于凱，俞孟蕻

（江蘇科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003）

基于二分法的凸多邊形內(nèi)外點(diǎn)判別算法

于凱，俞孟蕻

（江蘇科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003）

多邊形內(nèi)外點(diǎn)判定算法是圖形學(xué)的基礎(chǔ)型算法，目的是判定待測(cè)點(diǎn)是否在指定的多邊形之內(nèi)。由于傳統(tǒng)的射線法與角度和法效率偏低，平均時(shí)間復(fù)雜度為O（n），當(dāng)多邊形邊數(shù)或者待測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)較多時(shí)，算法耗時(shí)較高。因此本文分析了傳統(tǒng)的射線法與角度和法的缺點(diǎn)；提出了基于二分法的凸多邊形內(nèi)外點(diǎn)判別算法；最后進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，證明該算法的平均時(shí)間復(fù)雜度為O（n/2）。該算法通過(guò)遞歸的分割凸多邊形，判斷待測(cè)點(diǎn)與分割線的相對(duì)位置，最終轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)外點(diǎn)的判別，具有快速、穩(wěn)定、準(zhǔn)確的優(yōu)勢(shì)。

凸多邊形；二分法；包含測(cè)試；遞歸分割

多邊形內(nèi)外點(diǎn)判別算法也叫做點(diǎn)的包含測(cè)試（point-inpolygon test），目的是測(cè)試一個(gè)點(diǎn)是否在多邊形內(nèi)［1］。該算法在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、模式識(shí)別、地理信息系統(tǒng)等眾多領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。例如，當(dāng)工業(yè)上需要判斷礦井是否在指定的區(qū)域內(nèi)，或者游戲中需要判斷點(diǎn)擊的位置是否在指定的區(qū)域內(nèi)。解決此類問(wèn)題首先通過(guò)仿真，將指定區(qū)域建模成多邊形，而礦井或者點(diǎn)擊的位置就是待測(cè)點(diǎn)，通過(guò)多邊形內(nèi)外點(diǎn)判別算法判定此待測(cè)點(diǎn)是否在該多邊形內(nèi)，從而確定礦井或者點(diǎn)擊位置是否在指定區(qū)域內(nèi)。算法的平均時(shí)間復(fù)雜度也就是判定待測(cè)點(diǎn)是否在多邊形內(nèi)的平均耗時(shí)，耗時(shí)減少，會(huì)使得游戲的體驗(yàn)更好，工業(yè)上工程的進(jìn)度更快。因此怎樣節(jié)省算法的耗時(shí)時(shí)本文研究的主要問(wèn)題。邊形交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判斷被測(cè)點(diǎn)是否在多邊形內(nèi)，若交點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則待測(cè)點(diǎn)不在多邊形之內(nèi)，若交點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則待測(cè)點(diǎn)在多邊形內(nèi)部。角度和法，通過(guò)計(jì)算被測(cè)點(diǎn)與個(gè)頂點(diǎn)連線所形成的角度之和來(lái)判斷被測(cè)點(diǎn)是否在多邊形內(nèi)，若夾角之和為360度，則待測(cè)點(diǎn)位于多邊形內(nèi)部，否則待測(cè)點(diǎn)不在多邊形內(nèi)部［6］。此類方法雖然易于實(shí)現(xiàn)，但是有如下缺點(diǎn)：對(duì)于每一個(gè)待測(cè)點(diǎn)，均需要進(jìn)行n次判定（n為多邊形邊數(shù)）才能確定待測(cè)點(diǎn)的位置，即最優(yōu)、最差、平均時(shí)間復(fù)雜度均為O（n）；只能判斷待測(cè)點(diǎn)是否在多邊形內(nèi)，而不能確定待測(cè)點(diǎn)的區(qū)域。

