苗恩銘　劉　義　楊思炫　陳維康

合肥工業(yè)大學，合肥，230009

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無偏估計拆分算法在數(shù)控加工中心主軸熱誤差建模中的應用

苗恩銘劉義楊思炫陳維康

合肥工業(yè)大學，合肥，230009

針對多元線性回歸無偏估計算法在處理具有多重共線性的機床熱誤差數(shù)據(jù)建模中出現(xiàn)的模型參數(shù)估計失真問題，提出了一種用于處理共線性數(shù)據(jù)的無偏估計拆分算法。該算法將建模過程分成多個步驟完成，每步只對一個自變量進行回歸，從而達到弱化自變量共線性的目的。以Leaderway-V450型數(shù)控加工中心為實驗對象，根據(jù)在不同季度內測量的多批次空轉實驗數(shù)據(jù)，將無偏估計拆分算法與傳統(tǒng)多元線性回歸的模型精度和穩(wěn)健性進行了驗證。研究結果顯示，無偏估計拆分模型的預測精度和穩(wěn)健性遠優(yōu)于經典多元線性回歸模型，尤其對于跨季度數(shù)據(jù)預測，該算法優(yōu)勢更大。

數(shù)控機床；熱誤差；多元線性回歸；無偏估計拆分算法；穩(wěn)健性

0　引言

數(shù)控機床熱誤差對零件的加工精度影響顯著[1]，研究表明，熱誤差占機床總誤差的40%～70%[2-3]。因此，針對數(shù)控機床熱誤差補償技術的研究在提升機床精度的研究中具有重要的意義[4]。

數(shù)控機床熱誤差補償技術中，通過應用設計和制造技術改進機床結構的硬件補償方法，不僅成本高，而且效果并不十分理想，故常采用軟件熱誤差補償方法對機床熱誤差進行補償，即通過對數(shù)控機床有限溫度點進行采樣，由建立的熱誤差補償模型預測出熱誤差值，利用數(shù)控系統(tǒng)的原點偏移功能原理，對機床提前給予補償[5]。因此，在數(shù)控機床軟件熱誤差補償技術中，核心的問題是建立能夠準確反映機床溫升同熱誤差之間的熱誤差模型，該模型的準確性會直接影響熱誤差補償精度和穩(wěn)健性[6]。目前機床熱誤差建模常采用的方法是多元線性回歸算法，該方法簡單快捷，且屬于無偏估計方法，故其模型具備較高的擬合精度[7]。但在數(shù)控機床熱誤差建模中，由于機床溫度場的時變性和非線性，各溫度傳感器之間不可避免地存在不同程度的共線性問題[8]，而共線性會對回歸分析產生嚴重影響，若直接將其用于數(shù)控機床熱誤差建模，會有損模型預測效果和穩(wěn)健性[9]。

為提高機床熱誤差補償模型的預測精度和穩(wěn)健性，本文對多元回歸無偏估計進行了演化，提出一種無偏估計拆分(split unbiased estimation，SUE)算法。該算法將建模過程分多步完成，每步只對一個自變量進行回歸分析，從而達到弱化自變量共線性、提高模型穩(wěn)健性的目的。筆者根據(jù)Leaderway-V450型數(shù)控機床在不同季度內的多批次熱誤差空轉數(shù)據(jù)，對無偏估計拆分算法和多元回歸算法進行了精度和穩(wěn)健性比對，驗證了無偏估計拆分算法在數(shù)控機床熱誤差建模中的高效性，為數(shù)控機床熱誤差補償建模的工程應用提供了參考依據(jù)。

1　熱誤差建模算法

1.1多元線性回歸算法

多元線性回歸模型是一種用統(tǒng)計方法尋求多輸入單輸出關系的模型[7]。其主要思想是基于最小二乘原理，計算出自變量和因變量的最佳相關參數(shù)進而建立模型。機床熱誤差的多元線性回歸模型是以多個關鍵溫度敏感點處的溫度值增量為自變量、熱變形量為因變量建立的。設數(shù)控機床溫度敏感點有k個，測量數(shù)據(jù)有n個，其通用表達式為

i=1,2,…,n

1.2無偏估計拆分算法

由于基于最小二乘原理的多元回歸無偏估計算法受自變量共線性影響嚴重，若直接將其用于處理具有共線性的問題，會有損熱誤差模型精度[9]，因此，本文對無偏估計算法進行了演化，提出一種用于抑制變量間共線性的無偏估計拆分算法。

