馮鵬濤， 沈自飛

（浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華　321004）

一類(lèi)漸近線性薛定諤方程的基態(tài)解和多解的存在性*1

馮鵬濤， 沈自飛

（浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華321004）

研究了一類(lèi)擬線性薛定諤方程基態(tài)解的存在性和多解性問(wèn)題，其中方程的非線性項(xiàng)是一個(gè)周期的、漸近線性的函數(shù)，且滿足單調(diào)性條件.通過(guò)運(yùn)用Nehari流形方法獲得方程的基態(tài)解的存在性，并且當(dāng)非線性項(xiàng)具奇性時(shí)，得到了方程無(wú)窮多幾何不同解的存在性.

擬線性薛定諤方程；基態(tài)解；漸近線性；Nehari流形

0　引言

考慮如下形式的擬線性薛定諤方程：

式（1）中：N≥3；函數(shù)V和h關(guān)于x1，x2，…，xN是周期的，并且h是漸近線性的，滿足單調(diào)性條件.這類(lèi)方程源于數(shù)學(xué)物理的多個(gè)分支中.最近，形如h（x，u）=|u|p-1u的非線性項(xiàng)（其中4≤p+1＜4N/（N-2），N≥3）是研究的焦點(diǎn).最初的存在性結(jié)果是由文獻(xiàn)［1］給出的，作者運(yùn)用約束極小化方法，證明了方程正基態(tài)解的存在性；文獻(xiàn)［2］通過(guò)變量替換，將擬線性問(wèn)題轉(zhuǎn)變成半線性的問(wèn)題，運(yùn)用山路引理，在Olicz空間中證明了對(duì)自治情形h（x，u）=u3正解的存在性；文獻(xiàn)［3］通過(guò)使用對(duì)偶方法和文獻(xiàn)［2］中變量替換的方法，在Sobolev空間中證明了擬線性方程的非線性項(xiàng)是自治和非自治情形時(shí)正解的存在性；文獻(xiàn)［4］則在Olicz空間中考慮在原點(diǎn)處h（s）～s和在無(wú)窮遠(yuǎn)處h（s）～s3的解的存在性；文獻(xiàn)［5］考慮了情形下的方程解的存在性問(wèn)題；文獻(xiàn)［6］考慮了半線性問(wèn)題）情形下方程解的存在性問(wèn)題.更多的結(jié)果可參閱文獻(xiàn)［7-10］.受到上述結(jié)果的啟發(fā)，本文考慮（x）的情形，主要運(yùn)用文獻(xiàn)［6］的方法證明了在Sobolev空間中基態(tài)解和多解的存在性.

下面給出方程（1）中泛函V和h的假設(shè)：

（h1）h是連續(xù)的，關(guān)于x1，x2，…，xN是以1為周期的函數(shù)；

（h2）當(dāng)u→0時(shí)，關(guān)于x一致地有h（x，u）=o（u）；

（h3）對(duì)于任意的x∈RN，存在ψ（x）＞V（x），使得當(dāng)|u|→∞時(shí)，h（x，u）/u3→ψ（x），其中ψ是連續(xù)的，關(guān)于x1，x2，…，xN是以1為周期的函數(shù)；

（h4）在（-∞，0）和（0，+∞）中，映射：u|→h（x，u）/u3是嚴(yán)格增的.

本文的主要結(jié)果是：

定理1如果函數(shù)h，V滿足假設(shè)（V）和（h1）～（h4），那么方程（1）存在一個(gè)基態(tài)解；并且如果h關(guān)于u是奇的，那么方程（1）存在無(wú)窮多對(duì)幾何不同解±u.方程（1）的能量泛函是

其中，H（x，u）=∫u0h（x，s）d s.事實(shí)上，由于方程（1）中非齊次項(xiàng)Δ（u2）u的出現(xiàn)，其對(duì)應(yīng)的泛函J在空間H1（RN）上定義非良好.因此，不能直接使用變分方法得到泛函的臨界點(diǎn)，本文采用文獻(xiàn)［2-3］的方法克服這個(gè)困難.

符號(hào)。記作ZN在空間H（RN）上的作用，其定義為

由假設(shè)（V）和（h1）知：如果u0是方程（1）的解，那么對(duì)于任意的k∈ZN，k。u0也是方程的解.

稱(chēng)集合R（u0）：=｛k*u0：k∈ZN｝為在ZN作用下的軌道.如果對(duì)于任意的泛函F存在一個(gè)臨界點(diǎn)u，并且F是ZN不變的，即F（k。u）=F（u），那么稱(chēng)R（u0）為F的臨界軌道；如果u1，u2是方程（1）的2個(gè)解，且R（u1）≠R（u2），那么稱(chēng)它們是幾何不同的.為了陳述方便，作如下記號(hào)：

1）記C，C1，C2，…為正常數(shù)；

2）記BR為中心在原點(diǎn)，半徑為R的開(kāi)球；

3）對(duì)于1≤s≤∞，記LP（RN）為普通的Lebesgue空間，賦予如下范數(shù)：

4）記E為Sobolev空間H1（RN），S是E中的單位球.

