蔣 平（復(fù)旦大學(xué)物理學(xué)系，上海 200433）

■講課比賽

講出有個性的大學(xué)物理力學(xué)課

蔣 平
（復(fù)旦大學(xué)物理學(xué)系，上海 200433）

大學(xué)物理是理工科學(xué)生必修的一門基礎(chǔ)課，而力學(xué)是學(xué)生最初接觸大學(xué)物理的部分.上好力學(xué)課具有夯實基礎(chǔ)的重要性.授課教師應(yīng)廣泛閱讀各類教材和參考資料；進而博采眾長，融會貫通，形成獨具個性化的教學(xué)特色.本文通過6個例子試圖說明如何使力學(xué)課深入淺出、厚積薄發(fā)，而不致照本宣科，索然無味.同時，力學(xué)課應(yīng)糾正學(xué)生在中學(xué)階段對部分基本物理概念和物理規(guī)律不恰當甚至是錯誤的理解，進而加深對物理基本知識的認識.這6個例子如下：（1）通過對比牛頓運動定律和萬有引力定律表明物理定律的數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式依賴于所采用的單位制；（2）以月球-地球的相對運動說明在非慣性系中引入慣性力的意義和作用；（3）強調(diào)勢能必是兩個或多個物體構(gòu)成的體系的性質(zhì)，并將引力勢能和態(tài)函數(shù)相聯(lián)系；（4）內(nèi)力和外力的對比；（5）由角動量的定義出發(fā)證明剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的平行軸定理；（6）概述定滑輪的運行動力學(xué).

力學(xué)；教學(xué)；個性；大學(xué)物理

大學(xué)物理課程的教學(xué)，既具有教學(xué)的共性，又具有本門課程獨有的個性.就筆者看來，一門課的教學(xué)具有兩個必備的要素：一為內(nèi)容，二為形式.就后者而言，筆者與同事有一共識，并曾專門撰文探討，即教學(xué)是一門藝術(shù)［1］.作為一名教師，在追求教學(xué)藝術(shù)高峰的道路上必然是精益求精，永無止境.這就是所有課程的共性，這里不再贅述.而一門課的內(nèi)容則必有自己的個性.當然內(nèi)容與形式這兩個要素也并非截然割裂，而是互相滲透、密切相關(guān)的.事實上，即使是形式也會因課程而異；就像任何一門藝術(shù)一樣，不同的藝術(shù)家有不同的風(fēng)格.因而形式的共性中也會體現(xiàn)出個性，例如物理課的講授形式就與語文課不同.教學(xué)的個性主要表現(xiàn)在兩方面：一是課程本身相對于其他課程有獨具的特點；二是講授這門課程的教師本人在講授內(nèi)容以及講授方法、講授風(fēng)格等方面所具有的自己的特色，特別是有別于他人對該課程內(nèi)容的理解、體會和領(lǐng)悟.這樣的教師講授的課程必然對學(xué)生大有吸引力，也必然會達到優(yōu)質(zhì)的教學(xué)效果.倘若對著一本教材照本宣科，并無出彩創(chuàng)意之見，學(xué)生聽課必定索然無味，還不如自己看書；也就談不上保證、提高教學(xué)質(zhì)量.本文擬以大學(xué)物理力學(xué)部分的教學(xué)作為載體略述筆者在這方面的管見心得.

1　大學(xué)物理力學(xué)教學(xué)的意義

大學(xué)物理作為高校新生進校后最先要選讀的一門基礎(chǔ)性科學(xué)類課程，具有極其重要的意義.

首先，這門課程擔(dān)負著糾正學(xué)生在中學(xué)階段可能形成的對部分物理學(xué)基本概念、基本規(guī)律不嚴格的甚至是錯誤的理解和認識.由于種種主觀或客觀的原因，現(xiàn)實狀況是，雖然為了應(yīng)付高考，高中生在高考前都進行過大容量的強化訓(xùn)練，經(jīng)過海量“刷題”的“鍛造”；不幸的是他們在不少物理學(xué)基本概念的掌握上并不盡如人意，甚至形成完全錯誤的概念.這樣，他們對物理規(guī)律的理解往往一知半解，甚至似是而非.解題也往往是徑直套用公式，其實不知道理所在.這樣的學(xué)習(xí)效果很難適應(yīng)高校的學(xué)習(xí).這里舉兩個典型的例子，當可以一斑而窺全豹.

