λ/β)·G可逆并且正定. 該值的選定范圍由定理2給出.

定理2(Nash均衡內(nèi)點(diǎn)解的存在性定理)矩陣I-(λ/β)·G可逆并且正定，當(dāng)且僅當(dāng)β>λμ1(G)，其中μ1(G)是矩陣G的最大特征根.

證明根據(jù)Debreu和Herstein的定理[23]，矩陣I-a·G可逆并且正定的充要條件是0≤a<1/μ1(G)，這時(shí)有[I-a·G]-1=I+a·G+a2·G2+…. 這類似于一元函數(shù)(1-a·x)-1可展開的條件為a<1/|x|. 由此，將λ/β視為Debreu和Herstein的定理中的a，結(jié)合式(4)，β和λ都非負(fù)的事實(shí)，有定理2成立.

在定理2的基礎(chǔ)上，結(jié)合評(píng)價(jià)者之間的關(guān)系強(qiáng)度矩陣σ的相關(guān)性質(zhì)(定義1及3個(gè)相關(guān)性質(zhì))，則有以下的推論成立，其表述了參數(shù)β取值范圍的一個(gè)普適性的安全區(qū)域，是一個(gè)充分條件.

推論1(參數(shù)β取值范圍的充分條件)當(dāng)β>2·(n-1)時(shí)，對(duì)于任意的關(guān)系強(qiáng)度矩陣σ，都有矩陣I-(λ/β)·G是可逆并且正定的，也即由定理1得到的解是式(3)所示問題的Nash內(nèi)點(diǎn)均衡解.

在推論1的基礎(chǔ)上，事實(shí)上得到了對(duì)于任意強(qiáng)度矩陣σ都安全的β值下界的取值范圍，比如：該下界可取為2·n-1(注意到其只與評(píng)價(jià)者人數(shù)n有關(guān)，與他們之間的關(guān)系強(qiáng)度矩陣無關(guān))，此時(shí)，該網(wǎng)絡(luò)博弈問題的Nash均衡內(nèi)點(diǎn)解必然存在.

以下證明由定理1得到的內(nèi)點(diǎn)解是該問題的唯一Nash均衡解，這由定理3給出.

定理3(內(nèi)點(diǎn)解是唯一的Nash均衡解)在滿足Nash均衡內(nèi)點(diǎn)解存在性的前提下，由定理1得到的最優(yōu)解是該問題唯一的Nash均衡解.

證明只需考察是否存在邊界解滿足Nash均衡條件，因?yàn)樵趦?nèi)點(diǎn)的范圍內(nèi)，以上的內(nèi)點(diǎn)解是唯一的最優(yōu)解，由于從定理1的求解過程中可以發(fā)現(xiàn)其是唯一的最優(yōu)解.

于是，由于最優(yōu)解在邊界達(dá)到，對(duì)于i∈S中的那些評(píng)價(jià)者，其一階導(dǎo)數(shù)滿足：?ui/?wi(w*)≤0，具體求解該一階導(dǎo)數(shù)得到

(11)

而對(duì)于j∈N-S的那些評(píng)價(jià)者，由于其在內(nèi)點(diǎn)，一階導(dǎo)數(shù)滿足：?uj/?wj(w*)=0，即

(12)

結(jié)合式(12)即為

(13)

由定理2和定理3可知通過定理1求得的最優(yōu)解是這個(gè)網(wǎng)絡(luò)博弈問題的Nash均衡內(nèi)點(diǎn)解，并且這個(gè)解是這個(gè)問題唯一的Nash均衡解.

2.3解與網(wǎng)絡(luò)中心性測(cè)度的關(guān)系

在定理1的求解中建立了最優(yōu)解與網(wǎng)絡(luò)Bonacich中心性測(cè)度的關(guān)系，同時(shí)定理2給出了參數(shù)β的取值范圍，本節(jié)將深入分析這一問題，關(guān)注于β→+∞和β→λμ1(G)這兩個(gè)極端值的情況，注意到后者是定理2給出的β取值的合法下界，這由兩個(gè)性質(zhì)給出：

性質(zhì)5當(dāng)β→+∞時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中所有評(píng)價(jià)者有著一致的權(quán)重，即為簡單平均的情形.

