萬　軍，黨亞民，薛樹強(qiáng)，成英燕，楊　強(qiáng)

(中國測繪科學(xué)研究院，北京 100830)

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水下定位浮標(biāo)陣列最小GDOP構(gòu)型研究

萬軍，黨亞民，薛樹強(qiáng)，成英燕，楊強(qiáng)

(中國測繪科學(xué)研究院，北京 100830)

在水下定位過程中，對于任意給定的浮標(biāo)數(shù)目n(n≥4)，嵌套圓錐構(gòu)型可給出一類最小GDOP定位圖形。但由于定位浮標(biāo)均需布設(shè)于同一水平面而導(dǎo)致共面約束，在由定位浮標(biāo)和水下目標(biāo)點(diǎn)構(gòu)成的定位圖形中，其GDOP達(dá)不到理論最小值, 在該約束條件下水下定位浮標(biāo)陣列GDOP最小化問題有待研究。本文通過介紹GDOP密度來衡量浮標(biāo)陣列的定位能力。為降低嵌套圓錐構(gòu)型GDOP最優(yōu)問題的可行域，把定位浮標(biāo)數(shù)n整數(shù)分解，基于最小PDOP定位圖形的極值條件，尋找每組浮標(biāo)組合圓錐構(gòu)型GDOP密度的局域最優(yōu)解，然后從候選的所有浮標(biāo)組合構(gòu)型中尋找GDOP密度最小的全局最優(yōu)解。最后分別以6～8枚浮標(biāo)為例，給出了它們水下定位浮標(biāo)陣列的最佳嵌套圓錐構(gòu)型。

水下定位；浮標(biāo)；GDOP；嵌套圓錐；約束條件；最小化

在水下定位中，信號在水介質(zhì)中的傳播可近似看成球面波，通過在水面布設(shè)多個GNSS浮標(biāo)構(gòu)成浮標(biāo)陣列,測量信號從水下目標(biāo)點(diǎn)到達(dá)不同定位浮標(biāo)的時間,依據(jù)偽距測量原理，實(shí)現(xiàn)水下定位。定位的準(zhǔn)確性和可靠性是評價水下定位系統(tǒng)性能的重要依據(jù)?？煽啃耘c冗余觀測量和定位構(gòu)型有關(guān)，準(zhǔn)確性則由幾何精度因子(GDOP)與測距精度共同決定。在測距精度和控制點(diǎn)數(shù)目固定的情況下，定位圖形的GDOP越小，定位精度越高[1]。

幾何精度因子是衡量定位構(gòu)型優(yōu)劣的重要指標(biāo)[2]，與控制點(diǎn)的空間分布和數(shù)目相關(guān)，由定位圖形決定。傳統(tǒng)的定位構(gòu)型多局限于正多邊形或正四面體等單一圖形，文獻(xiàn)[3]給出了具有豐富幾何結(jié)構(gòu)的圓錐構(gòu)型、笛卡兒構(gòu)型、Walker構(gòu)型等最小GDOP三維定位圖形。文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)了非線性偽距觀測方程的雅克比矩陣A(滿足ATA=kI∈Rm×m)，來最小化GDOP。

對于任意給定的水下定位浮標(biāo)數(shù)目n(n≥4)，由單圓錐定位構(gòu)型擴(kuò)展的一類嵌套圓錐定位構(gòu)型可滿足最小GDOP。但是由于水下定位浮標(biāo)均需布設(shè)于同一水平面而導(dǎo)致共面約束，在由定位浮標(biāo)和水下目標(biāo)點(diǎn)構(gòu)成的定位圖形中，其GDOP達(dá)不到理論最小值。在該約束條件下需要對嵌套圓錐圖形進(jìn)行二次優(yōu)化來實(shí)現(xiàn)GDOP最小化。本文提出用GDOP密度來衡量浮標(biāo)陣列的定位能力。為了實(shí)現(xiàn)嵌套圓錐構(gòu)型GDOP最小化，嵌套圓錐構(gòu)型的二次優(yōu)化問題可分解為3步：①對于給定的浮標(biāo)數(shù)目n，通過對n進(jìn)行整數(shù)分解可構(gòu)造不同的浮標(biāo)組合；②基于嵌套圓錐構(gòu)型最小PDOP的極值條件，在PDOP取得最小的前提下，改變圓錐張角，尋找每組浮標(biāo)組合嵌套圓錐構(gòu)型GDOP密度最小的局域最優(yōu)解，縮小問題的可行域；③從候選的所有浮標(biāo)組合構(gòu)型中尋找GDOP密度最小的全局最優(yōu)解。最后分別以6～8枚浮標(biāo)為例，給出它們水下定位浮標(biāo)陣列的最佳嵌套圓錐構(gòu)型。

一、水下測距單點(diǎn)定位構(gòu)型GDOP極值條件

1. 水下定位GDOP

Li=di+cδt+εii=1,2,…,n

(1)

式(1)的最小二乘解為

(2)

水下定位的中誤差為

(3)

(4)