一是長期以來在中學(xué)階段曾有過一道涉及重力勢能的“經(jīng)典”練習(xí)題，要求學(xué)生回答天上的飛鳥和地上的滾球各自有無動能和勢能.據(jù)稱參考答案是飛鳥兼有動能和勢能，而滾球只有動能而無勢能.這一練習(xí)題本身和答案暴露出兩個基本問題.一是不了解凡勢能必涉及相互作用，單個物體并無勢能可言這一基本概念（關(guān)于勢能本文后面還會討論）；二是不了解重力勢能的零點可以任意選擇，而勢能零值并不意味著沒有勢能.事實上物理量的零值有兩種，各有不同的意義.一類諸如質(zhì)量、場強等，其零值的確具有“無”、“不存在”的絕對意義；另一類有如攝氏或華氏溫度、時間及勢能等，其零值只具有相對意義.例如，溫度代表熱運動的劇烈程度，而攝氏零度（0℃）并不意味著涵義不清的“沒有溫度”或沒有熱運動.除非是絕對零度，才有熱運動消失的意義.又如選擇某一時刻為計時起點，并不是“沒有”時間.除非選擇宇宙起源的“大爆炸”作為時間零點，一般的時間為零都只有相對意義.對這一類零點可以選擇的物理量，往往是差值而不是單個的具體數(shù)值才具有明確的物理意義.

另一個典型例子是定滑輪.幾乎大部分中學(xué)生都會想當然地認為滑輪在輪緣和繩子之間無摩擦；對此不少中學(xué)物理教學(xué)輔導(dǎo)材料也常忽略輪緣和繩子間的摩擦力.這就既完全否定定滑輪的運行原理，將定滑輪退化為一光滑的桿子；也不明白定滑輪所以叫滑輪是滑在支撐滑輪的輪軸軸承上.關(guān)于這個問題，本文在后面同樣要略加討論.

其次，大學(xué)物理應(yīng)使學(xué)生建立起正確的物理學(xué)的基本概念，理解基本的物理規(guī)律；同時初步了解、建立正確的物理學(xué)的學(xué)習(xí)方法和思維方法.這才是這門課程的根本目的.

這樣，大學(xué)物理作為一門基礎(chǔ)課，不僅為后續(xù)課程提供必要的基礎(chǔ)知識，更關(guān)鍵的是對學(xué)生一生的學(xué)習(xí)和工作都會產(chǎn)生重要的、積極的影響.據(jù)筆者所知，對大多數(shù)畢業(yè)生（包括筆者本人）而言，一生中用處最大用得最多的大學(xué)本科課程當首推普通物理和普通物理實驗.相信這不僅是筆者個人的感受和體會.

在大學(xué)物理課程中，一般的教學(xué)序列往往將力學(xué)（包括運動學(xué)）安排在開始部分.而事實上大學(xué)物理又是全部物理類課程的基礎(chǔ)，因而力學(xué)便成為本科教學(xué)序列中基礎(chǔ)的基礎(chǔ).可見，保證和提高力學(xué)部分的教學(xué)質(zhì)量最具有基礎(chǔ)性的重要意義.

2　博采眾長，融會貫通，力求創(chuàng)新

眾所周知，要保證提高任何一門課的教學(xué)質(zhì)量，教師必須博覽群書.就大學(xué)物理而言，任課教師不僅要廣泛參閱同一層次的各種教材，還應(yīng)閱讀、熟悉高一層次的理論物理方面的參考書.理由很簡單.光是大學(xué)物理教材，不同作者不同版本的教材就可謂五光十色.雖然不可否認其中難免質(zhì)量一般甚至一再出現(xiàn)訛誤的平庸之作，但很多高質(zhì)量的教材都得到廣大師生的肯定，對大學(xué)物理的教學(xué)發(fā)揮著積極的作用.這類教材大多為作者數(shù)十年教學(xué)經(jīng)驗的總結(jié)，體現(xiàn)出作者對教學(xué)獨特的心得、體會.諸如對一個物理概念或物理規(guī)律的講授，從如何引入，如何鋪展，如何對結(jié)果討論分析都會表現(xiàn)出作者的匠心獨具；特別是對年輕教師甚有教益.廣泛閱讀此類教材，著重注意其中最為精彩之處加以消化、吸收，使之融會貫通變成自己知識體系中的一部分；并在此基礎(chǔ)上認真思考，便能形成有別于他人的獨具個性的想法和做法.將之應(yīng)用于教學(xué)實踐，定能收到喜人的成果.至于閱讀理論物理方面書籍的意義更是顯而易見，可以在更高的層次上審視大學(xué)物理的教學(xué)內(nèi)容，所謂站得高、看得遠；更可以厚積薄發(fā)，使大學(xué)物理的教學(xué)深入淺出，宛如美酒般醇厚甘美、芳香四溢.

