趙俊燕， 朱相榮

（浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華　321004）

參考文獻(xiàn)：

單位方體上沿曲面的振蕩積分的Sobolev有界性*1

趙俊燕， 朱相榮

（浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華321004）

研究了歐氏空間R2中單位方體Q2=［0，1］2上沿曲面（t，s，tksj）的振蕩奇異積分算子

超奇異振蕩積分算子；Sobolev空間；有界性；多參數(shù)

where（t，s，tksj）is a surface on R3，β1＞α1≥0，β2＞α2≥0 and（k，j）∈R2.As applications，some Sobolev boundedness results of rough singular integral operators on the product spaceswere obtained.

0　引言

在單參數(shù)的情形，設(shè)b＞a≥0，（x，y）∈R2，定義沿曲線（t，tk）的振蕩奇異積分算子

算子Ta，b在調(diào)和分析及其相關(guān)主題的研究中有著深刻的背景，它與Hilbert變換、沿曲線的Hilbert變換及強(qiáng)奇異積分算子密切相關(guān)［1-2］.歷史上，Zielinski［3］首先研究了這類沿曲線的帶振蕩因子的超Hilbert變換，并證明了：若k=2，則Ta，b在L2上有界當(dāng)且僅當(dāng)b≥3a.這一結(jié)果隨后被Chandarana［4］改進(jìn)為：若k≥2，則Ta，b在L2上有界當(dāng)且僅當(dāng)b≥3a.同時(shí)，文獻(xiàn)［4］還證明了：若b＞3a且1+則Ta，b是Lp（R2）上的有界算子.文獻(xiàn)［5］改進(jìn)了參數(shù)p的范圍，并且給出了新的證明.進(jìn)一步的研究可參見文獻(xiàn)［6-7］等.另一方面，受單參數(shù)情形的啟發(fā)，葉曉峰［8］研究了單位正方形上的算子

其中：β1＞α1≥0；β2＞α2≥0.進(jìn)一步的研究可參見文獻(xiàn)［10］等.文獻(xiàn)［9］的結(jié)論可概括為以下定理：

定理1［9］假定β1＞3α1≥0，β2＞3α2≥0且對(duì)任意的α=（α1，α2），β=（β1，β2），

1）若（k，j）≠（-β1，-β2）且

＜γ，則‖Tα，βf‖Lp（R3）≤C‖f‖Lp（R3）；

2）若（k，j）=（-β1，-β2），則Tα，β不是L2（R3）到L2（R3）有界的.

定理2［9］假定β1＞2α1≥0，β2＞2α2≥0或者j=1，k∈R.則

設(shè)

則

式（1）中，

當(dāng)α1，α2，β1，β2＞0時(shí)，定義新的算子

且當(dāng)β1＞α1＞0，β2＞α2＞0時(shí)滿足

本文研究了算子Tα，β在非齊次Sobolev空間上的有界性.首先回顧非齊次Sobolev空間的相關(guān)概念.

設(shè)s∈R，f∈S'（Rn），Bessel位勢(shì)Bs是作用在f上的卷積算子，其定義可由如下Fourier變換的形式給出：

類似地，Riesz位勢(shì)Rs是作用在f上的卷積算子，其定義也可由Fourier變換的形式給出：

定義1［11］設(shè)s為實(shí)數(shù)，1＜p＜∞.非齊次Sobolev空間（Rn）是由所有滿足Bs（u）∈Lp（Rn）的廣義函數(shù)u∈S'（Rn）組成的空間，其范數(shù)定義為‖u‖Lps （Rn）=‖Bs（u）‖Lp（Rn）.齊次Sobolev空間是由所有滿足下列性質(zhì)的緩增分布u∈S'（Rn）所組成的空間：

當(dāng)s＞0時(shí)，

當(dāng)k為非負(fù)整數(shù)時(shí)，

下面給出本文的主要結(jié)果：

在此基礎(chǔ)上，本文還建立了Tα，β從（R3）到Lp（R3）的有界性.

