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        談構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)證明不等式的幾點小竅門

        2016-09-03 10:10:20普成秀
        福建質(zhì)量管理 2016年13期
        關(guān)鍵詞:廣南縣端點單調(diào)

        普成秀

        (廣南縣第一中學(xué) 云南 廣南 663300)

        談構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)證明不等式的幾點小竅門

        普成秀

        (廣南縣第一中學(xué) 云南 廣南 663300)

        導(dǎo)數(shù)作為研究數(shù)學(xué)的重要工具,可以解決很多的問題,本文將闡述利用導(dǎo)數(shù)法證明不等式的方法。

        構(gòu)造;可導(dǎo)函數(shù);不等式

        高中數(shù)學(xué)證明不等式的常用方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等。但是當(dāng)不等式比較復(fù)雜時,用初等的方法證明會比較困難,有時還證不出來。如果用函數(shù)的觀點去認識不等式,利用導(dǎo)數(shù)為工具,那么不等式的證明就會化難為易。本文通過舉例闡述,從所證不等式的結(jié)構(gòu)和特點出發(fā),結(jié)合自己已有知識,構(gòu)造一個新的函數(shù),再借助導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化,從而使不等式得到證明。

        用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式,其步驟一般是:構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)——利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性或最值——得出不等關(guān)系——整理得出結(jié)論。

        一、直接作差構(gòu)造函數(shù)

        一般地,證明f(x)>g(x),x∈(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性,判斷F(x)的區(qū)間端點函數(shù)值與0的關(guān)系,來證明不等式。

        證明:設(shè)f(x)=sinx-x,則f'(x)=cosx-1。

        ∵x∈(0,π),∴f'(x)<0?!鄁(x)=sinx-x在x∈(0,π)內(nèi)單調(diào)遞減,而f(0)=0。

        ∴f(x)=sinx-x

        二、將區(qū)間的一個端點設(shè)為自變量而構(gòu)造函數(shù)

        考慮到不等式涉及的變量是區(qū)間的兩個端點,因此,設(shè)輔助函數(shù)時就把其中一個端點設(shè)為自變量。

        三、直接利用條件函數(shù)證明不等式

        觀察條件函數(shù)與不等式的關(guān)系,直接利用條件函數(shù)來構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)。

        例3.已知函數(shù)f(x)=-x2+ln(1+2x)

        ∵b>a>0

        四、通過換元來構(gòu)造函數(shù)

        令h(x)=x3-x2+ln(x+1)

        從以上幾例可以看出,導(dǎo)數(shù)不僅是證明不等式的重要思想方法,也是判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)極植、最值等的重要思想方法,這類試題在考查綜合能力的同時,充分體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工具性和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的靈活性,與新課程標準接軌,彰顯時代氣息。

        [1]普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學(xué)》(選修2—2)人民教育出版社

        [2]《高考真題》北京天利考試信息網(wǎng)

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