證明由定義2，可見

證明根據(jù)本文的性質(zhì)4，由于矩陣G是對(duì)稱矩陣，其滿足以下的分解關(guān)系

當(dāng)β→λμ1(G)時(shí)，可知：1-λβ·μ1(G)→0，從而上式兩邊取極限得到

于是，對(duì)于b(g,λβ)組成元素的有限和，成立

將上式代入式(7)，有

性質(zhì)5和性質(zhì)6給出了β取值極端的情形：其中一個(gè)收斂到了評(píng)價(jià)者權(quán)重相等，即簡單平均的情況；另一個(gè)收斂到了歸一化的主特征向量，而后者恰恰也是網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)中心度的定義，稱為主特征中心度. 由此可見，簡單平均和主特征中心度都是本文得到的最優(yōu)權(quán)重的極端情況，這是理論統(tǒng)一性的一個(gè)體現(xiàn).

3　算例、仿真分析及模型的應(yīng)用

3.1優(yōu)良評(píng)價(jià)結(jié)果的兩個(gè)特征及一個(gè)算例

從以上的方法中可以發(fā)現(xiàn)，模型中只有一個(gè)參數(shù)是需要給定的，用以決定評(píng)價(jià)者的權(quán)重，這個(gè)參數(shù)為β. 那么該參數(shù)決定了評(píng)價(jià)結(jié)果的哪些性質(zhì)呢？為此，首先考慮一個(gè)優(yōu)良的評(píng)價(jià)結(jié)果應(yīng)該有怎樣的特征，在本文中歸納了兩個(gè)特征如下：

特征1(保序性及保序性指標(biāo))一個(gè)優(yōu)良的評(píng)價(jià)結(jié)果應(yīng)該能夠最大程度地反映既有評(píng)價(jià)者的評(píng)價(jià)序關(guān)系(也即：基于評(píng)價(jià)結(jié)果的全部商品的排序應(yīng)該與既有的更多的評(píng)價(jià)者的排序是一致的)，通常該指標(biāo)由Kendall’sTau(簡記為Tau)給出，其定義可以參見Hochbaum的文獻(xiàn)[24]附錄. 注意到評(píng)價(jià)結(jié)果的Tau值越大，說明其保序性越好.

特征2(穩(wěn)定性及穩(wěn)定性指標(biāo))任何數(shù)據(jù)集都包含不可避免的噪聲干擾，這些噪聲可能來自于評(píng)價(jià)者本身的評(píng)價(jià)失誤，也可能來自數(shù)據(jù)收集的過程，也可能是人為特意加入的，比如為了提高自家商品的評(píng)分而不斷人為地引入虛假的好評(píng). 當(dāng)數(shù)據(jù)集存在這些問題時(shí)，一個(gè)好的評(píng)價(jià)方法得到的評(píng)價(jià)結(jié)果應(yīng)該是穩(wěn)定的，也即受這些數(shù)據(jù)的干擾小. 為此，令其基于未加入干擾的數(shù)據(jù)集(記為dataor)的評(píng)價(jià)結(jié)果為ror，加入干擾數(shù)據(jù)的評(píng)價(jià)結(jié)果為rfa，則穩(wěn)定性指標(biāo)Rob定義為

Rob=-|Tau(dataor,ror)-Tau(dataor,rfa)|

(14)

其中m為全部商品的數(shù)量，Tau為“特征1”中定義的保序性指標(biāo). 顯然，以上Rob的值越大越穩(wěn)定，說明加入干擾后，針對(duì)原有數(shù)據(jù)集的保序性指標(biāo)變化較小，這是結(jié)果穩(wěn)定性的體現(xiàn).