第二類算法是需要預(yù)處理的算法，如網(wǎng)格分割法、分層法等，文獻(xiàn)［2-9］采用了預(yù)處理的方法。網(wǎng)格分割法首先建立均勻網(wǎng)格，并從左至右依次計(jì)算每個(gè)網(wǎng)格單元中心點(diǎn)的位置屬性，確定待測(cè)點(diǎn)所在的網(wǎng)格，再根據(jù)點(diǎn)與網(wǎng)格中心點(diǎn)的關(guān)系判斷待測(cè)點(diǎn)的位置［3］。分層法是將多邊形的邊分層管理，通過(guò)判斷待測(cè)點(diǎn)與每一層的邊的關(guān)系來(lái)確定待測(cè)點(diǎn)的位置［5］。此類算法不僅可以判斷待測(cè)點(diǎn)是否在多邊形內(nèi)，還可以確定待測(cè)點(diǎn)的大致區(qū)域，此類算法缺點(diǎn)如下：預(yù)處理往往比較耗時(shí)，不同的預(yù)處理結(jié)果可能導(dǎo)致算法性能的大幅度波動(dòng)。例如網(wǎng)格法中，網(wǎng)格的大小對(duì)于算法性能的影響很明顯，網(wǎng)格過(guò)大或者過(guò)小均會(huì)降低算法的效率；需要額外的存儲(chǔ)空間存儲(chǔ)預(yù)處理結(jié)果，在降低算法時(shí)間復(fù)雜度的同時(shí)卻增加了算法的空間復(fù)雜度。根據(jù)是否需要對(duì)多邊形進(jìn)行預(yù)處理可以將多邊形內(nèi)外點(diǎn)判別算法分為兩類，一類是不需要進(jìn)行預(yù)處理的算法，如射線法、角度和法，文獻(xiàn)［10］中對(duì)射線法進(jìn)行了改進(jìn)，算法平均時(shí)間復(fù)雜度為O（n）。

1　基本約定與算法思想

1.1算法原理與依據(jù)

本算法核心思想包括三部分，使用頂點(diǎn)向量組織管理多邊形的頂點(diǎn)、使用二分法遞歸的分割多邊形、判斷分割線與待測(cè)點(diǎn)的相對(duì)位置。

由于任意多邊形均可以看成是一組點(diǎn)集按照順時(shí)針或者逆時(shí)的順序連線，所形成的封閉圖形，因此本算法使用向量的管理多邊形的頂點(diǎn)集合，在本算法中稱之為頂點(diǎn)向量。每一個(gè)多邊形均對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)頂點(diǎn)向量，每一個(gè)頂點(diǎn)向量也可以確定一個(gè)唯一的多邊形［11］。根據(jù)當(dāng)前多邊形的頂點(diǎn)總數(shù)，使用二分法分割多邊形，實(shí)際上就是將當(dāng)前的頂點(diǎn)向量分割成兩個(gè)新的頂點(diǎn)向量，因此對(duì)應(yīng)兩個(gè)新的多邊形。通過(guò)判斷待測(cè)點(diǎn)與分割線的相對(duì)位置，在兩個(gè)新的頂點(diǎn)向量中選擇一個(gè)，再次進(jìn)行分割與判斷，如此遞歸循環(huán)，直到當(dāng)前頂點(diǎn)向量中只有3個(gè)頂點(diǎn)為止，此時(shí)采用射線法可以輕松的判斷出待測(cè)點(diǎn)是否在多邊形內(nèi)，同時(shí)可以使用這3個(gè)頂點(diǎn)確定待測(cè)點(diǎn)所在的三角形區(qū)域。

1.2頂點(diǎn)向量

頂點(diǎn)向量是一個(gè)保存了當(dāng)前多邊形頂點(diǎn)信息的向量。

為了方便管理多邊形的頂點(diǎn)，在構(gòu)造多邊形時(shí)，將頂點(diǎn)進(jìn)行有序管理。首先選擇所有頂點(diǎn)中橫坐標(biāo)最小的頂點(diǎn)（如果有多個(gè)，則選擇其中一個(gè)），將其作為頂點(diǎn)向量中的第一個(gè)頂點(diǎn)，編號(hào)為0。然后按照逆時(shí)針的順序?qū)⑵溆喔鱾€(gè)頂點(diǎn)依次加入頂點(diǎn)向量［12］，編號(hào)依次加1。頂點(diǎn)向量中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)不僅保存了頂點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，還記錄了頂點(diǎn)的編號(hào)。當(dāng)多邊形進(jìn)行變化時(shí)，頂點(diǎn)向量也隨之更新。

