王建芳(西安鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院,陜西西安　710016)

GM(1,1)模型的改進及其在西安市人口預(yù)測中的應(yīng)用

王建芳
(西安鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院,陜西西安710016)

人口規(guī)模對大中型城市的發(fā)展非常重要,為提高人口預(yù)測模型的預(yù)測精度,分析了GM(1,1)和等維遞補動態(tài)預(yù)測模型的特點,并以2007—2012年西安市人口數(shù)據(jù)資料為依據(jù),應(yīng)用灰色系統(tǒng)理論構(gòu)建等維遞補GM(1,1)動態(tài)預(yù)測模型,預(yù)測了西安市2013—2016年城市人口規(guī)模,結(jié)果分別為859．757 3萬人(2013年),864．010 6萬人(2014年),868．285 0萬人(2015年),872．580 5萬人(2016年).統(tǒng)計檢驗和誤差分析結(jié)果表明,該模型方法簡便可行,預(yù)測精度高,結(jié)果符合實際,可靠性強,為市域經(jīng)濟發(fā)展的研究和決策提供了科學(xué)依據(jù).

GM(1,1)模型;等維遞補模型;人口預(yù)測

引用格式:Wang Jianfang．Improvement of GM(1,1)Model and Its Application of Population Prediction of Xi’an City[J]．Journal of Gansu Sciences,2016,28(2):10G13．[王建芳．GM(1,1)模型的改進及其在西安市人口預(yù)測中的應(yīng)用[J]．甘肅科學(xué)學(xué)報,2016,28(2):10G13．]

人口問題一直是制約社會發(fā)展的第一因素,直接影響經(jīng)濟的發(fā)展和資源的利用.因此,預(yù)測未來人口規(guī)模有著重要的現(xiàn)實意義,對大中型城市顯得尤為重要.但是,由于影響城市人口規(guī)模變化的因素眾多,且有些因素是不確定的,從而增加了資料獲取的難度,影響預(yù)測結(jié)果的精度.1982年鄧聚龍[1]提出灰色系統(tǒng)理論,作為其重要內(nèi)容之一的GM(1, 1)模型,它的特點是所需信息量少,建模過程簡單,易于求解,在管理、經(jīng)濟和工程方面得到了廣泛應(yīng)用[2].但它也存在著很多缺陷,如當(dāng)發(fā)展系數(shù)的絕對值較大時,模型偏差較大,無法用于中長期預(yù)測.因此,近年來不少學(xué)者提出了對GM(1,1)模型的改進[3G6],研究用等維遞補GM(1,1)動態(tài)預(yù)測模型對西安市人口規(guī)模進行了預(yù)測,預(yù)測結(jié)果明顯優(yōu)于一般的GM(1,1)模型.

1　模型原理及計算方法

1．1GM(1,1)模型

其基本思想是把一組離散的、隨機的原始數(shù)據(jù)序列經(jīng)r次累加生成規(guī)律性強的累加生成序列,從而達到使原始序列隨機性和波動性弱化的目的,然后對累加生成序列建模,最后進行r次累減還原成預(yù)測值.累加生成次數(shù)愈多,隨機性被弱化得愈顯著,序列所形成的曲線其規(guī)律性將更加明顯.研究以1GAGO為例,具體步驟如下:

(1)累加(1GAGO)序列x(1)的生成

設(shè)原始序列為x(0)＝(x(0)(1),x(0)(2),?, x(0)(n)),則有

(2)加權(quán)鄰值序列z(1)的生成

其中:x(1)(k－1),x(1)(k)為序列的前后鄰值,常數(shù)α為生成系數(shù),α∈[0,1].當(dāng)α＝0．5時,生成均值序列

(3)建立GM(1,1)模型

其中:a,u是參數(shù);a為發(fā)展灰數(shù);u為內(nèi)生控制灰數(shù).

(4)用最小二乘法求參數(shù)

其中:

(5)計算擬合值,并累減(IGAGO)還原,對應(yīng)的白化方程為

方程解為

于是預(yù)測值為

(6)模型精度檢驗

一個模型必須通過精度檢驗合格后才能應(yīng)用于實際問題.GM(1,1)模型的檢驗包括殘差檢驗,后驗差檢驗和小誤差概率檢驗[7,8].檢驗等級見表1.