假設原模型為Y=β0+β1x1+…+βkxk。其中，自變量x1，x2，…，xk對因變量Y的影響權重依次降低，且模型自變量之間存在共線性問題。

(4)最終根據(jù)k個自變量的回歸系數(shù)估計值和模型常數(shù)項，得到數(shù)控機床熱誤差無偏估計拆分預測模型：

由上述步驟可以清楚知道，無偏估計拆分算法把回歸系數(shù)估計過程分成了多步完成，每步只對一個變量進行回歸分析，故該算法能夠有效地避免自變量間的共線性問題。

2　熱誤差測量實驗

本文以Leaderway-V450型數(shù)控機床為實驗對象。由于該機床的X向和Y向為近似對稱結構，相比于Z向，其熱變形量較小,故為減少實驗工作量和簡化數(shù)據(jù)處理方式，本文僅對機床主軸Z向熱變形進行建模及預測。

2.1實驗裝置

本實驗選擇溫度傳感器DS18B20 (精度等級為0.5，最大分辨能力為0.0625 ℃)測量溫度數(shù)據(jù)；采用電感位移傳感器(精度等級為0.1)對Z向熱誤差進行測量。溫度傳感器的貼放位置以影響機床主軸Z向熱誤差的主要熱源附近為主，各傳感器的安放位置如表1所示。數(shù)控加工中心如圖1所示，溫度傳感器和電感位移傳感器分布位置如圖2所示。

表1　傳感器安放位置及作用

圖1　Leaderway-V450型數(shù)控加工中心

圖2　溫度傳感器和電感位移傳感器的安放位置

2.2實驗方案

根據(jù)上述實驗裝置，在2015年3月份和5月份，共測量獲得了6批次實驗數(shù)據(jù)。在實際測量時，主軸以恒定的轉速(2000 r/min、4000 r/min、6000 r/min)轉動，機床主軸每隔3 min停轉一次，實驗持續(xù)時間達到4 h以上。其中K1～K6批次數(shù)據(jù)的具體參數(shù)如表2所示，K1～K6批次的熱誤差曲線如圖3所示。

表2　實驗數(shù)據(jù)具體參數(shù)

圖3　K1～K6批次的熱誤差曲線圖

3　熱誤差建模及模型穩(wěn)健性分析

3.1MLR算法建模

采用傳統(tǒng)多元回歸算法建模時，首先要選擇用于建模的溫度敏感點。溫度敏感點的選擇，主要遵循互不相關策略和主因素策略[10]。本文采用模糊聚類結合灰色關聯(lián)度的方法[11]，計算K1～K6批次的溫度敏感點，結果如表3所示。

表3　K1～K6批次的溫度敏感點

由表3可知，各批次的溫度敏感點并不完全相同，此結論已在文獻[12]中被證明。以各批次數(shù)據(jù)的溫度敏感點為建模自變量，采用MLR算法，建立K1～K6批次的MLR模型，結果如下：

其中，ΔTi為溫度傳感器Ti的溫度值增量，yi為Ki批次數(shù)據(jù)的模型熱誤差預測值。

3.2SUE算法建模

由于SUE算法能夠有效地處理建模自變量間的共線性問題，故采用此算法建立熱誤差模型時，關于建模自變量的選擇，主要考慮主因素策略即可，即選擇對熱變形量有最大影響權重的溫度變量。為保證與MLR建模時自變量數(shù)量的一致性，本文采用簡單相關系數(shù)[13]，以各批次數(shù)據(jù)中對熱變形量的影響權重最大的兩個溫度變量作為建模自變量。K1～K6批次的計算結果如表4所示。