1.3凸多邊形的分割

定義1凸多邊形是指沒(méi)有任何一個(gè)內(nèi)角是優(yōu)角 （大于180度小于360度）的多邊形。

定理1連接凸多邊形任意兩頂點(diǎn)，一定將此凸多邊形分割為兩個(gè)凸多邊形。

證明：因?yàn)橥苟噙呅蔚娜我鈨蓚€(gè)頂點(diǎn)的連線均在多邊形內(nèi)部，所以，連接任意兩個(gè)頂點(diǎn)后，會(huì)將原有的內(nèi)角分為兩個(gè)新的內(nèi)角。又因?yàn)橥苟噙呅蔚膬?nèi)角全部為非優(yōu)角，因此產(chǎn)生的新角也一定為非優(yōu)角，所以分割后的兩個(gè)多邊形仍為凸多邊形。

定義2分割線是由左右端點(diǎn)組成的一條線段，其左側(cè)端點(diǎn)固定，為凸多邊形頂點(diǎn)向量中的第一個(gè)頂點(diǎn)，即橫坐標(biāo)最小的頂點(diǎn)。右側(cè)端點(diǎn)根據(jù)當(dāng)前凸多邊形的頂點(diǎn)總數(shù)求出。分割線方向朝向x軸正方向，將凸多邊形分割為兩個(gè)凸多邊形。

1）求取分割線

給定一個(gè)的凸多邊形M=V0V1…Vn-1，求取分割線的方法如下：

Step1.在當(dāng)前凸多邊形對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)向量中，選取編號(hào)為0的頂點(diǎn)，作為分割線的左端點(diǎn)，記為P0；

Step2.計(jì)算當(dāng)前凸多邊形定點(diǎn)個(gè)數(shù)，記為N。設(shè)分割線右側(cè)端點(diǎn)為當(dāng)前凸多邊形頂點(diǎn)向量中的第i個(gè)頂點(diǎn)。則i=［N/2］向下取整，記為P1；

Step3.連接P0，P1即為分割線，求得分割線的方程f（x，y）=0。2）待測(cè)點(diǎn)與分割線的位置關(guān)系

由于分割線的方向固定，都是朝向x軸正方向。因此，將待測(cè)點(diǎn)帶入分割線方程，若f（x，y）＞0，則待測(cè)點(diǎn)在分割線上方；若f（x，y）＜0，則待測(cè)點(diǎn)在分割線下方；若f（x，y）=0，則在分割線所在直線上。

1.4遞歸分割

遞歸分割時(shí)，分割線左側(cè)端點(diǎn)不動(dòng)，根據(jù)點(diǎn)與分割線的位置關(guān)系，將分割后的凸多邊形再次進(jìn)行分割［13］。一個(gè)凸多邊形經(jīng)過(guò)分割后最終會(huì)形成若干個(gè)三角形。最終將點(diǎn)與凸多邊形的關(guān)系轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與三角形的關(guān)系。

1.5待測(cè)點(diǎn)的區(qū)域判斷

每次分割會(huì)造成頂點(diǎn)向量的改變，但是并不改變頂點(diǎn)的相對(duì)順序。當(dāng)遞歸分割完成時(shí)，頂點(diǎn)向量中只有3個(gè)頂點(diǎn)，第一個(gè)頂點(diǎn)是分割線的左端點(diǎn)，因此可以使用第二個(gè)頂點(diǎn)的編號(hào)作為三角形區(qū)域的編號(hào)。凸多邊形的區(qū)域劃分如圖1所示，待測(cè)點(diǎn)分布區(qū)域的仿真結(jié)果如圖2所示。