3　6個例子

這里，略舉力學(xué)教學(xué)中的數(shù)例，試圖說明如何在教學(xué)過程中實踐上面所說的一得之見.希望能舉一反三，對年輕教師有所啟發(fā)和幫助.更希望能以此拋磚引玉，有更多、更好的文章接踵而至.

3.1牛頓第二定律和萬有引力定律

凡講力學(xué)，首當其沖的當推牛頓三大運動定律.值得在教學(xué)中強調(diào)的是，牛頓定律只適用于質(zhì)點，而這往往是許多教師所忽視而未予強調(diào)的.雖然大多數(shù)教材在該定律的敘述上常以物體代替質(zhì)點，其實應(yīng)理解為隱含著所謂的物體受力作用的效果就是同樣的力作用于同質(zhì)量質(zhì)點上的效果的意義.否則，就外力作用于物體這一說法而言，力的作用點的位置直接影響其力學(xué)效果.除非力的作用線通過質(zhì)心，單個外力作用于物體（可抽象為剛體）應(yīng)等效于一個相同的作用于質(zhì)心的外力加一力偶，力偶中二力的間距就是質(zhì)心到外力作用線的距離.換言之，物體運動既應(yīng)包括質(zhì)心的加速還應(yīng)包括繞過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動加速這兩個成分；而這一轉(zhuǎn)動并不是牛頓定律可以直接描述的（雖然有的書上將作用于剛體上對固定軸的力矩和角加速度的關(guān)系稱為轉(zhuǎn)動形式的牛頓第二定律［2］，不過為明確計，這里不包括這一說法）.另外，當有多個作用力作用于同一物體時，通常喜歡采用合力的說法.其實，嚴格說來只有共點力或平行力才有合力，否則難以用一個力去等效地描述所有作用力同時作用的力學(xué)效果.此時毋寧采用外力矢量和的說法.外力的矢量和與物體質(zhì)量的商即為質(zhì)心的加速度.不過，即使矢量和為零，質(zhì)心無加速度，物體也不一定如牛頓第一定律所描述的保持其運動狀態(tài).典型的例子就是一對力偶作用于剛體，雖然質(zhì)心維持其運動狀態(tài)，物體卻在力偶矩的作用下加速轉(zhuǎn)動.另一方面，即使對共點力而言，如果合力的作用線不通過質(zhì)心，就與單個力作用時一樣，牛頓定律也不能全面描述物體的運動.實際上牛頓定律描寫的只是物體質(zhì)心的運動，也就是物體的平動.物體作平動時可等效于質(zhì)點，當然其運動就與質(zhì)心的運動相符.

三大定律之后，一般要介紹萬有引力定律，其數(shù)學(xué)表達式包括一個既難記憶又有量綱的引力常數(shù)G.將引力定律與牛頓第二定律相比較有其積極意義.其實牛頓定律說的是質(zhì)量為m的質(zhì)點在外力f的作用下獲得的加速度a與f成正比而與m成反比.也可寫成于是f=m a/k.只是在SI單位制里將1單位質(zhì)量（1kg）的質(zhì)點獲得1單位加速度（1m·s-2）的外力作為力的單位，才使k=1，而牛頓定律就成了f= m a的簡單形式.如果我們愿意讓萬有引力的公式變得簡單，完全可以規(guī)定兩個單位質(zhì)量的質(zhì)點（應(yīng)該說萬有引力定律和牛頓定律一樣也只適用于質(zhì)點）在相距1單位長度時彼此間的萬有引力作為力的單位，萬有引力定律中的引力常數(shù)就不再出現(xiàn)而變成簡單的形式不過，這樣一來，力的量綱就從LMT-2變成M2L-2，而牛頓第二定律就會出現(xiàn)這一既難記又有量綱的常數(shù).由此可見，一個物理定律的數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式是與所選擇的單位制密切相關(guān)的.而且，在不同的單位制里同一物理量甚至?xí)胁煌牧烤V.明白這一點，對學(xué)生而言，不僅能加深對物理規(guī)律的理解，也有利于后繼課程的學(xué)習(xí)，特別是電磁學(xué)的學(xué)習(xí).就是畢業(yè)之后遇到實用上的不同單位制也能很快適應(yīng).

