張孝彩，張 毅

（1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州215009；2.蘇州科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州215011）

基于分?jǐn)?shù)階模型的完整非保守系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性與守恒量

張孝彩1，張 毅2*

（1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州215009；2.蘇州科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州215011）

研究基于分?jǐn)?shù)階模型的完整非保守系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性與守恒量。首先，基于分?jǐn)?shù)階Hamilton原理導(dǎo)出了分?jǐn)?shù)階d'Alembert-Lagrange原理并建立分?jǐn)?shù)階Euler-Lagrange方程，研究一般無限小變換下的Lie對(duì)稱性，建立確定方程，給出分?jǐn)?shù)階完整非保守系統(tǒng)Lie對(duì)稱性的定義和判據(jù)；其次，給出Lie對(duì)稱性的分?jǐn)?shù)階Noether型守恒量存在的條件及形式；最后，舉例說明結(jié)果的應(yīng)用。

分?jǐn)?shù)階模型；非保守系統(tǒng)；Lie對(duì)稱性；Noether型守恒量

Lie對(duì)稱性研究的是微分方程在無限小群變換下的不變性。Lutzky［1］于1979年首次將微分方程的Lie理論應(yīng)用于力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，開始研究動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性與守恒量。趙躍宇［2］于1994年把Lie對(duì)稱性理論拓展至非保守力學(xué)系統(tǒng)。梅鳳翔［3］全面系統(tǒng)地研究了約束力學(xué)系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性與守恒量。關(guān)于Lie對(duì)稱性與守恒量的研究已經(jīng)取得了豐碩成果［4-10］。

1996年，Riewe［11］將分?jǐn)?shù)階微積分應(yīng)用于非保守系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模。此后，Agrawal［12］，Atanackovic［13］，Torres［14］，Luo［15］，Zhang［16-18］等基于分?jǐn)?shù)階模型開展了力學(xué)系統(tǒng)的變分問題及其對(duì)稱性的研究。但研究主要限于分?jǐn)?shù)階Noether對(duì)稱性與守恒量，而分?jǐn)?shù)階Lie對(duì)稱性的研究較少。Fu［19-21］等研究了分?jǐn)?shù)階Hamilton系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階非完整系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性和守恒量。Song和Zhang［22］研究了分?jǐn)?shù)階Birkhoff系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性及其攝動(dòng)理論。筆者將進(jìn)一步研究分?jǐn)?shù)階完整非保守系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性與守恒量。

1 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義和性質(zhì)

該節(jié)介紹文中將涉及到的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義及其有關(guān)性質(zhì)。

設(shè)f（t）是區(qū)間［a，b］上的連續(xù)可積函數(shù)，則Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階左導(dǎo)數(shù)定義為

Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階右導(dǎo)數(shù)為

其中Γ（*）是Gamma函數(shù)，α是導(dǎo)數(shù)的階，且m-1≤α＜m，m為正整數(shù)。如果α是整數(shù)，上述定義成為整數(shù)階導(dǎo)數(shù)，有

當(dāng)整數(shù)階導(dǎo)數(shù)和分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)復(fù)合運(yùn)算時(shí)，有

若f和g是［a，b］上的光滑函數(shù)，t∈［a，b］，且成立f（a）=0或g（b）=0，則在Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)下，有關(guān)系式［11］

2 分?jǐn)?shù)階Lie對(duì)稱性及其Noether型守恒量

2.1 分?jǐn)?shù)階Euler-Lagrange方程

且滿足

對(duì)L求變分，得到

故式（6）可寫為

利用式（5）和式（8）得

將式（11）代入式（10），有

由積分區(qū)間［a，b］的任意性，得到

式（13）可稱為分?jǐn)?shù)階的d'Alembert-Lagrange原理。對(duì)于完整力學(xué)系統(tǒng)，δqs（s=1，…，n）互相獨(dú)立，于是有

式（14）可稱為基于分?jǐn)?shù)階模型的完整非保守系統(tǒng)的Euler-Lagrange方程。當(dāng)不存在分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)，方程（14）退化為經(jīng)典的完整非保守系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。

假設(shè)系統(tǒng)非奇異，即設(shè)

則由式（14）可求出下面的形式

2.2 系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性

引入無限小變換

其展開式為

其中ε為小參數(shù)，ξ0，ξs稱為無限小變換的生成元。

引入無限小生成元向量

其一次擴(kuò)展為

二次擴(kuò)展為

根據(jù)微分方程在無限小變換下的不變性理論知，方程（16）在無限小變換（18）下的不變性表為

式（22）等價(jià)于如下方程

稱方程（23）為L(zhǎng)ie對(duì)稱性的確定方程。于是有

定義1 如果無限小變換（18）的生成元ξ0，ξs滿足確定方程（23），則相應(yīng)不變性稱為基于分?jǐn)?shù)階模型的完整非保守系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性。