定理4設(shè)α1，α2，β1，β2均為正數(shù)，（k，j）≠（-β1，-β2），

其中：l=min｛1，k｝；m=min｛0，j｝.對(duì)任意的r≥0，若則存在不依賴于f∈S（R3）的常數(shù)C，使得

注2當(dāng)r=0時(shí)，定理4的結(jié)果覆蓋了定理1的1）.

由定理3和定理4不難得到以下推論：

推論1設(shè)β1＞3α1≥0，β2＞3α2≥0，（k，j）≠（-β1，-β2），并令

相應(yīng)于定理2，可得到如下結(jié)果：

為了敘述方便，本文僅給出定理3和定理4的證明，定理5的證明類似可得，限于篇幅，不再贅述.同時(shí)將推論1應(yīng)用于乘積空間上的某類粗糙核奇異積分算子的Sobolev有界性問(wèn)題.此外，表示指標(biāo)p的對(duì)偶指標(biāo).為方便起見，本文用字母C，C0表示不依賴于所涉及空間的主要參數(shù)的正常數(shù)，且其值也未必處處相同.表達(dá)式A～B是指存在常數(shù)C，C0，使得表示存在常數(shù)C，使得f≤Cg.

1　引理

首先介紹一個(gè)簡(jiǎn)單的引理，它將在定理3的證明中起到很好的作用.

其中ψ（t，s）=tξ1+t-β1s-β2+ξ2s+ξ3tksj.關(guān)于Jν，s（ξ）有如下估計(jì)：

引理1［9］存在正常數(shù)C，使得

其中，C只依賴于指標(biāo)β1，β2，k，j及函數(shù)Ω，與ν和ξ無(wú)關(guān).

接下來(lái)介紹另一個(gè)引理，它對(duì)的情形下定理4的證明非常重要.

引理2對(duì)任意的1＜q＜2及一切正整數(shù)N，有

式（3）中，Iν，sf的定義如前所述.

證明先驗(yàn)證N=1時(shí)式（3）成立.由分部積分得

式（4）中：

其中，η=（η1，η2，η3）=（2-ν，0，2-νksjktk-1）.現(xiàn)分別估計(jì)I和II.對(duì)II，由Minkowski不等式可知

對(duì)I，由Minkowski不等式顯然有

對(duì)I運(yùn)用S-1次分部積分，重復(fù)以上步驟，再取充分大的S，使得

從而

N=1的情形由此得證.

假設(shè)引理2中的估計(jì)對(duì)N-1成立，這意味著

式（5）中，N為不小于2的正整數(shù).根據(jù)歸納假設(shè)只需證明式（3）對(duì)N仍成立.類似于N=1的情形，運(yùn)用分部積分得

由歸納假設(shè)（5）知，對(duì)II有如下估計(jì)：

類似地，對(duì)I作S-1次分部積分，再取充分大的S，使得

2　定理3　的證明

證明由式（2）應(yīng)用Minkowski不等式得

應(yīng)用Plancherel定理得，

結(jié)合式（9）和式（10），要證明定理3，只需說(shuō)明關(guān)于ξ∈R3一致成立即可.為此需要以下命題：

命題1對(duì)任意的r＞0，存在與ξ和ν無(wú)關(guān)的常數(shù)C＞0，使得

首先說(shuō)明如何利用命題1證明定理3，命題1的證明將置于本節(jié)最后.

進(jìn)而，由Plancherel定理有

由此可得

關(guān)于ξ∈R3一致成立.由此，當(dāng)時(shí)α，β是從（R3）到L2（R3）的有界算子.定理3證畢.

最后給出命題1的證明.對(duì)任意的r＞0，存在自然數(shù)τ，滿足τ-1＜r≤τ.下面對(duì)τ運(yùn)用歸納法來(lái)證明.