3.2慣性力

慣性力是力學(xué)的一個重要概念，許多教材均以加速中的直行火車作參照系為例.雖似直觀，但較平凡.其實一個很好的例子就是月球繞地球的轉(zhuǎn)動，幾乎天天可見，而火車的例子倒是基本靠想象.在通常的教學(xué)序列中動力學(xué)往往安排在運動學(xué)之后.在運動學(xué)中，按相對運動的觀點，月球繞地球的轉(zhuǎn)動也可視為地球繞月球的轉(zhuǎn)動.但這樣一來，就會出現(xiàn)違反牛頓第二定律的結(jié)果.對通常考慮的月球繞地球轉(zhuǎn)動的情形，假設(shè)月球作以地球為圓心的勻速圓周運動，則地球?qū)υ虑虻娜f有引力F=G提供月球的向心力.這里m和M分別為月球和地球的質(zhì)量，l為月心到地心的距離.如將月球繞地球轉(zhuǎn)動的角速度設(shè)為ω，則ω滿足

如果將月-地之間的相對運動看作地球繞月球以同樣的角速度ω轉(zhuǎn)動，則地球需向心力

這遠大于月球?qū)Φ厍虻娜f有引力F.問題當然出在月球這一參考系遠不是慣性系上.事實上地球也不是很理想的慣性系，因此式（1）也只是近似的結(jié)果.對于月-地體系而言，最好的慣性系應(yīng)是質(zhì)心系.如略去其他天體的作用，月球和地球分處質(zhì)心兩邊且各自以相同的角速度ω繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn).此時，地球的牛頓方程為

而月球的牛頓方程為

其中，r與R分別為月心和地心到質(zhì)心的距離，r+R=l.由式（3）、（4）可見，月、地各自的向心力都由萬有引力提供；而mr=MR正是質(zhì)心的定義.現(xiàn)在如選擇地球為參考系，同時注意在質(zhì)心系中地球和月球的向心加速度aE和aM方向相反，月球繞地球旋轉(zhuǎn)的“向心力”應(yīng)為F′=F+maE，這里F=maM=mω2r為月球所受的地球的萬有引力；而maE為因地球自身的加速運動引進的慣性力.由于aE=ω2R和aM=ω2r即得F′=mω2l.由式（3）和式（4）知aE=ω2R=

這一月-地相對運動的例子可以較好地涵蓋大學(xué)物理關(guān)于在非慣性參照系中引入慣性力的內(nèi)容.其實慣性力的根源在于不同參照系之間的坐標變換.一般而言，兩個參照系O與O′之間的坐標變換可以r=r′+roo′表示，r和r′分別為同一點在兩個坐標系中的位置矢量，而roo′為兩個坐標原點之間的矢量.將該式對時間求兩次導(dǎo)數(shù)得