圖1　凸多邊形的區(qū)域劃分

圖2　待測(cè)點(diǎn)的分布區(qū)域

從圖2中可以看出，待測(cè)點(diǎn)被分成了3個(gè)區(qū)域，分別用三角形、圓圈和方框表示。

2　算法描述

算法主要步驟如下：

1）選擇橫坐標(biāo)最大、橫坐標(biāo)最小、縱坐標(biāo)最大、縱坐標(biāo)最小的4個(gè)頂點(diǎn)（若有多個(gè)，選擇一個(gè)），制作一個(gè)矩形包圍框。若待測(cè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)其中一個(gè)或者兩個(gè)均不在此包圍框范圍內(nèi)，則判斷待測(cè)點(diǎn)不在凸多邊形之內(nèi)，算法結(jié)束。否則執(zhí)行2）。

2）計(jì)算當(dāng)前凸多邊形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)N，若N=3，則直接使用射線法進(jìn)行三角形內(nèi)外點(diǎn)的判定，否則執(zhí)行3）。

3）按照1.4節(jié)求分割線的方法求出分割線，分割凸多邊形為兩個(gè)凸多邊形。判斷待測(cè)點(diǎn)與分割線的位置關(guān)系，即將待測(cè)點(diǎn)帶入直線方程計(jì)算結(jié)果記為R。如果R=0且待測(cè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)在分割線左右端點(diǎn)的橫坐標(biāo)區(qū)間內(nèi)，則待測(cè)點(diǎn)在分割線上，也在凸多邊形之內(nèi)，算法結(jié)束。否則執(zhí)行4）。

4）若R＞0，則待測(cè)點(diǎn)在分割線的上方，刪除當(dāng)前頂點(diǎn)向量中在分割線下方的頂點(diǎn)（不包括分割線的兩端點(diǎn)），形成新的凸多邊形與新的向量；若R＜0，則待測(cè)點(diǎn)在分割線的下方，刪除當(dāng)前頂點(diǎn)向量中在分割線上方的頂點(diǎn)（不包括分割線的兩端點(diǎn)），形成新的凸多邊形與新的向量，執(zhí)行2）。

3　計(jì)算量分析

對(duì)于有n條邊的凸多邊形，本算法最多需要進(jìn)行［（n-1）/2］次與分割線的比較和3次與凸多邊形邊的比較。當(dāng)多邊形頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為4時(shí)，本算法具有最差的時(shí)間復(fù)雜度O（n），當(dāng)頂點(diǎn)個(gè)數(shù)增加時(shí)，算法性能將得到提升。對(duì)于某些點(diǎn)，本算法只需要3次計(jì)算就可以確定待測(cè)點(diǎn)的位置，因此本算法最優(yōu)時(shí)間復(fù)雜度為O（1）。因此，本算法平均時(shí)間復(fù)雜度為O（n/2）。

而使用射線法進(jìn)行內(nèi)外點(diǎn)檢測(cè)時(shí)，必須將待測(cè)點(diǎn)與多邊形的每一條邊進(jìn)行比較才能確定該點(diǎn)是否在多邊形內(nèi)，即射線法時(shí)間復(fù)雜度始終為O（n）。因此，對(duì)于指定的凸多邊形，待測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，本算法相對(duì)于射線法節(jié)省的時(shí)間也就越多。

4　實(shí)驗(yàn)與分析

本文使用Visual Studio 2013對(duì)本算法以及射線法進(jìn)行了比較。測(cè)試計(jì)算機(jī)配置Intel（R）Core（TM）i7-4870HQ的CPU、16GB內(nèi)存和Windows7 x64操作系統(tǒng)。

1）測(cè)試凸多邊形頂點(diǎn)個(gè)數(shù)與算法耗時(shí)的關(guān)系

實(shí)驗(yàn)使用10 000個(gè)隨機(jī)待測(cè)點(diǎn)分別對(duì)頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為10、20、30、40、50的凸多邊形進(jìn)行了內(nèi)外點(diǎn)的測(cè)試，頂點(diǎn)個(gè)數(shù)與算法耗時(shí)關(guān)系見(jiàn)圖3。頂點(diǎn)個(gè)數(shù)與算法耗時(shí)比較表，見(jiàn)表1。