表4　K1～K6批次的建模自變量

根據(jù)SUE算法的建模原理，建立K1～K6批次的SUE模型，結果如下：

3.3MLR和SUE模型的穩(wěn)健性比對分析

根據(jù)上述建立的K1～K6批次的MLR和SUE模型，分別對K1～K6批次進行預測精度分析。本文以模型預測值和實測值的殘余標準差(記為S)作為評判模型精度高低的標準。其中，殘余標準差值越小，表示模型精度越高[14]。

通過計算，得到MLR模型對不同批次數(shù)據(jù)的預測精度結果，如表5所示。

表5　MLR模型預測精度結果　μm

注：Mi(i=1,2,…,6)為數(shù)據(jù)Ki建立的MLR模型。

由表5可知，MLR模型的預測標準差分布在1.03～26.79 μm之間，范圍很廣，這說明MLR模型的預測精度時高時低，穩(wěn)健性很差。

另外，通過計算得到SUE模型對不同批次數(shù)據(jù)的預測精度結果，如表6所示。

表6　SUE模型預測精度結果　μm

注：為便于下文的比較，本文將根據(jù)Ki批次數(shù)據(jù)建立的MLR模型和SUE模型均取名為Mi。

由表6可知，SUE模型的預測標準差分布在1.96～9.74 μm之間，分布范圍明顯縮小，這說明SUE模型的預測穩(wěn)健性得到了較大提高。

3.4同季度內的模型預測精度分析

對表5、表6中的MLR模型和SUE模型的預測精度進行進一步分析，得到以3月份數(shù)據(jù)建模來預測3月份數(shù)據(jù)、以5月份數(shù)據(jù)建模來預測5月份數(shù)據(jù)的模型預測精度均值Mn和離散標準差Sd，結果如表7所示。其中，如以3月份數(shù)據(jù)建立MLR模型，并預測3月份數(shù)據(jù)時，共得到9個預測標準差。對這9個預測標準差進行平均化和離散化，即分別得到Mn和Sd。表7中的其他數(shù)據(jù)同理得到。

表7　同季度內的MLR和SUE模型的預測精度 μm

由表7中數(shù)據(jù)得到MLR模型和SUE模型的Mn和Sd的比較結果，如表8所示。其中，SUE—MLR表示SUE模型和MLR模型預測精度(包括Mn和Sd)的差值。其相應值為正，說明SUE模型精度優(yōu)于MLR模型精度，且該值越大，表明SUE模型和MLR模型精度差異越大。

表8　同季度內的MLR與SUE模型預測精度差　μm

由表8可知，以3月份數(shù)據(jù)建模預測3月份數(shù)據(jù)時，SUE模型的Mn低于MLR模型的Mn，差值為1.5 μm，但SUE模型的Sd高于MLR模型的Sd約1 μm。這說明此時的SUE模型的平均預測精度略低于MLR模型，但其穩(wěn)健性略強于MLR模型。而以5月份數(shù)據(jù)建模預測5月份數(shù)據(jù)時，SUE模型的Mn和Sd均高于MLR模型相應值3 μm以上，即SUE模型的平均預測精度和穩(wěn)健性均優(yōu)于MLR模型。

3.5不同季度間的模型預測精度分析

根據(jù)表5、表6中的MLR模型和SUE模型預測精度，得到以3月份數(shù)據(jù)建模預測5月份數(shù)據(jù)、以5月份數(shù)據(jù)建模預測3月份數(shù)據(jù)的模型預測精度均值Mn和離散標準差Sd，結果如表9所示。

表9　不同季度間MLR和SUE模型的預測精度 μm

由表9中數(shù)據(jù)，得到MLR模型和SUE模型的Mn和Sd的比較結果，如表10所示。

表10　不同季度間MLR與SUE模型預測精度差 μm

由表10數(shù)據(jù)可知，對于不同季度之間的熱誤差數(shù)據(jù)的預測，SUE模型的平均預測精度要遠遠優(yōu)于MLR模型，且穩(wěn)健性也都強于MLR模型。與同季度內的模型預測效果相比，SUE算法在跨季度預測時的模型精度提升效果更明顯。