式中，a與a′分別為兩個坐標系中的加速度，而aoo′為坐標系原點間的相對加速度，即通常所說的牽連加速度.如果參照系O為慣性系，只要aoo′≠0，O′必為非慣性系，對質(zhì)量為m的物體在其中應(yīng)用牛頓第二定律就要引進慣性力-m aoo′.對月-地相對運動而言，上面的討論就是式（5）的應(yīng)用.a可視為月球（或地球）在質(zhì)心系中的加速度aM（或aE），a′為月球（或地球）在地球參照系（或月球參照系）中的加速度，大小為ω2l，aoo′則為aE（或aM）.不過，在上面將月球作為參照系討論地球繞月球轉(zhuǎn)動時實際上是設(shè)想有一坐標架O′X′Y′Z′固定在月心O′，并且在月球繞月-地質(zhì)心O轉(zhuǎn)動的過程中坐標軸的方向始終不變.坐標原點O′繞質(zhì)心O旋轉(zhuǎn)，而坐標架只作平動，方向不變.在這樣的坐標系里，地球就以角速度ω繞坐標原點即月心O′轉(zhuǎn)動；式（5）中r′的二階時間導(dǎo)數(shù)a′就只包含數(shù)值為ω2l的一項.如設(shè)O′Z′軸沿月球自轉(zhuǎn)或公轉(zhuǎn)軸的方向，則在此坐標系中地球的坐標即可表示為x′=l cosωt和y′=l sinωt.這樣處理月-地體系實際上仍然是將地球和月球都當作質(zhì)點.但眾所周知，月球在繞地球公轉(zhuǎn)一周的同時繞過自身中心的轉(zhuǎn)軸恰好也自轉(zhuǎn)一周，這就是月球始終以同一面對著地球的原因.因此，不宜將月球看作質(zhì)點.如果將月球當作剛體球而將一坐標架固定在月心，則當此坐標架的原點在月-地體系質(zhì)心這一慣性系中繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動時，坐標架也要轉(zhuǎn)動，因而這一坐標系中沿坐標軸的單位矢量也會隨時間改變方向.一般而言，坐標軸方向的變化將使求r′的時間導(dǎo)數(shù)更為復(fù)雜，會出現(xiàn)附加項.不過在月-地問題中，可以證明在月球參照系中地球的慣性力為［3］-Mω×ω×（ro′o+rEM）；其中，ω為月球自轉(zhuǎn)或公轉(zhuǎn)的角速度矢量，ro′o為月心O′在質(zhì)心系（以質(zhì)心O為原點）中的位矢，而rEM為在月球參照系中地球的位矢.由于rEM+ro′o=rE，rE為地心在質(zhì)心系中的位矢；且ω與rE垂直，容易得到慣性力即為Mω2rE，恰和質(zhì)心慣性系中地球的向心力-Mω2rE數(shù)值相等但方向相反而彼此相消.如仍取O′Z′軸沿月球自轉(zhuǎn)軸向（單位矢量k′），在坐標原點O′繞質(zhì)心O轉(zhuǎn)動一周的過程中，沿O′X′軸和O′Y′軸的單位矢量i′和j′必恰也旋轉(zhuǎn)一周.于是，如將O′X′軸指向質(zhì)心O，則在此坐標系內(nèi)地球?qū)㈧o止在坐標l i′處，恰如有一無質(zhì)量的剛性細桿將地球和月球固連在一起.這樣在月球參照系里，地球的位置便固定不動.想來一個觀察者如在月面觀察地球當像一顆同步衛(wèi)星.

3.3重力勢能

在力學(xué)部分必講授重力勢能，而這是一個在中學(xué)階段不易講清而且往往形成模糊甚至錯誤概念的部分，必須在大學(xué)物理階段予以糾正；建立對重力勢能或引力勢能正確的理解.眾所周知，凡勢能必與保守力相對應(yīng)，因而必涉及物體之間的相互作用.可見，對單個物體談?wù)搫菽懿o意義［4］.實際上通常所說的某物體的重力勢能應(yīng)視為該物體與地球這一體系引力勢能的默認，或應(yīng)明確申明這是物-地體系引力勢能的簡化說法.當針對單一物體而言時，重力為作用于其上的外力，因此重力對該物體做的功轉(zhuǎn)化為該物體動能的變化，這就是動能定理的應(yīng)用.但如果針對物-地體系而言，如無其他外力只有彼此間的引力作用于物體和地球，則引力這一保守內(nèi)力做正功導(dǎo)致體系勢能下降，并轉(zhuǎn)化為物體和地球二者動能的增加（只是通常忽略地球動能的變化），體系總機械能依然守恒.這便是略去體系之外其他星球或物體作用的功能原理.

其次，勢能是一狀態(tài)函數(shù).以物體-地球這一體系為例，我們可以認為物-地間相距r為一種力學(xué)狀態(tài)；這一體系屬于一維狀態(tài)空間，而物-地間距r就是狀態(tài)參量.當r從初始值r1變到終末值r2時，引力勢能的變化U（r2）-U（r1）只取決于參量r的始、末值r1和r2，而與如何從r1變?yōu)閞2的路徑無關(guān).就是說引力勢能U是單變量r的單值函數(shù).只要物-地間彼此相距r，引力勢能必為U（r），而與如何達到此距離r的歷史無關(guān).從而可將引力勢能U（r）視為物-地體系力學(xué)狀態(tài)的態(tài)函數(shù).將保守力做功轉(zhuǎn)化為勢能的變化和態(tài)函數(shù)只取決于狀態(tài)而與歷史無關(guān)相對照，在力學(xué)階段就可引入態(tài)函數(shù)的概念.這樣做，有利于后續(xù)熱力學(xué)部分的教學(xué).事實上，有的老師在教學(xué)實踐中已嘗試這樣做，并且收到比較好的效果.即使學(xué)生在這里未能完全領(lǐng)會狀態(tài)函數(shù)的含義，但到熱力學(xué)階段再來回顧、對照與引力勢能相關(guān)的內(nèi)容必能更有效地接受態(tài)函數(shù)等概念.實際上，這也是物理學(xué)的各個不同分支間有機聯(lián)系的一個典型事例，說明“許多完全不同和表面上并不相干的物理現(xiàn)象可以用共同的概念來描述.”［5］充分發(fā)揮這些聯(lián)系的作用有利于整體上提升基礎(chǔ)物理的教學(xué)效果.