表1　精度檢驗等級分類Table 1　Grade classification of accuracy test

殘差檢驗公式為

其中相對誤差為

后驗差比值C為

其中:S1,S2分別為原始數(shù)據(jù)和殘差的均方差,＝

小誤差概率P為

檢驗時相對誤差和比值C越小,小誤差概率P則越大,說明模型精度越好.其中C和P中只要一個符合標準,就認為滿足相應(yīng)的精度要求.如果不滿足精度要求,可根據(jù)殘差序列建立帶有殘差的GM(1,1)或Verhulst模型進一步修正,直至滿足精度要求.

1．2等維遞補GM(1,1)模型

等維遞補GM(1,1)模型是對傳統(tǒng)靜態(tài)GM(1,1)模型的動態(tài)使用,通過不斷補充新信息使灰度逐步降低.其基本原理是將GM(1,1)模型預(yù)測的第一個值補充在已知序列后,為保持數(shù)據(jù)序列的等維,同時去掉原序列的第一個已知數(shù)據(jù),然后再建立GM(1,1)模型,預(yù)測下一個值,如此新陳代謝,逐個預(yù)測,依次遞補,直至完成預(yù)測目的或達到一定的精度要求.該模型相對GM(1,1)模型的優(yōu)點:①及時補充和利用新信息,提高了灰區(qū)間的白化度,比GM(1,1)模型預(yù)測更合理,更接近實際.②每預(yù)測一步模型灰參數(shù)做一次修正,如此以來,在灰參數(shù)不斷修正的同時,模型會逐步得到改進,預(yù)測精度也會提高.當(dāng)然隨著遞補次數(shù)的增加灰度也在增大,有用信息量反而會減少.因此,遞補預(yù)測也不是無止境的.

2　實證分析——以西安市為例

根據(jù)?西安統(tǒng)計年鑒?[9]人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)資料,預(yù)測2013—2016年西安市人口規(guī)模.由于樣本數(shù)量少,信息量少,普通的時間序列建模和預(yù)測方法無法使用.但是依據(jù)灰色預(yù)測的短序列、現(xiàn)時性和貧信息等特點,易知灰色數(shù)列預(yù)測法較為合適.為此,首先對現(xiàn)有數(shù)據(jù)進行選擇與處理,然后采用灰色GM(1,1)法和等維遞補法建模并預(yù)測,確定出人口規(guī)模(見表2),并對結(jié)果進行精度檢驗(見表3).

表2　擬合及預(yù)測人口數(shù)Table 2　Fitting and predicted population number萬人

表3　擬合精度檢驗結(jié)果Table 3　Fitting precision test results

2．1數(shù)據(jù)資料收集

用“小樣本”數(shù)據(jù)作預(yù)測是灰色預(yù)測法的特長,即建模維數(shù)不宜太大,一般5~8個數(shù)據(jù)較為適宜.遵循“現(xiàn)實信息優(yōu)先原則”,選取2007—2012年西安市人口數(shù)據(jù)資料為預(yù)測樣本(見表4),即

表4　2007—2012年西安市實際人口數(shù)Table 4　Actual population number of Xi?an City from 2007 to 2012萬人

2．2數(shù)據(jù)處理

為弱化原始數(shù)據(jù)序列的隨機性和波動性,由式(1)對x(0)進行一次累加生成,得到新序列x(1),即

2．3GM(1,1)預(yù)測模型建立采用最小二乘法求解參數(shù)a,u

將a,u代入式(8),得到預(yù)測模型為

運用后減運算還原得到2013—2016年人口規(guī)模為

2．4等維遞補GM(1,1)預(yù)測模型建立

為了降低灰度,對預(yù)測樣本采用逐年遞補,通過不斷補充新信息,對模型灰參數(shù)做修正,如此在灰參數(shù)不斷修正的同時,模型會逐步得到改進,預(yù)測精度也會提高.通過三次遞補預(yù)測了2013—2016年人口規(guī)模,預(yù)測模型分別為

2．5精度檢驗

對以上兩種模型的預(yù)測結(jié)果,分別利用式(10)~(13)進行殘差檢驗、后驗差檢驗和小誤差概率檢驗.檢驗等級見表1,結(jié)果見表3.