4　模型精度及穩(wěn)健性效果驗證

為驗證本文算法在實際機床熱誤差應用中的優(yōu)勢，按照2.1節(jié)所述實驗裝置，在不同季節(jié)內，對Leaderway-V450機床主軸空轉時的Z向熱誤差再次進行6批次數(shù)據(jù)測量。其中，6批次數(shù)據(jù)的具體參數(shù)如表11所示。

根據(jù)實驗獲得的熱誤差數(shù)據(jù)，建立其MLR和SUE的熱誤差模型，并分別對各批次數(shù)據(jù)進行預測精度分析，得到MLR模型和SUE模型的預測精度均值Mn和離散標準差Sd，結果如表12所示。

表11　實驗數(shù)據(jù)參數(shù)

表12　MLR模型和SUE模型預測精度　μm

根據(jù)表12中結果，進一步得到MLR模型和SUE模型的Mn和Sd的比較結果，如表13所示。

表13　MLR模型和SUE模型預測精度及穩(wěn)健性比對 μm

由表13可知，一方面，對于同季度內的熱誤差預測， SUE和MLR模型的Mn相差在-2～1 μm范圍內，而SUE模型的Sd均高于MLR模型的Sd，最大相差約3 μm；另一方面，對于不同季度之間的熱誤差預測，SUE模型的Mn和Sd均要高于MLR模型的相應值，Mn的差值在2～9 μm范圍內，Sd的差值在0～7 μm范圍內。因此，對于同季度內的熱誤差預測，SUE模型和MLR模型平均預測精度接近，而SUE模型的穩(wěn)健性要優(yōu)于MLR模型；而對于不同季度之間的熱誤差預測，SUE模型的平均預測精度和穩(wěn)健性均勝于MLR模型。這也說明了，對于一年四季條件下的熱誤差預測，SUE模型具有更好的適應性。

5　結論

在數(shù)控機床熱誤差建模補償應用中，建立能夠準確反映機床關鍵點溫升和熱變形之間的熱誤差模型，是軟件熱誤差補償?shù)年P鍵。由于機床溫度的復雜性，使得貼放在機床上的溫度傳感器之間具有不同程度的共線性關系。本文針對基于最小二乘原理的多元回歸無偏估計方法在處理具有共線性問題中的缺陷，對該方法進行演化，提出了一種無偏估計拆分算法，用于抑制建模自變量間的共線性。

本文對Leaderway-V450型數(shù)控加工中心主軸熱誤差分別建立了多元線性回歸模型和無偏估計拆分模型，研究結果顯示，無論是對于同季度內還是不同季度之間的熱誤差數(shù)據(jù)的預測，無偏估計拆分算法不僅保證了模型的高精度，而且具有更強的穩(wěn)健性，此優(yōu)勢在不同季度之間的熱誤差預測中更為明顯。本文工作為數(shù)控機床熱誤差補償技術提供了一種有效的建模方法，豐富了熱誤差建模理論，為實際工程應用提供了參考。

[1]RameshR，MannanMA，PooAN.ErrorCompensationinMachineTools—aReview，PartII：ThermalErrors[J].InternationalJournalofMachineToolsandManufacture，2000，40(9)：1257-1284.

[2]BryanJB.InternationalStatusofThermalErrorResearch[J].CIRPAnnals—ManufacturingTechnology，1990，39(2):645-656.

[3]AronsonRB.WaragainstThermalExpansion[J].ManufacturingEngineering，1996，116(6)：45-50.

[4]倪軍.數(shù)控機床誤差補償研究的回顧及展望[J] .中國機械工程，1997，8(1) ：29-33.

NiJun.ReviewandForecastforThermalErrorsCompensationofMachineTools[J] .ChinaMechanicalEngineering，1997，8(1) ：29-33.

[5]任永強，楊建國，羅磊，等.基于外部機床坐標系偏移的熱誤差實時補償[J] .中國機械工程，2003， 14(14)：1243-1245.