3.4外力與內(nèi)力

外力和內(nèi)力是力學(xué)部分經(jīng)常要用到的術(shù)語，一般學(xué)生都理解其含義不致含混.例如，兩個荷電的、質(zhì)量不能略去的物體組成一體系，則對此體系而言，庫倫力是內(nèi)力而重力是外力.但作用于同一物體的同一力有時為外力，有時又應(yīng)看作內(nèi)力；這決定于所研究的體系包括哪些物體.內(nèi)力和外力具有不同的力學(xué)意義，適用的物理定律也不盡一致.最簡單的例子莫如自由落體.當我們只對落體討論時，重力是外力.在重力作用下，落體位置下降，速度和動量增加，同時重力做功使動能加大；分別就運動學(xué)、動力學(xué)和功與能表現(xiàn)出重力作為外力作用的效果.如果將研究的體系擴大，將地球也包括進來，重力就成了內(nèi)力，這時更宜稱之為引力.顯然內(nèi)力同時作用在體系內(nèi)的兩個物體——落體和地球上，成對出現(xiàn)，互為作用力和反作用力.此時，引力的運動學(xué)效果是落體向下運動而地球向上運動；動力學(xué)的效果是體系的動量守恒，如落體初始時靜止，體系動量恒為零；功能效果是在引力這一對保守力的作用下體系的引力勢能下降轉(zhuǎn)化為落體和地球動能的增加，維持體系的機械能守恒.顯然，以上的討論都是在地球和落體這一體系的質(zhì)心參照系中進行的.如第2個例子一樣，質(zhì)心系是慣性系.不過，通常在關(guān)于落體的諸多討論中，從來都是以地球為參照系的，并且都得出正確的結(jié)論.所以如此當然是因為地球的質(zhì)量M遠遠大于落體質(zhì)量m，地球可看作相當好的慣性系.而且，由于M?m，即使在質(zhì)心系中，地球“向上”的位移、速度和動能的增量都遠比落體為小，將其忽略只考慮落體并無多大影響.可是動量不同，由于動量是質(zhì)量和速度的乘積，本來因M?m而可忽略的地球速度卻因乘上M而使地球的動量與落體等量齊觀，不過方向相反；從而在引力這一內(nèi)力的作用下體系的動量守恒.也正因為動量的這一特點，使得慣性質(zhì)心系中的動量守恒在地球參照系中不再成立.在地球參照系中，地球自身動量始終為零，而當在質(zhì)心系中初始靜止落體的速度增為v時其在地球參照系中的動量為mv，這也就是體系的總動量.就是說，在地球參照系中體系的動量隨時間增加并不守恒為零.于是得出在內(nèi)力的作用下體系動量不守恒的錯誤結(jié)論.像月-地相對運動一樣，問題還是出在參照系上.動量守恒可以從牛頓定律推出，而牛頓定律只在慣性系里才適用；因而動量守恒也應(yīng)針對慣性系.在落體的例子中，地球受落體引力作用，也會獲得“向上”的加速度，數(shù)值為f/M，其中，f為地球-落體之間的萬有引力.換言之，地球為一加速系，需要引進慣性力才能得出符合實際的結(jié)論，從而關(guān)于動量的物理定律也才相應(yīng)成立.在地球這一加速系中，地球和落體都要受到慣性力，其方向均反地球加速度方向，即“向下”，數(shù)值分別為f和.再加上相等相反的物-地之間的引力，總共4個沿同一直線的力分別作用于體系中的兩個物體，其總和即為；由于地球參照系中地球自身靜止，在d t時間里，落體動量增加d t，與慣性系中的f d t近似一致，說明單對落體而言地球作慣性系的可行性.但這一動量增量卻是地球系中的總動量增量.可見，由于慣性力的引入，猶如受到外力作用，使地球參照系中體系的總動量隨時間變化.因此，對質(zhì)心系動量守恒；而對地球加速系則應(yīng)適用動量定理.

