曾乘，柳強

（遼寧石油化工大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院，遼寧 撫順 113001）

板球系統(tǒng)PID控制響應(yīng)的多項式響應(yīng)面建模研究

曾乘，柳強

（遼寧石油化工大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院，遼寧 撫順 113001）

板球系統(tǒng)作為典型的非線性、多變量控制對象，常用來檢驗控制策略的控制效果。文中基于板球系統(tǒng)實驗平臺，以PID控制策略為例研究控制參數(shù)對控制效果的影響及其模型關(guān)系。首先，分別對控制參數(shù)P、I和P、D對系統(tǒng)的穩(wěn)定誤差進行數(shù)據(jù)采樣；其次，應(yīng)用三階多項式響應(yīng)面法對數(shù)據(jù)進行建模，建立多項式響應(yīng)面模型解析式，并用Matlab軟件對模型進行可視化。最后的計算結(jié)果表明，所建模型精度較高，為整定優(yōu)化控制參數(shù)奠定了建?；A(chǔ)。

板球系統(tǒng)；PID控制；多項式響應(yīng)面；數(shù)學(xué)建模

隨著現(xiàn)如今位置伺服系統(tǒng)中定點控制與運動軌跡控制對控制領(lǐng)域的發(fā)展起著越來越重要的作用，而板球系統(tǒng)的目標就是實現(xiàn)平板上小球的定點控制與運動軌跡控制。為了更加精準和快速的達到控制要求，針對板球平衡系統(tǒng)控制參數(shù)的整定優(yōu)化問題展開研究?；谝粋€控制性能較好的板球平衡控制系統(tǒng)（固高科技GPB2001）上，對系統(tǒng)輸入控制參數(shù)與輸出穩(wěn)定誤差進行數(shù)據(jù)采樣，使用三階多項式響應(yīng)面法對數(shù)據(jù)進行建模，并用matlab［1］軟件對擬合函數(shù)進行圖形分析，分別建立了板球系統(tǒng)的P、I參數(shù)和P、D參數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。為參數(shù)的整定優(yōu)化問題提供了模型支持。

1　板球系統(tǒng)簡介

圖1　板球系統(tǒng)

板球系統(tǒng)［2］是一個多變量、非線性控制對象，其控制目地是一個自由滾動的小球?qū)崿F(xiàn)定點控制或運動軌跡控制。采用角度編碼器反饋和攝像頭視覺反饋相結(jié)合的傳感方式得到小球的當前位置信息，由此為根據(jù)進行控制，通過改變P、I、D控制參數(shù)值來控制電機帶動平板來控制小球的實際位置和運動軌跡。采用的板球系統(tǒng)（固高科技GPB2001）實驗設(shè)備如圖1所示。

2　多項式響應(yīng)面法

多項式響應(yīng)面法［3-4］是一種將數(shù)理統(tǒng)計與試驗設(shè)計相結(jié)合來建立數(shù)學(xué)模型的一種優(yōu)化方法。它以數(shù)據(jù)分析或試驗設(shè)計為基礎(chǔ)，對計算空間內(nèi)的計算點的集合進行連續(xù)的求值試驗，構(gòu)造目標和約束的全局逼近。

在多項式響應(yīng)面法中，不含交叉項的二階多項式響應(yīng)面比較常用，但其精度不高，所以在這里我們?nèi)〔缓徊骓椀娜A多項式響應(yīng)面。其需要的樣本數(shù)量m≥2n+1，n為問題維數(shù)。

其中，a=［a0，a1，a2…an，a11a22…ann，a111，a222…annn］T為響應(yīng)面系數(shù)向量。求解向量a，為了確定a中的個2n+1系數(shù)，可選擇m（m≥2n+1）個抽樣點x（j）（j=1，2…m），得到m個響應(yīng)值組成的列向量g=［g（x（1）），g（x（2））…，g（x（2））］T。

系數(shù)向量可由下式求得：

其中，

式（2）即可得到多項式系數(shù)a。

3　基于多項式響應(yīng)面的建模

3.1控制參數(shù)與穩(wěn)定誤差的數(shù)據(jù)采集

基于固高科技GPB2001板球平衡系統(tǒng)，采用P、I、D參數(shù)控制系統(tǒng)［5］，設(shè)定目標點為（60，60）。由于實驗設(shè)備運行及數(shù)據(jù)讀取過程中會產(chǎn)生一定誤差，但不影響本文的研究思路。數(shù)據(jù)采樣界面如圖2所示。