為了具體說明以上的兩個(gè)特征，給出算例如下：

表3　說明評(píng)價(jià)結(jié)果兩個(gè)特征的算例

由表3可見：在基于真實(shí)評(píng)價(jià)的保序性分析上，當(dāng)β=5時(shí)，得到的最終評(píng)價(jià)結(jié)果對(duì)于商品m2和m3的排序與原有評(píng)價(jià)者n2和n4是不同的，但是當(dāng)β=1時(shí)，得到的最終評(píng)價(jià)結(jié)果與原有評(píng)價(jià)信息對(duì)于三種商品的排序完全一致，這也證實(shí)了“特征1”指標(biāo)的有效性；再者，在考慮加入干擾時(shí)的穩(wěn)定性時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)β=5時(shí)，排序與原有沒有加入干擾時(shí)是一致的，但當(dāng)β=1時(shí)，這個(gè)排序發(fā)生了變化，由此可見“特征2”的指標(biāo)是合適的.

相對(duì)于既有的權(quán)重方法，在理論上，本文的方法完全從評(píng)價(jià)者給出的評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)出發(fā)，沒有引入主觀的不確定因素，這不同于AHP方法或ANP方法[25]需要引入專家打分的體制，并且相對(duì)于“引言”中列舉的其他方法而言，本文的方法有一個(gè)調(diào)控參數(shù)β，該參數(shù)的引入使得本文的方法更加靈活，可以處理含有虛假數(shù)據(jù)的情形，并能合理控制解的“保序性”，而這一點(diǎn)是其他的既有方法不能做到的；不僅如此，本文的方法可以處理缺失數(shù)據(jù)存在的情形，不需要引入差值、預(yù)估等手段填補(bǔ)缺失數(shù)據(jù)，使得結(jié)果更加客觀，遵從于原始的信息. 在實(shí)踐上，注意到作為本文方法特例的“簡單平均方法”常作為一個(gè)基準(zhǔn)用以比較評(píng)價(jià)方法的好壞[24]，本文中基于表3給出的算例，應(yīng)用“簡單平均值方法”的結(jié)果如表4所示.

對(duì)比表4和表3中的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)“簡單平均方法”相比于β=1的結(jié)果，保序性很差，其與評(píng)價(jià)者n4的評(píng)價(jià)偏好不完全一樣，并且“簡單平均方法”沒有調(diào)控參數(shù)，使得能夠處理的數(shù)據(jù)集非常單一. 根據(jù)2.3節(jié)的論述，“簡單平均方法”的結(jié)果與β取較大值時(shí)的結(jié)果比較接近，這時(shí)將會(huì)導(dǎo)致評(píng)價(jià)結(jié)果的滿意度大打折扣. 通過以上算例和對(duì)比分析，證實(shí)了本文方法的可行性，同時(shí)也發(fā)現(xiàn)隨著參數(shù)β取不同的值，解的“保序性”和“穩(wěn)定性”特征會(huì)發(fā)生變化，以下在3.2節(jié)通過仿真分析探索這個(gè)變化的規(guī)律.

表4　簡單平均方法的結(jié)果

這一部分集中分析當(dāng)參數(shù)值β變化時(shí)，解的兩個(gè)優(yōu)良屬性變化的情況. 不失一般性，設(shè)定商品數(shù)m為20，評(píng)價(jià)者人數(shù)n為30，采用5分評(píng)價(jià)體制，1分最差，5分最好. 首先隨機(jī)生成評(píng)價(jià)者對(duì)商品的打分信息，注意到在現(xiàn)實(shí)生活中，絕大多數(shù)情況下評(píng)價(jià)者不會(huì)對(duì)全部的商品都進(jìn)行評(píng)價(jià)，而只是對(duì)其中的一部分進(jìn)行評(píng)價(jià)，特別是對(duì)于在線購物，商品數(shù)目繁多，每個(gè)評(píng)價(jià)者不可能購買全部的商品并都進(jìn)行評(píng)價(jià)，這里設(shè)定評(píng)價(jià)概率為p，令p從0.4變到1，步長為0.1，考察3.1節(jié)中“特征1”給出的保序性指標(biāo)的值，如表5所示. 注意到表中每個(gè)值是基于該點(diǎn)參數(shù)仿真100次取平均的結(jié)果，這是為了消除個(gè)別隨機(jī)數(shù)據(jù)帶來的嚴(yán)重偏差，獲得一個(gè)較為穩(wěn)健的結(jié)果.