1　等價(jià)變分問(wèn)題

由于能量泛函J在空間H1（RN）上定義非良好，所以為了克服這個(gè)困難，作變量替換v=f-1（u），

其中f滿足

下面給出變量替換f：R→R的性質(zhì).

引理1［2-3］ 泛函f（t）和f＇（t）有如下性質(zhì)：

1）f是唯一的，可逆的，并且f∈C∞（R）；

2）對(duì)于任意的t∈R，|f＇（t）|≤1；

3）對(duì)于任意的t∈R，|f（t）|≤|t|；

8）存在常數(shù)C，使得

根據(jù)引理1，可以得到下面推論：

推論1泛函f有如下性質(zhì)：

1）對(duì)于任意的t＞0，泛函f（t）f＇（t）t-1是遞減的；

2）對(duì)于任意的t＞0，泛函f 3（t）f＇（t）t-1是遞增的.

經(jīng)過(guò)變量替換以后，J（u）變成如下形式：

在假設(shè)（V）和（h1）～（h3）下，I（v）在空間E上是定義良好的，并且I∈C1（E，R），泛函I的臨界點(diǎn)是對(duì)應(yīng)的Euler-Lagrange方程

的弱解.如果v∈C2（RN）∩H1（RN）是泛函I的臨界點(diǎn)，那么u=f（v）是方程（1）的古典解.這樣的過(guò)程是可逆的.因此，為了獲得方程（1）的古典解，只需尋找泛函I的C2臨界點(diǎn).

2　主要結(jié)果的證明

由假設(shè)（V）和（h1）可知，I是ZN不變的.對(duì)于任意的v，φ∈E，易知

記M：=｛v∈E｛0｝：〈I＇（v），v〉=0｝為泛函I的Nehari流形.在假設(shè)（V）和（h1）～（h4）下并不能確定M是否是C1的，因此，不能在M上直接使用極小和極大理論.為了克服這個(gè)困難，本文采用文獻(xiàn)［5-6］的方法.

由假設(shè)（h2）和（h3）可知，對(duì)每個(gè)ε＞0，存在常數(shù)C，使得

式（3）中：2＜p＜2×2*；2*=2N/（N-2），N≥3.

對(duì)于t＞0，設(shè)

令

則對(duì)于任意的x∈RN，由ψ（x）-V（x）＞0可知，集合Q非空.

引理21）對(duì)于v∈Q，存在唯一的tv＞0，使得當(dāng)0＜t＜tv時(shí)，g＇（t）＞0；當(dāng)t＞tv時(shí)，g＇（t）＜0；當(dāng)且僅當(dāng)t=tv時(shí)，tv∈M.

2）如果v?Q，那么對(duì)于任意的t＞0，tv?M.

證明1）由Lebesgue控制收斂定理、假設(shè)（h2）和（h3）及引理1中的3），4）可知：

因此，h存在正的最大值.又h＇（t）=0等價(jià)于

由假設(shè)（h4）和推論1可知，上式右端是單調(diào)遞增的，結(jié)論得證.由h＇（t）=t-1〈I＇（tv），tv〉得，當(dāng)且僅當(dāng)t=tv時(shí)，tv∈M.

2）如果對(duì)于t＞0，tv∈M，那么〈I＇（tv），v〉=0，即

由假設(shè)（h3）、假設(shè)（h4）和推論3可知

因此，v∈Q，與條件矛盾.引理2證畢.

2）對(duì)于所有的v∈M，‖v‖2≥2c.

證明1）由式（3）和Sobolev不等式知，如果ρ充分小，那么又對(duì)于每個(gè)v∈M，存在s＞0，使得sv∈sρ，且I（tvv）≥I（sv），由引理2易得

2）對(duì)于每個(gè)v∈M，根據(jù)假設(shè)（h2）、假設(shè)（h3）及引理1中的3）可知RNV（x）v2d x.

引理3證畢.

引理4所有的PS序列｛vn｝?M是有界的.

證明用反證法證明.假設(shè)存在一個(gè)序列｛vn｝?M，當(dāng)n→∞時(shí)，有‖vn‖→∞，并且對(duì)于任意的d∈［c，∞），有I（vn）≤d，記?n：=vn/‖vn‖.選?。?n｝中一個(gè)子列，仍記為｛?n｝，使得?n??，并且在RN中，幾乎處處?n→?.選擇yn∈RN，使得

因?yàn)镮和M是ZN不變的，所以可以假設(shè)yn在RN中是有界的.如果

那么根據(jù)Lions引理可得，在Lr（RN）中，當(dāng)n→∞時(shí)，有?n→0，其中2＜r＜2×2*.則由式（3）知，對(duì)于任意的s∈R，當(dāng)n→∞時(shí)，有∫RNH（x，s?n）→0.根據(jù)引理1中的4）和引理2可得

當(dāng)s足夠大時(shí)，因?yàn)樵贚2 loc（RN）中，當(dāng)n→∞時(shí)，有?n→?，?≠0，所以|vn|→∞，矛盾.因此，式（5）不成立.