3.5平行軸定理

在一般的教學(xué)序列中，緊隨質(zhì)點系的角動量之后是剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動.這雖是高?；A(chǔ)物理教學(xué)的一個必要組成部分，但無論是運動學(xué)還是動力學(xué)，都能將剛體繞定軸轉(zhuǎn)動與質(zhì)點的直線運動相對比，一般并非教學(xué)難點.不過學(xué)生對質(zhì)點系的動力學(xué)中的諸多關(guān)系往往較難理解；例如質(zhì)點系對某定點的角動量等于質(zhì)心（質(zhì)點系中所有質(zhì)點的質(zhì)量集中于質(zhì)心）對該點的角動量與所有質(zhì)點對質(zhì)心角動量的矢量和就不大容易理解、掌握.而且，通常這一關(guān)系又少有合適的例子來說明，更在一定程度上增加了難度.如果將剛體繞定軸轉(zhuǎn)動中的平行軸定理作為質(zhì)點系的角動量和質(zhì)心角動量關(guān)系的一個例子來證明，可能有助于學(xué)生理解相關(guān)的物理內(nèi)容；雖然絕大多數(shù)的國內(nèi)外教材都用幾何的方法證明這一定理［6］.

設(shè)OZ和O′Z′為兩平行軸，O為質(zhì)量為Mc的剛體的質(zhì)心.將剛體視為質(zhì)點系，任一質(zhì)元均視為質(zhì)點.根據(jù)質(zhì)點系對定點的角動量和對質(zhì)心角動量的關(guān)系可得Lo′=Lo+Lc，其中Lo′為剛體對定點O′的角動量，Lo為剛體對其質(zhì)心的角動量，而Lc為剛體質(zhì)心對定點O′的角動量.將此式投影到O′Z′軸可得Lo′z=Loz+Lcz.當剛體繞O′Z′軸作角速度為ω的定軸轉(zhuǎn)動時，Lo′z=I′ω，I′為剛體對O′Z′軸的轉(zhuǎn)動慣量；Lcz=d（Mcωd）=Mcd2ω，d為二平行軸間的距離.注意剛體繞O′Z′轉(zhuǎn)動恰如例2中月球繞地球轉(zhuǎn)動的情形，如同有一無質(zhì)量剛性細桿垂直連接OZ和O′Z′軸，當剛體繞O′Z′軸轉(zhuǎn)動時細桿以同樣的角速度繞該軸旋轉(zhuǎn).因此，當剛體繞O′Z′軸轉(zhuǎn)動一周的同時恰好繞過自身質(zhì)心O的轉(zhuǎn)軸OZ也轉(zhuǎn)動一周，從而Loz=Icω，Ic為剛體繞過質(zhì)心的OZ軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量.將這些關(guān)系綜合即得平行軸定理I′=Ic+Mcd2.

這里，也像月-地體系一樣，剛體質(zhì)心對轉(zhuǎn)軸O′Z′的角動量就是剛體繞O′Z′軸平動的角動量，因為質(zhì)心運動即代表剛體的平動.