RenYongqiang，YangJianguo，LuoLei，etal.Real-timeThermalErrorCompensationBasedonShiftofExternalMachineCoordinateSystem[J] .ChinaMechanicalEngineering，2003， 14(14)：1243-1245.

[6]MiaoEnming，GongYayun，NiuPengcheng，etal.RobustnessofThermalErrorCompensationModelingModelsofCNCMachineTools[J].InternationalJournalofManufacturingTechnology，2013，69(9)：2593-2603.

[7]王惠文，孟潔.多元線性回歸的預測建模方法[J] .北京航空航天大學學報，2007，33(4)：500-504.

WangHuiwen，MengJie.PredictiveModelingonMultivariateLinearRegression[J].JournalofBeijingUniversityofAeronauticsandAstronautics，2007，33(4)：500-504.

[8]沈金華.數(shù)控機床誤差補償關鍵技術及其應用[D].上海交通大學，2008.

[9]嚴忠，岳朝龍，劉竹林.計量經濟學[M] .合肥：中國科學技術大學出版社，2005.

[10]范金梅，許黎明，趙曉明，等.機床熱誤差補償中溫度傳感器布置策略的研究[J] .儀器儀表學報，2005，26(8)：83-84.

FanJinmei，XuLiming，ZhaoXiaoming,etal.SensorPlacementStrategyforThermalErrorCompensationonMachineTools[J].ChineseJournalofScientificInstrument，2005，26(8)：83-84.

[11]MiaoEnming，NiuPengcheng，F(xiàn)eiYetai，etal.SelectingTemperature-sensitivePointsandModelingThermalErrorsofMachineTools[J].JournaloftheChineseSocietyofMechanicalEngineers，2014，32(6) ：559-565.

[12]MiaoEnming，LiuYi，LiuHui，etal.StudyontheEffectsofChangesinTemperature-sensitivePointsonThermalErrorCompensationModelforCNCMachineTool[J].InternationalJournalofMachineTools&Manufacture，2015，97：50-59.

[13]劉順忠.數(shù)理統(tǒng)計理論、方法、應用和軟件計算[M].武漢：華中科技大學出版社，2005.

[14]費業(yè)泰.誤差理論與數(shù)據(jù)處理[M].5版.北京：機械工業(yè)出版社，2004.

(編輯盧湘帆)

Applications of Split Unbiased Estimation Algorithm in Thermal Error Modeling of CNC Machining Center

Miao EnmingLiu YiYang SixuanChen Weikang

Hefei University of Technology,Hefei,230009

Considering the distortion problems of estimated model parameters when dealing with the modeling of multi-collinear thermal error data of CNC machine by the multiple linear regression without offset estimation algorithm, a split unbiased estimation algorithm used for dealing with collinear data was proposed herein. The algorithm divided the modeling process into several steps, and in each step only one independent variable was regressed so as to avoid the collinear problem. In addition, taking Leaderway-V450 machining center as the experimental object, according to batches of idling experimental data which were measured on different seasons, the accuracy and robustness of SUE algorithm were compared with that of MLR algorithm. The results show that, the accuracy and robustness of SUE model is much better than that of MLR model, especially for forecasting these data on different seasons, the advantages of this algorithm is more obvious.

CNC machine tool; thermal error; multiple linear regression(MLR); split unbiased estimation(SUE) algorithm; robustness

2015-11-02

國家自然科學基金資助重大項目(51490660，51490661)；國家自然科學基金資助項目(51175142)

TH161.5

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.16.001

苗恩銘，男，1971年生。合肥工業(yè)大學儀器科學與光電工程學院教授、博士研究生導師。主要研究方向為精密機械工程、精度理論、數(shù)控機床熱誤差補償、機械熱魯棒性結構設計理論與應用技術。發(fā)表論文50余篇。劉義，男，1994年生。合肥工業(yè)大學儀器科學與光電工程學院碩士研究生。楊思炫，女，1991年生。合肥工業(yè)大學儀器科學與光電工程學院碩士研究生。陳維康，男，1993年生。合肥工業(yè)大學儀器科學與光電工程學院碩士研究生。