由于當(dāng)n→∞時(shí)，有〈I＇（vn），φ〉→0，因此對(duì)于任意的φ∈C∞0（RN），有

兩邊同時(shí)除以‖vn‖可得

根據(jù)Lebesgue控制收斂定理、假設(shè)（h3）及推論1可得

因此，?≠0并且-Δ?+V（x）?=ψ（x）?.這是不可能的，因?yàn)樗阕?Δ+V-q有唯一的絕對(duì)連續(xù)譜.引理4證畢.

引理5如果V是Q的一個(gè)緊子集，那么存在R＞0，使得在（R+V）BR（0）上有I≤0.

證明用反證法證明.不失一般性，假設(shè)V?S，存在vn∈V，記ωn：=tnvn，其中vn→v，tn→∞，且I（ωn）≥0，可得

得出矛盾.引理5證畢.

記W：=Q∩S，定義映射k：W→M為k（w）：=tww，其中，tw的取值由引理3得到.

引理6如果vn∈W，vn→v0∈?W，并且tnvn∈M，那么I（tnvn）→∞.

證明因?yàn)関0∈?W，所以

由引理1中的6）和推論1可得

因此，

引理6證畢.

引理7［5，11］ 如果k是W和M之間的同胚映射，那么其逆映射為

下面考慮泛函Φ：W→R

為了陳述方便，作如下記號(hào)

由于h關(guān)于u是奇性的，因此可以選取T的子集F，使得F=-F，并且對(duì)于每個(gè)軌跡R（w）?T在集合F中存在唯一的代表元素.運(yùn)用反證法，可以證明集合F是無(wú)限的.

引理8［5，11］ 1）Φ∈C1（W，R）且對(duì)于任意的z∈Tw（W），有〈Φ＇（w），z〉=‖k（w）‖〈I＇（k（w）），z〉，其中Tw（W ）表示在W上對(duì)應(yīng)于w的切叢.

2）如果｛wn｝是Φ的PS序列，那么｛k（wn）｝是I的PS序列；如果｛vn｝?M是I的有界PS序列，那么｛k-1（vn）｝是Φ的PS序列.

3）w是Φ的臨界點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)k（w）是I的一個(gè)非平凡臨界點(diǎn).泛函I和Φ對(duì)應(yīng)的值是相同的，并且

4）Φ是偶的.

為了陳述方便，作如下記號(hào)：

引理9［5］ 設(shè)d≥c，如果｛?1n｝，｛?2n｝?Φd是Φ的2個(gè)PS序列，那么當(dāng)n→∞時(shí)，‖?1n?2n‖→0，或，其中ρ（d）僅與d的選取有關(guān)，與PS序列的選取無(wú)關(guān).

定義η：G→WT為：

其中：G：=｛（t，w）：w∈WT；T-（w）＜t＜T+（w）｝，（T-（w），T+（w））表示函數(shù)t|→η（t，w）的取值范圍.易知，泛函Φ存在一個(gè)偽梯度向量場(chǎng)H：WT→TW，其中TW表示W(wǎng)上的切叢.

下面給出泛函Φ和η的性質(zhì).設(shè)P?W，δ＞0，定義Wδ（P）：=｛w∈W：dist（w，P）＜δ｝.

引理10［11］設(shè)d≥c，則對(duì)任意的δ＞0，存在ε=ε（δ）＞0，使得

1）Φd+εd-ε∩T=Td；

定理1的證明由引理6和Ekeland變分原理知，在W 中存在序列｛vn｝，使得I（vn）在E中有界，且〈I＇（vn），vn〉→0.再由引理4和引理5可得方程（1）的基態(tài)解存在.當(dāng)T+（w）＜∞時(shí)，=w0存在，由引理6可知，w0??W，則由文獻(xiàn)［11］中定理1.2可得方程（1）存在無(wú)窮多對(duì)幾何不同解.定理1證畢.

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（責(zé)任編輯陶立方）

Ground state solution and multiple solutions to asym ptotically linear Schr?dinger equations

FENG Pengtao， SHEN Zifei
（College of Mathematics，Physics and Information Engineering，Zhejiang Normal University，Jinhua 321004，China）

Itwas discussed the existence and multiplicity of ground state solution for a Schr?dinger equation，where its nonlinearity was periodic asymptoticaly linear and satisfied amonotonicity condition.The generalized Neharimanifold methodswere applied to obtain a ground state solution and infinitelymany geometrically distinct solutionswhen the nonlinearity was odd.

quasi-linear Schr?dinger equation；ground state solution；asymptotically linear；Neharimanifold

O175.25

A

1001-5051（2016）02-0139-07

10.16218/j.issn.1001-5051.2016.02.003

*收文日期：2015-06-07；2015-06-21

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11271331）

馮鵬濤（1988-），男，河南周口人，碩士研究生.研究方向：非線性泛函分析.

沈自飛.E-maitl：szf@zjnu.cn