表5　不同的p值條件下各種方法的保序性指標(biāo)值

注：為了便于比較和結(jié)果較為清晰，表中的數(shù)據(jù)為原始數(shù)據(jù)變換的結(jié)果，其公式如下：-ln(-x)，其中x是原始數(shù)據(jù)，該變換保持了單調(diào)性，同時(shí)使得結(jié)果便于縱向比較.

從表5可以發(fā)現(xiàn)：隨著β值的變小，評(píng)價(jià)結(jié)果的保序性變好，并且“簡單平均方法”和“最大特征值中心性方法”是兩個(gè)極端情形，簡單平均方法有著最差的保序性，而最大特征值中心性方法有著最好的保序性，當(dāng)β值較大時(shí)，其結(jié)果接近簡單平均方法，當(dāng)β值較小時(shí)，其結(jié)果接近最大特征值中心性方法，這點(diǎn)也與2.3節(jié)的理論分析相一致.

類似于表3所示的算例，這里認(rèn)為原始生成的m為20，n為30，固定評(píng)價(jià)概率p為0.6的數(shù)據(jù)集是真實(shí)的評(píng)價(jià)，設(shè)定虛假評(píng)價(jià)者n′，從1到15，其對(duì)于標(biāo)號(hào)為1的商品評(píng)5分，標(biāo)號(hào)為2的商品評(píng)1分，成為這樣一個(gè)制造虛假數(shù)據(jù)的評(píng)價(jià)者集合. 由于原始的數(shù)據(jù)是隨機(jī)生成的，所以指定商品1和2有著一般性，同樣每個(gè)點(diǎn)是基于100次仿真取平均的結(jié)果，考察不同的β值對(duì)于結(jié)果穩(wěn)定性(由3.1節(jié)“特征2”給出)的影響，如圖1所示. 該圖表明隨著β值的增加，評(píng)價(jià)結(jié)果的穩(wěn)定性變好；其中，簡單平均方法有著最好的穩(wěn)定性.

圖1不同數(shù)量的虛假評(píng)價(jià)者情形下各種方法的穩(wěn)定性指標(biāo)值

基于以上仿真結(jié)果的發(fā)現(xiàn)：隨著β值的增加，評(píng)價(jià)結(jié)果的保序性變差，但評(píng)價(jià)結(jié)果的穩(wěn)定性變好. 這個(gè)結(jié)論說明了β值的選擇是矛盾統(tǒng)一體，如果這個(gè)值選的過小，雖然在保序的方面結(jié)果是良好的，但是在穩(wěn)定性方面結(jié)果就變的較差，而這個(gè)值選的過大，則恰恰相反. 這一點(diǎn)提示要根據(jù)數(shù)據(jù)的特征去選定β值，如果數(shù)據(jù)本身的質(zhì)量不夠好，里面包含的噪聲干擾和虛假數(shù)據(jù)比較多，這時(shí)可以考慮β值取的大一點(diǎn)，用以獲取比較穩(wěn)定的結(jié)果，而如果數(shù)據(jù)質(zhì)量較好，則β值可以取的小一點(diǎn)，這時(shí)“保序性”是問題的主要矛盾. 由此，可以得到以下啟示性的結(jié)果：β值的選取影響優(yōu)良數(shù)據(jù)的兩個(gè)特征，兩個(gè)特征隨著β值的變化是此消彼長的關(guān)系，因此要根據(jù)數(shù)據(jù)集本身的特點(diǎn)選定合適的β值，如果數(shù)據(jù)質(zhì)量較差，則選擇稍大的β值，如果數(shù)據(jù)質(zhì)量較好，則選擇較小的β值.