圖2　數(shù)據(jù)采樣圖

將參數(shù)D設(shè)為常數(shù)不變，采用均勻取樣法對參數(shù)P、I取若干組數(shù)據(jù)，隨機抽取其中20組數(shù)據(jù)運用多項式響應(yīng)面法進行擬合［6］，擬合數(shù)據(jù)如表1所示。

將參數(shù)I設(shè)為常數(shù)不變，采用均勻取樣法對參數(shù)P、D取若干組數(shù)據(jù)，隨機抽取其中20組數(shù)據(jù)運用多項式響應(yīng)面法進行擬合，擬合數(shù)據(jù)如表2所示。

3.2數(shù)學(xué)建模

1）P、I參數(shù)與穩(wěn)定誤差建模

取表1中P為x1，I為x2，E為g。將數(shù)據(jù)代入式（2）通過matlab的矩陣計算［7］得到多項式系數(shù)為：

表1　P，I參數(shù)與誤差數(shù)據(jù)表

表2　P，D參數(shù)與誤差數(shù)據(jù)表

進而得出模型的多項式為：

其中：z為穩(wěn)定誤差E，x1與x2分別為控制參數(shù)P、I。

應(yīng)用matlab程序?qū)⑸鲜瞿Ｐ涂梢暬?，三維圖形如圖3所示。

圖3　P、I參數(shù)與穩(wěn)定誤差擬合多項式的三維圖形

抽取5組未參與建模［8］的P，I數(shù)據(jù)進行驗證，代入到多項式（3）中，驗證結(jié)果如表3所示，可以看出計算值與實際值誤差較小，說明模型精度較高。

表3　P，I驗證數(shù)據(jù)表

2）P、D參數(shù)與穩(wěn)定誤差建模

取表2中P為x1，D為x2，E為g。將數(shù)據(jù)代入式（2）通過matlab的矩陣計算得到多項式系數(shù)為：

進而得出模型的多項式為：

其中：z為穩(wěn)定誤差E，x1與x2分別為控制參數(shù)P、D。

應(yīng)用matlab程序?qū)⑸鲜瞿Ｐ涂梢暬鐖D4所示。

抽取5組未參與建模的P，D數(shù)據(jù)進行驗證，代入多項式（4）中，驗證結(jié)果如表4所示，可以看出計算值與實際值誤差［9］較小，說明模型精度較高。

4　結(jié)　論

使用了多項式響應(yīng)面法對系統(tǒng)控制參數(shù)與穩(wěn)定誤差進行建模，得到控制參數(shù)與穩(wěn)定誤差擬合度較高的建模函數(shù)，通過matlab軟件［10］的可視化及分析可以看出當控制參數(shù)P、I 或P、D對控制效果有較大影響。由于所建立的模型給出了解析式，因此可為后續(xù)應(yīng)用優(yōu)化方法如粒子群算法等對控制器［11］參數(shù)進行尋優(yōu)提供了模型支持。此外，此建模思路具有較好的普適性，只需將系統(tǒng)輸入?yún)?shù)設(shè)置為其他先進控制方法的相關(guān)參數(shù)即可。

圖4　P、D參數(shù)與穩(wěn)定誤差擬合多項式的三維圖形

表4　P，D驗證數(shù)據(jù)表

［1］鄢喜愛，楊金民，田華.Matlab在數(shù)據(jù)處理和繪圖中的應(yīng)用［J］.科學(xué)技術(shù)與工程，2006，6（22）:3631-3633.

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Research on polynomial response surface modeling for ball and plate system based on PID control response

ZENG Cheng，LIU Qiang
（School of Information and Control Engineering，Liaoning Shihua University，F(xiàn)ushun 113001，China）

As a typical nonlinear and multivariable controlled object，ball and plate system is commonly used to test the control strategies.Based on experimental platform of the ball and plate system，the effect of control parameters on the control result and its relationship of model with PID control strategy are studied.Firstly，the data which respectively reflects the effect of the control parameters P，I and P，D on the stability of the system error are sampled；Subsequently，a third order polynomial response surface method is used to establish mathematic model and implement visualization by using Matlab software.The final computation results show that the model is satisfactory，which provides the further support for optimizing control parameters.

ball and plate system；PID control；polynomial response surface；mathematical modeling

TN0

A

1674－6236（2016）16-0028-03

2015-08-30稿件編號：201508168

曾 乘（1995—），男，湖南邵陽人。研究方向：數(shù)據(jù)采集與建模等。