3.6定滑輪

最后討論定滑輪的運行動力學(xué).幾乎所有的基礎(chǔ)物理教材都會提到定滑輪，作為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的典型例子.關(guān)于定滑輪的教學(xué)宜注意以下3 點.（1）強調(diào)定滑輪的運行動力是繩子和輪緣之間的靜摩擦力；定滑輪所以叫作滑輪并不是滑在輪緣上，而是滑在支撐輪軸的軸承上.這一摩擦力的起因是由于繩子和輪緣的接觸部分為圓弧，任一繩元兩端張力的合力并不沿輪緣的切向而具有法向分量.不過，這里摩擦力為靜摩擦力，因為定滑輪正常運行時輪子和繩子間并無相對滑動，于是并不等于法向力和摩擦系數(shù)的乘積.也因為是靜摩擦力，雖然其對輪心的力矩是輪子的動力矩卻并不做凈功，而是作為中介將繩子兩端懸掛重物重力勢能變化的一部分轉(zhuǎn)化為輪子的動能增量. （2）對動力學(xué)方程T1R-T2R=Iβ（T1、T2分別為兩邊繩中的張力，R為輪半徑，I和β分別為輪子的轉(zhuǎn)動慣量和角加速度）應(yīng)有恰當?shù)恼f明，而不能想當然地認為就是輪子的動力學(xué)方程，因為繩中的張力并不作用在輪緣上.將輪子和繩子一起作為研究體系（兩邊懸掛的重物除外），則兩邊繩中向下的張力是作用于體系的外力，方程左邊就是作用于體系的外力矩，應(yīng)與體系角動量的變化率相等；而在通常輕繩假設(shè)的前提下，繩子的角動量可略去，方程右邊正是體系角動量的變化率.或者，從繩元與輪緣間的摩擦力出發(fā)也可推導(dǎo)出上式［6］.（3）雖然定滑輪也許是最簡單的機械，其運行卻涉及豐富的物理原理.上面已可看到定滑輪的教學(xué)與靜摩擦力、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動、角動量定理都有關(guān)系.此外，兩邊懸掛重物的運動又可歸結(jié)為質(zhì)點動力學(xué).而且，由于重物有位移，輪子要轉(zhuǎn)動，相關(guān)的作用力包括張力、摩擦力、重力都要做功，必然涉及能量轉(zhuǎn)換過程.例如，如只討論包括兩邊重物在內(nèi)的定滑輪體系，則作用于重物上的重力為作用于該體系的外力，重力的功就是外力的功；但如將地球也包括進所研究的體系，則重力成為體系中的保守內(nèi)力，其所做的功就以體系的引力勢能的降低為代價而維持體系機械能守恒.恰好成為功能原理應(yīng)用的兩個典型事例.可見看似簡簡單單的定滑輪，其運行所涉及的物理原理卻并不簡單，幾乎可覆蓋非物理專業(yè)類系科力學(xué)教學(xué)的全部內(nèi)容.當教完力學(xué)之后，如將定滑輪作為對象組織學(xué)生討論相關(guān)的力學(xué)規(guī)律必能使學(xué)生對力學(xué)的掌握程度提升一大步.

［1］ 蔣平，葉令，等.教學(xué)是一門藝術(shù)［J］.中國大學(xué)教學(xué)，2013，（7）：11-12.

［2］ Robert R，David H，Kenneth S K.Physics，volume one ［M］.5th edition.New York：John Wiley&Sons，INC.，2002：180.

［3］ Miller F P，Vandome A F，Mcbrewster J.Fictitious force ［M］.Alphascript Publishing，2011.

［4］ Robert R，David H，Kenneth S K.Physics，volume one ［M］.5th edition.New York：John Wiley&Sons，INC.，2002：259-260.

［5］ Frank SCrawford Jr，Waves（Berkeley Physics Course，Volume 3）［M］.New Delhi：Tata McGraw Hill Education PrivateLimited，2011：Preface to VolumeⅢ.

［6］ 梁勵芬，蔣平.大學(xué)物理簡明教程［M］.3版.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2011：64-65；72.

TRY TO TEACH MECHANICS IN COLLEGE PHYSICS WITH PERSONAL CHARACTER

Jiang Ping
（Department of Physics，F(xiàn)udan University，Shanghai 200433）

Usually college physics begins with mechanics，therefore the quality standards of mechanics teaching are very important.Six topics，i.e.comparison between Newton，s second law and law of universal gravitation，inertial force，gravitational potential energy and state function，internal and external force，parallel axis theorem，and dynamics of fixed pulley are selected as examples to show that in order to raise the teaching standards a good teacher of college physics must read comprehensively many published text books to form own personal teaching character.The purpose of first example is to show the expression of a physical law depends on the system of units adopted；second example stresses the significance of inertial force；third example connects gravitational potential energy with state function；the forth one shows the difference between internal force and external force；the fifth one provides another approach to prove the parallel axis theorem，different from most text books；while the final one summarizes mechanical principles and laws involved in the operation of a fixed pulley.

mechanics；teaching；personal character；college physics

2016-02-05

蔣平，男，教授，長期從事固體物理的教學(xué)和理論研究，復(fù)旦大學(xué)物理學(xué)系課堂教學(xué)督導(dǎo)組組長.pjiang@fudan.edu.cn