實(shí)驗(yàn)證明，當(dāng)凸多邊形具有相同頂點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，本算法性能明顯優(yōu)于射線法。當(dāng)多邊形頂點(diǎn)個(gè)數(shù)較少時(shí)，算法優(yōu)勢(shì)不明顯。這是因?yàn)楫?dāng)多邊形頂點(diǎn)個(gè)數(shù)較少時(shí)，本算法不僅需要與分割線進(jìn)行比較，還需要與三角形區(qū)域的三條邊進(jìn)行比較［14］。例如，當(dāng)凸多邊形只有4個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，本算法性能達(dá)到最差，即需要進(jìn)行1次與分割線的比較，和3次與邊的比較，與射線法一樣共需4次比較。因此，頂點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，本算法性能越好。

2）測(cè)試待測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)與算法耗時(shí)的關(guān)系

實(shí)驗(yàn)分別使用10 000到60 000個(gè)隨機(jī)待測(cè)點(diǎn)對(duì)頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為10的凸多邊形進(jìn)行了內(nèi)外點(diǎn)的測(cè)試，待測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)與算法耗時(shí)關(guān)系見(jiàn)圖4。待測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)與算法耗時(shí)比較表，見(jiàn)表2。

圖3　頂點(diǎn)個(gè)數(shù)與算法耗時(shí)關(guān)系

表1　頂點(diǎn)個(gè)數(shù)與算法耗時(shí)比較

圖4　待測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)與算法耗時(shí)關(guān)系

表2　待測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)與算法耗時(shí)比較

實(shí)驗(yàn)證明，待測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)越多本算法性能越好，相對(duì)于射線法節(jié)省的時(shí)間也越多。由表2可以看出，當(dāng)待測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)線性增加時(shí)，本算法相對(duì)于射線法的耗時(shí)并不是線性減少，這是因?yàn)榇郎y(cè)點(diǎn)的分布具有隨機(jī)性。

5　結(jié)　論

本文提供了一種簡(jiǎn)單有效的凸多邊形內(nèi)外點(diǎn)判定算法，它不需要對(duì)凸多邊形進(jìn)行預(yù)處理，節(jié)省了大量預(yù)處理的時(shí)間消耗。本算法使用頂點(diǎn)向量對(duì)凸多邊形的頂點(diǎn)進(jìn)行管理，并使用二分法遞歸的分割凸多邊形，將待測(cè)點(diǎn)與凸多邊形的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為待測(cè)點(diǎn)與三角形的位置關(guān)系。由于使用了分割法，本算法不僅可以判定待測(cè)點(diǎn)是否在多邊形內(nèi)，還能給出待測(cè)點(diǎn)的三角形區(qū)域，并且頂點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，劃分的區(qū)域就越精確。

本算法時(shí)間復(fù)雜度在O（1）到O（n）之間，而平均時(shí)間復(fù)雜度為O（n/2）。因此與射線法相比，本算法在大多數(shù)情況下均可以節(jié)約20％～50％的算法耗時(shí)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本算法易于實(shí)現(xiàn)，高效穩(wěn)定。

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Point inclusion test method based on dichotomy

YU Kai，YU Meng-hong
（College of Computer Science and Engineering，Jiangsu University of Science and Technology，Zhenjiang 212003，China）

Point inclusion test is a basic algorithm of computer graphics，it's purpose is to determine whether a test point is in the specific polygon.Traditional ray-crossing method and angle algorithm have relative low efficiency，their average time complexity are O（n）.So，if a polygon has a great many edges or test points，these algorithms will take much more time.This paper analyses the shortcomings of traditional ray-crossing method and angle algorithm，then proposes an efficient point-inpolygon test method based on dichotomy.At last，this paper uses many experiments to show that the average time complexity of this algorithm is O（n/2）.By partitioning convex polygon recursively and judging the relative position between points and the line，this method eventually translate this problem into judging the relative position between triangle and points.Compared with the classic algorithms，such as the ray crossing method or the angle algorithm，this algorithm not only have the advantage rapid and stable，also can give which triangle region the points locate in.

convex polygon；dichotomy；include testing；recursive partitioning

TN0

A

1674－6236（2016）16-0187-04

2015-09-06稿件編號(hào)：201509043

于 凱（1989—），男，江蘇徐州人，碩士研究生。研究方向：模式識(shí)別與智能系統(tǒng)，圖像處理。