3.3模型在“在線電影評(píng)價(jià)”中的應(yīng)用

將本文的模型應(yīng)用于在線電影評(píng)價(jià)的數(shù)據(jù)集，該數(shù)據(jù)集是一個(gè)開放的二手?jǐn)?shù)據(jù)集，其描述了不同的客戶對(duì)于不同電影的打分情況，該數(shù)據(jù)集的網(wǎng)址為www.grouplens.org. 該數(shù)據(jù)集包含了100 000條評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，反映了943位客戶對(duì)于1 682部電影的打分情況，評(píng)分從1分到5分不等，1分最差，5分最好. 將本文的方法直接應(yīng)用于該數(shù)據(jù)集，并與簡單平均和主特征值中心度方法的結(jié)果進(jìn)行對(duì)照，如表6所示. 該表的結(jié)果證實(shí)了仿真分析中的結(jié)論，在“主特征值中心度方法”下，得到了最優(yōu)的“保序性”指標(biāo)，但是如果該數(shù)據(jù)集中有潛在的虛假數(shù)據(jù)，則兼顧“穩(wěn)定性”和“保序性”的評(píng)價(jià)結(jié)果應(yīng)該選擇一個(gè)合適的β值，如果認(rèn)為該數(shù)據(jù)質(zhì)量較好，則選擇較小的β值，比如β=200；如果認(rèn)為該數(shù)據(jù)質(zhì)量不好，則選擇較大的β值，比如β=2 000. 同時(shí)該應(yīng)用分析也證實(shí)了方法在實(shí)踐中的可行性.

表6　在實(shí)際數(shù)據(jù)集基礎(chǔ)上的方法對(duì)比分析結(jié)果表

4　結(jié)束語

在評(píng)價(jià)理論與方法的研究中，如何確定評(píng)價(jià)者或決策者的權(quán)重是一個(gè)重要的問題，因?yàn)槠溆绊懼罱K的評(píng)價(jià)結(jié)果，也影響著結(jié)果的客觀屬性. 本文考慮了評(píng)價(jià)者們通過評(píng)價(jià)行為建立起來的聯(lián)系，在網(wǎng)絡(luò)科學(xué)中，這也被稱為“網(wǎng)絡(luò)交互影響效應(yīng)”. 本文建立了一個(gè)網(wǎng)絡(luò)博弈的模型，將評(píng)價(jià)者視為點(diǎn)，評(píng)價(jià)行為視為邊，邊的權(quán)重由評(píng)價(jià)者評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)的一致性給出，其體現(xiàn)了評(píng)價(jià)者之間“合作”和“沖突”的關(guān)系；由此，在給出效用函數(shù)的基礎(chǔ)上，確定了該博弈問題的最優(yōu)化模型；并就模型的假設(shè)和模型的適用范圍進(jìn)行了討論.

本文基于分解的技巧和Lagrange乘子方法給出了模型的最優(yōu)解，并給出了參數(shù)的取值范圍，證明了參數(shù)在適當(dāng)?shù)娜≈捣秶鷥?nèi)，模型的最優(yōu)解是Nash均衡的內(nèi)點(diǎn)解，并且是這個(gè)問題的唯一Nash均衡解；不僅如此，本文建立了最優(yōu)解和網(wǎng)絡(luò)中心性測(cè)度的聯(lián)系，指出了該問題的最優(yōu)解與歸一化的Bonacich中心性是一致的，并揭示了解的兩個(gè)極限值分別為基于簡單平均方法獲得的評(píng)價(jià)值和基于主特征值中心度方法獲得的評(píng)價(jià)值，解釋了這些方法的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，將簡單平均方法和主特征值中心度方法統(tǒng)一到本文的理論框架中.

本文進(jìn)一步提出了一個(gè)優(yōu)良的評(píng)價(jià)解應(yīng)滿足的兩個(gè)特性：保序性和穩(wěn)定性，前者反映評(píng)價(jià)結(jié)果與既有評(píng)價(jià)者偏好的一致性，后者反映當(dāng)存在干擾數(shù)據(jù)時(shí)，評(píng)價(jià)結(jié)果的魯棒性. 通過算例和仿真分析，探索了模型參數(shù)不同的取值對(duì)兩個(gè)特性的影響規(guī)律，發(fā)現(xiàn)“隨著參數(shù)β值的變化，兩個(gè)特性是此消彼長的關(guān)系，當(dāng)β值增加時(shí)，評(píng)價(jià)結(jié)果的保序性變差，但評(píng)價(jià)結(jié)果的穩(wěn)定性變好”這一規(guī)律，由此建議根據(jù)數(shù)據(jù)集本身的特點(diǎn)選定合適的β值，如果數(shù)據(jù)質(zhì)量較差，則選擇稍大的β值，如果數(shù)據(jù)質(zhì)量較好，則選擇較小的β值，這一相機(jī)抉擇的策略有助于在結(jié)果的兩個(gè)特性中獲得一個(gè)較好的折中. 本文的方法同樣應(yīng)用于一個(gè)在線電影評(píng)價(jià)的真實(shí)數(shù)據(jù)集，體現(xiàn)了模型的實(shí)用性.