式（15）中：

由引理1得

注意到l=min｛1，k｝，m=min｛0，j｝，|ξi|≤|ξ|，i=1，2，3.于是

對(duì)III重復(fù)上述步驟，并繼續(xù)分部積分N-1次得

由引理1，可取充分大的整數(shù)N，使得

從而得到

由式（15）、式（17）和式（18）可得

式（19）結(jié)合r=0時(shí)的估計(jì)（16）得，對(duì)一切0≤r≤1，有

第2步，假設(shè)命題1對(duì)滿足τ-1＜r≤τ的r均成立，其中τ為不小于2的正整數(shù)，那么只需再證明命題1對(duì)τ＜r≤τ+1也成立即可.對(duì)Lν，s（ξ）作分部積分可得形如式（15）的表達(dá)式：

由歸納假設(shè)可得關(guān)于IV的下述估計(jì)：

類似地，對(duì)III作N-1次分部積分，可得

取充分大的整數(shù)N，使得

綜合式（20）和式（21）的估計(jì)，命題1對(duì)滿足τ＜r≤τ+1的r也成立.命題1證畢.

3　定理4　的證明

由Minkowski不等式易得Iν，s在Lq（R3）上的有界性：

對(duì)r∈（0，N），在式（3）和式（22）之間運(yùn)用插值定理得

由N的任意性知，式（23）對(duì)一切r＞0都成立.由式（12）結(jié)合Plancherel定理易得

對(duì)p∈（q，2），在式（23）和式（24）之間再次運(yùn)用插值定理得

從而由式（25）及Minkowski不等式可得，對(duì)一切的正實(shí)數(shù)r，有

再由式（26）及Minkowski不等式可得，對(duì)一切的正實(shí)數(shù)r，有的情形由此獲證.

為完成定理4的證明，只需再討論如下情形：

其中，

上述最后一個(gè)不等號(hào)可由Bessel位勢(shì)的半群性質(zhì)得到.定理4證畢.

4　乘積空間上的粗糙核奇異積分算子的So b o l e v有界性

設(shè)n≥2，m≥2，k≥1，Sd-1為Rd上的單位球面，Bd=Bd（0，1）為Rd上的單位球（d=n或m）.下面研究粗糙核奇異積分算子

其中：（x，y，z）∈Rn×Rm×R；K（u，v）=|u|-n-α1|v|-m-α2Ω（u，v）且Ω（u，v）∈L1（Sn-1×Sm-1）關(guān)于變量u，v均為零階齊次函數(shù).得到如下結(jié)果：

定理6設(shè)β1＞3α1≥0，β2＞3α2≥0，（k，j）≠（-β1，-β2），并令

證明由極坐標(biāo)變換得

其中：K（tu'，sv'）=Ω（u'，v'）t-1-α1 s-1-α2；u'，v'分別為u，v方向的單位向量.由Minkowski不等式知，要證定理6，只需證

其中，C與（u，v）無(wú)關(guān).

記SO（d）為Rd上的旋轉(zhuǎn)群，對(duì)于固定的u'和v'，取A∈SO（n），B∈SO（m），使得Au'=1=（1，0，…，0）為Sn-1的北極，Bv'=e=（1，0，…，0）為Sm-1的北極.定義函數(shù)g滿足g（Ax，By）=f（x，y），則‖g‖Lp（Rn×Rm×R）=‖f‖Lp（Rn×Rm×R），且f（x-tu'，y-sv'）=g（Ax-t1，By-se）.因此，由變量代換得

應(yīng)用累次積分及推論1即可得定理6的結(jié)果.定理6證畢.

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯陶立方）

The boundedness of certain oscillatory integrals on unit square along surfaces on Sobolev spaces

ZHAO Junyan， ZHU Xiangrong
（College of Mathematics，Physics and Information Engineering，Zhejiang Normal University，Jinhua 321004，China）

Let Q2=［0，1］2be the unit square in two dimension Euclidean space R2.It was studied the boundedness properties from Sobolev spaces（R3）to Lp（R3）of the oscillatory integral operatorτα，βdefined on the set S（R3）of Schwartz test funtions f by

hyper singular oscillatory integral；Sobolev space；boundedness；multiparameter

O174.2

A

1001-5051（2016）02-0129-10

10.16218/j.issn.1001-5051.2016.02.002

*收文日期：2015-09-17；2015-11-27

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11271330；11471288）；浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（010015）

趙俊燕（1989-），女，河南南陽(yáng)人，碩士研究生.研究方向：調(diào)和分析及其應(yīng)用.

朱相榮.E-mail：zxr@zjnu.cn