當(dāng)考慮鐘差因子影響時，GDOP為水下測距單點(diǎn)定位構(gòu)型的幾何精度因子，可定義為[4]

(5)

2. GDOP極值條件

(6)

式中，n為控制點(diǎn)的數(shù)目；3表示定位構(gòu)型的維數(shù)；I為單位矩陣。當(dāng)且僅當(dāng)

(7)

時，幾何精度因子GDOP取得極小值。

當(dāng)式(6)與式(7)同時成立時，可推導(dǎo)出3種最小GDOP三維測距單點(diǎn)定位構(gòu)型，包括圓錐構(gòu)型、笛卡兒構(gòu)型、Walker構(gòu)型，其中Walker構(gòu)型因其良好的對稱性和均勻覆蓋性已被GPS星座設(shè)計(jì)所采用。

二、嵌套圓錐構(gòu)型浮標(biāo)陣列優(yōu)化

在水下定位中，由于圓錐構(gòu)型的結(jié)構(gòu)更易于使定位浮標(biāo)布設(shè)在同一水平面上，本文采用圓錐構(gòu)型來優(yōu)化浮標(biāo)陣列。

1. 嵌套圓錐構(gòu)型

圖1　單圓錐構(gòu)型

圖2　嵌套圓錐構(gòu)型

(8)

則GDOP取得極值的條件方程式(6)成立，此時在嵌套圓錐構(gòu)型的頂點(diǎn)處PDOP取得最小值；當(dāng)且僅當(dāng)

(9)

時，條件方程式(7)成立，此時，在嵌套圓錐構(gòu)型頂點(diǎn)處GDOP取得最小值。

2. 共面約束的嵌套圓錐構(gòu)型

(10)

從候選的所有浮標(biāo)組合構(gòu)型中尋找GDOP最小的一組即為共面約束條件下嵌套圓錐構(gòu)型GDOP最小的全局最優(yōu)解。

為考察定位浮標(biāo)對水下區(qū)域的定位性能并討論圓錐構(gòu)型覆蓋區(qū)域最佳定位構(gòu)型，本文引入GDOP密度來衡量水下定位浮標(biāo)陣的區(qū)域定位能力。對于給定的三維空間區(qū)域Ω，GDOP密度定義為

(11)

式中，dV為體積微元，用于考察三維空間區(qū)域中的GDOP密度。GDOP密度的最佳浮標(biāo)陣列優(yōu)化問題可記為

(12)

上述優(yōu)化問題在定義積分區(qū)間后，可使用數(shù)值積分方法實(shí)現(xiàn)。

三、實(shí)例分析

假設(shè)定位目標(biāo)區(qū)域?yàn)橐磺蝮w，如圖3所示，半徑R為100 m，目標(biāo)區(qū)域中心點(diǎn)處水深為200 m。將球由內(nèi)向外分為n=200個同心球，相鄰兩個同心球之間的半徑差Δd=0.5 m，并把每個球表面分成m=1280個三角微元，則式(11)可記為

(13)

圖3　目標(biāo)球體球表面三角微元

為簡化定位構(gòu)型結(jié)構(gòu)，下面分別以布設(shè)6～8枚浮標(biāo)，分布在嵌套著兩個單圓錐的圖形上為例(ni表示第i個圓錐上浮標(biāo)數(shù))，研究其水下定位浮標(biāo)陣列的最佳嵌套圓錐構(gòu)型。

1. n=6

當(dāng)浮標(biāo)平均分布在兩個嵌套的圓錐上，記C3,3(x)+C3,3(x)，由嵌套圓錐定位構(gòu)型的極值條件式(8)可推出

(14)

式(14)表明第2個圓錐的圓錐張角φ2隨著φ1在35.3°≤φ1≤90°的范圍內(nèi)變化，由圖4可得：

1) 目標(biāo)區(qū)域中心點(diǎn)處GDOP隨著圓錐張角φ1的變化趨勢與整個區(qū)域的GDOP密度變化趨勢一致。

2) 當(dāng)兩個圓錐重合，即兩個圓錐張角φ都為54.7°時，嵌套圓錐構(gòu)型變?yōu)閱螆A錐定位構(gòu)型，定位區(qū)域中心點(diǎn)處的GDOP與整個區(qū)域的GDOP密度都達(dá)到最大值。

3)GDOP密度隨著圓錐張角φ1的變化而變化，在φ=54.7°的左側(cè)單調(diào)遞增，在φ值的右側(cè)單調(diào)遞減，在φ1的左右端點(diǎn)處的GDOP密度相等。因此，整個區(qū)域的GDOP密度最小值在φ1的端點(diǎn)處取得。

圖4　C3,3(x)+C3,3(x) 的GDOP

2. n=7

對于嵌套圓錐組合C3,3(x)+C4,3(x)，由式(8)可推出

(15)