計算2012年和2013年實際值和4次預(yù)測值的相對誤差,結(jié)果為

可見,等維遞補模型擬合精度高于一般的GM(1,1)模型.

3　結(jié)論

由精度檢驗等級可知,GM(1,1)模型和等維遞補模型擬合精度均符合要求,模型可用于外推預(yù)測,但通過比較檢驗結(jié)果,等維遞補模型擬合精度高于一般的GM(1,1)模型.分析表明,西安市2013—2016年城市人口數(shù)量呈持續(xù)上升狀態(tài),預(yù)測結(jié)果符合實際,為市域經(jīng)濟發(fā)展的研究和決策提供了科學(xué)依據(jù).由此可見,對于短序列、貧信息的人口預(yù)測,等維遞補動態(tài)預(yù)測不失為一種有價值的方法,具有較高的預(yù)測精度,有很好的通用性和推廣性,可推廣應(yīng)用于其他城市人口數(shù)據(jù)預(yù)測中.

[1]鄧聚龍．灰色預(yù)報與決策[M]．武漢:華中理工大學(xué)出版社, 1988．

[2]焦寶聰,陳蘭平．運籌學(xué)的思想方法及應(yīng)用[M]．北京:北京大學(xué)出版社,2008．

[3]魏玉明,黨星海,趙建赟,等．不等間距GM(1,1)模型在滑坡監(jiān)測分析中的應(yīng)用[J]．甘肅科學(xué)學(xué)報,2010,22(2):38G40．

[4]葉謙．GM(1,1)模型的改進及其在銀行貸款中的應(yīng)用[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實踐與認識,2008,38(18):20G27．

[5]尚軍亮,方敏．一種優(yōu)化的高精度灰色GM(1,1)預(yù)測模型[J]．電子與信息學(xué)報,2010,32(6):1 301G1 305．

[6]侯運炳,汪健民,張曉,等．改進的灰色預(yù)測模型在煤礦成本預(yù)測中的應(yīng)用[J]．中國礦業(yè),2013,22(5):49G52．

[7]張立寧,安晶,張奇,等．基于灰色GM(1,1)模型的樁基沉降預(yù)測研究[J]．華北科技學(xué)院學(xué)報,2012,9(4):45G47．

[8]楊存典,張雁．G(1,1)灰色模型與灰色線性模型預(yù)測法比較及應(yīng)用——以商洛市房地產(chǎn)發(fā)展現(xiàn)狀為例[J]．甘肅科學(xué)學(xué)報, 2014,26(6):26G28．

[9]張民偉．西安市統(tǒng)計年鑒[M]．北京:中國統(tǒng)計出版社,2014．

Improvement of GM(1,1)Model and Its Application of Population Prediction of Xi’an City

Wang Jianfang
(Xi’an Railway Vocational&Technical Institute,Xi’an 710016,China)

Population size plays a very important role in the development of large and medium size cities．In order to promote the precision of prediction of population prediction model,the characteristics of GM(1,1) and equalGdimension filling dynamic prediction model is analyzed based on the demographic data informaG tion of Xi?an City from 2007 to 2012．The urban population size of Xi’an City from 2013 to 2016 predicts 85 975．73 million(in the year of 2013),86 401．06 million(in the year of 2014),86 828．50 million(in the year of 2015),87 258．05 million(in the year of 2016)by using grey system theory to build GM(1,1) equalGdimension filling dynamic prediction model．The results of statistical test and error analysis indicate that this model method is simple and convenient with high prediction accuracy,practical results and strong reliability to provide scientific basis on the study and decisionGmaking of municipal economic development．

GM(1,1)model;EqualGdimension filling model;Population prediction

F224．9

A

1004G0366(2016)02G0010G04

10．16468/j．cnkii．ssn1004G0366．2016．02．003．

2015G08G10;

2015G09G14．

王建芳(1972G),女,陜西西安人,碩士,副教授,研究方向為數(shù)學(xué)建模及教學(xué)改革．EGmail:wjfzxz＠163．com．