2.3 Lie對(duì)稱性導(dǎo)致的Noether型守恒量

Lie對(duì)稱性不一定導(dǎo)致守恒量。下面的定理給出基于分?jǐn)?shù)階模型的完整非保守系統(tǒng)（14）的Lie對(duì)稱性導(dǎo)致Noether型守恒量的條件及其形式。

則完整非保守系統(tǒng)（14）的Lie對(duì)稱性導(dǎo)致如下形式的Noether型守恒量

證明 由于

積分之，得到守恒量式（25）。

3 算例

例1 系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

其中r為阻力系數(shù)，i為虛數(shù)單位，式中兩項(xiàng)為動(dòng)能和線性摩擦力能量［11］。研究系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性和守恒量。

首先，建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。由式（14）得

注意到

易知

故可得

其次，建立Lie對(duì)稱性的確定方程，并求解。由式（23）得

方程（31）的解為

然后，建立結(jié)構(gòu)方程，并求解規(guī)范函數(shù)。由式（24）得

將生成元（32）、（33）代入（34），分別得到

最后，求Lie對(duì)稱性導(dǎo)致的Noether守恒量。依據(jù)定理1，將式（32）、（35）和式（33）、（36）分別代入守恒量式（25），可得

如果系統(tǒng)不含有分?jǐn)?shù)階項(xiàng)，則式（37）、（38）退化為

例2 力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)和廣義力為

其中，質(zhì)量m和阻尼系數(shù)c均為常數(shù)。

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程給出

由確定方程式（23）得

式（43）有解

由結(jié)構(gòu)方程（24）得

將式（44）代入式（45）得

由式（44）和（46），依據(jù)定理1，得

式（47）是由系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性（44）導(dǎo)致的Noether守恒量。如果系統(tǒng)不含有分?jǐn)?shù)階項(xiàng)，則式（47）給出

這是經(jīng)典的完整非保守系統(tǒng)Lie對(duì)稱性導(dǎo)致的Noether守恒量。

4 結(jié)語

［1］LUTZKY M.Dynamical symmetries and conserved quantities［J］.Journal of Physics A：Mathematical and General，1979，12（7）：973-981.

［2］趙躍宇.非保守力學(xué)系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性和守恒量［J］.力學(xué)學(xué)報(bào)，1994，26（3）：380-384.

［3］梅鳳翔.李群和李代數(shù)對(duì)約束力學(xué)系統(tǒng)的應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，1999.

［4］梅鳳翔，尚玫.一階Lagrange系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性與守恒量［J］.物理學(xué)報(bào)，2000，49（10）：1901-1903.

［5］梅鳳翔.包含伺服約束的非完整系統(tǒng)Lie對(duì)稱性與守恒量［J］.物理學(xué)報(bào).2000，49（7）：1207-1210.

［6］張毅，梅鳳翔.單面完整約束力學(xué)系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性研究［J］.科學(xué)通報(bào)，2000，45（4）：353-356.

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［23］梅鳳翔.分析力學(xué)（下卷）［M］.北京：北京理工大學(xué)出版社，2013.

責(zé)任編輯：謝金春

The Lie symmetry and conserved quantity for holonomic non-conservative systems based on fractional models

ZHANG Xiaocai1，ZHANG Yi2
（1.School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China；2.School of Civil Engineering，SUST，Suzhou 215011，China）

In this paper，we studied the Lie symmetry and conserved quantity for holonomic non-conservative systems based on fractional models.Firstly，we deduced the fractional principle of d'Alembert-Lagrange from the fractional Hamilton principle and established the fractional Euler-Lagrange equations.The Lie symmetry under the general infinitesimal transformations was investigated and its determination equations were established.Moreover，the definition and criterion of the Lie symmetry for the fractional holonomic non-conservative systems were given.Secondly，we provided the existence condition and the form of the Noether conserved quantity deduced from the Lie symmetry.Lastly，two examples were given to illustrate the application of the results.

fractional models；non-conservative systems；Lie symmetry；Noether conserved quantity

O316 MR（2000）Subject Classification：70H33；70F25

A

1672-0687（2016）02-0008-06

2015-07-06

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11272227）；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目（KYZZ_0350）；蘇州科技學(xué)院研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目（SKCX14_058）

張孝彩（1988-），女，河南駐馬店人，碩士研究生，研究方向：力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法。*通信聯(lián)系人：張 毅（1964-），男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail：zhy@mail.usts.edu.cn。