圖5表示C3,3(x)+C4,3(x)浮標(biāo)組合嵌套圓錐構(gòu)型的GDOP隨圓錐張角φ1的變化趨勢，由圖5可得：

1) 圖5與圖4在單調(diào)性、最值問題上相似，并進(jìn)一步證明了嵌套圓錐構(gòu)型頂點(diǎn)處GDOP最小等價于整個區(qū)域的GDOP密度最小。

2) 當(dāng)浮標(biāo)在兩個圓錐上分布不相等時，GDOP在左右端點(diǎn)處的值也不相等，圓錐張角φ1取最小值時GDOP達(dá)到最小。

3) 圖5 中GDOP密度的最小值小于圖4中GDOP密度的最小值，說明嵌套圓錐定位構(gòu)型GDOP的最小值隨著浮標(biāo)個數(shù)的增加而變小。

圖5　C3,3(x)+C4,3(x)的GDOP

3. n=8

當(dāng)浮標(biāo)個數(shù)n=8時，對n進(jìn)行整數(shù)分解為8=3+5或8=4+4，因此有兩個不同的嵌套圓錐組合C3,3(x)+C5,3(x)和C4,3(x)+C4,3(x)。

對于嵌套圓錐組合C3,3(x)+C5,3(x)，由式(8)可得

(16)

如圖6所示，可得以下結(jié)論：

1) 相同圓錐張角的構(gòu)型中，浮標(biāo)組合C4,3(x)+C4,3(x)的GDOP比C3,3(x)+C5,3(x)組合的GDOP小。

圖6　C3,3(x)+C5,3(x) 和C4,3(x)+C4,3(x) 的GDOP

四、結(jié)　論

在水下定位中，嵌套圓錐構(gòu)型的結(jié)構(gòu)更易于定位浮標(biāo)的布設(shè)，然而由于共面約束，定位構(gòu)型的GDOP達(dá)不到理論最小值，為此，需要對嵌套圓錐構(gòu)型進(jìn)行二次優(yōu)化來尋找最小GDOP。為簡化構(gòu)型結(jié)構(gòu)，本文對嵌套著兩個單圓錐的定位構(gòu)型進(jìn)行了研究，得出以下結(jié)論：

1) 目標(biāo)區(qū)域中心點(diǎn)處GDOP最小等價于整個區(qū)域的GDOP密度最小，表明可用目標(biāo)區(qū)域中心點(diǎn)代替整個目標(biāo)區(qū)域進(jìn)行最小GDOP定位構(gòu)型優(yōu)化研究。

2) 對于給定的浮標(biāo)數(shù)目n，通過對n進(jìn)行整數(shù)分解可構(gòu)造不同組合的嵌套圓錐構(gòu)型，每一個浮標(biāo)組合構(gòu)型都存在一個GDOP最小的局域最優(yōu)解。當(dāng)在兩個圓錐上浮標(biāo)分布滿足1∶2時，嵌套圓錐構(gòu)型GDOP最小的全局最優(yōu)解在該分布上取得；當(dāng)浮標(biāo)個數(shù)不能滿足1∶2分布時，GDOP最小的全局最優(yōu)解在近似1∶2分布上取得。

3) 對于浮標(biāo)組合固定的嵌套圓錐構(gòu)型，GDOP隨著兩個圓錐張角差值的增大而變小。當(dāng)考慮定位信號在水中的折射率時，最佳圓錐張角依據(jù)信號折射的截止角進(jìn)行調(diào)整，如截止角為10°，定位浮標(biāo)個數(shù)為6時，嵌套圓錐定位構(gòu)型GDOP全局最優(yōu)解將由φ1=35.3°,φ2=90°調(diào)整為φ1=37.1°,φ2=80°。

4) 在水下定位的實(shí)際應(yīng)用中，依據(jù)本文內(nèi)容，根據(jù)給定的浮標(biāo)數(shù)目可以快速給出最優(yōu)浮標(biāo)組合及最佳圓錐張角，并結(jié)合實(shí)測水深，確定浮標(biāo)的布設(shè)半徑。

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ResearchofBuoyArraywithMinimumGDOPforUnderwaterPositioning

WANJun，DANGYamin，XUEShuqiang，CHENGYingyan，YANGQiang

2015-09-28；

2016-02-29

國家自然科學(xué)基金(41474011；41374014); 國家863計(jì)劃項(xiàng)目(2013AA122501); 國家測繪地理信息局基礎(chǔ)測繪項(xiàng)目(A1403); 北斗分析中心項(xiàng)目(GFZX0301040308-06); 中國測繪科學(xué)研究院學(xué)術(shù)科研業(yè)務(wù)費(fèi)(7771502；7771405)

萬軍(1991—)，男，碩士生，主要從事多系統(tǒng)周跳探測及數(shù)據(jù)處理方面的研究。E-mail：wanjcasm@163.com

P229

B

0494-0911(2016)05-0022-04

引文格式： 萬軍，黨亞民，薛樹強(qiáng)，等. 水下定位浮標(biāo)陣列最小GDOP構(gòu)型研究[J].測繪通報，2016(5)：22-25.DOI:10.13474/j.cnki.11-2246.2016.0147.