就管理實(shí)踐來說，本模型可以直接應(yīng)用在在線商品的綜合評(píng)價(jià)中，給出能夠反映既有評(píng)價(jià)信息的較為綜合的評(píng)價(jià)結(jié)果，完善電子商務(wù)中在線商品的排序與評(píng)價(jià)；也可以應(yīng)用于項(xiàng)目的評(píng)審過程，給出評(píng)審者合理的權(quán)重分配，得到一個(gè)使得全體評(píng)審者滿意度較高的綜合結(jié)果；還可以應(yīng)用于選舉過程，學(xué)科評(píng)估，期刊評(píng)價(jià)等等領(lǐng)域. 不僅如此，由于模型中進(jìn)入了參與者的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)，這使得網(wǎng)絡(luò)分析的技術(shù)可以進(jìn)一步應(yīng)用在模型中，這構(gòu)成了模型的衍生應(yīng)用. 比如：可以利用網(wǎng)絡(luò)社團(tuán)劃分的技術(shù)，求出各個(gè)社團(tuán)個(gè)性化的評(píng)價(jià)值，解釋集團(tuán)利益的存在與差異，其對(duì)于組織管理具有實(shí)踐意義；也可以利用網(wǎng)絡(luò)分析中相似節(jié)點(diǎn)的挖掘技術(shù)，甄別虛假評(píng)價(jià)，剔除這類有色噪聲的干擾，使得評(píng)價(jià)結(jié)果更趨合理. 這些都成為擴(kuò)展模型進(jìn)一步的工作. 綜上所述，本文提出的模型是一個(gè)確定評(píng)價(jià)者或決策者權(quán)重分配的新方法，具有理論意義和實(shí)踐意義.

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An evaluator’s weight allocation considering network peer effects

LIYong-li1,WUChong2,ZHANGXiao-fei2

1. School of Business Administration, Northeastern University, Shenyang 110169, China;2. School of Management, Harbin University of Technology, Harbin 150001, China

Determining the weights of evaluators is an important step in evaluation methods. This paper proposes a new method to determine an evaluator’s weight based on network game， and detailed discussions and validations of the solution and parameters are given. This paper considers evaluators as network nodes, and the evaluations as the links between the evaluators, which make up the edges of the network. Based on the evaluators’ rating information, this paper defines the “Cooperation” and “Confliction” matrix between the evaluators as the weight matrix of the network. A network game model is established and the optimal solution is solved as the weight values. It is proved that the optimal solution is a Nash interior equilibrium solution and the only Nash equilibrium solution of this problem. Furthermore, this paper analyzes the relationship between the optimal solution and network-centricity measure, and the meaning of optimal solution in network science; namely, this paper linkes up the knowledge of decision-making theory and network science. Through mathematical proofs and simulation analyses, this paper reveals the meaning of the parameters in the model, which determine two excellent properties of the solution: “isotonicity” and “stability”. Accordingly, this paper proposes an approach on parameter selection based on the features of the data set, and applies the model in a real data set. In conclusion, the weight allocation method is practical, and it could balance the two good properties of the solutions.

evaluation theory and method; optimization model; network analysis; peer effect; network game; weight allocation; simulation

① 2013-11-11；

2013-12-31.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71501034); 遼寧省社會(huì)科學(xué)基金資助項(xiàng)目(L15CGL014).

李永立(1985—)， 男， 遼寧沈陽人， 副教授， 碩士生導(dǎo)師. Email: ylli@mail.neu.edu.cn

F724.6

A

1007-9807(2016)04-0032-13