高雙，朱翔，李天勻，王迪

華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院，湖北武漢430074

基于不同模型的正交加筋板低頻振動(dòng)和聲輻射分析

高雙，朱翔，李天勻，王迪

華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院，湖北武漢430074

正交加筋薄板在船舶結(jié)構(gòu)中應(yīng)用十分廣泛。從簡(jiǎn)化加筋板模型的角度出發(fā)，基于李茲法能量泛函變分原理推導(dǎo)加筋板的能量求解；并針對(duì)雙向加筋板基于正交異性板理論和相當(dāng)板厚理論提出2種簡(jiǎn)化方法，對(duì)3種模型模擬的加筋板推導(dǎo)其固有頻率的解析公式。計(jì)算表明：3種正交加筋板模型在求取低階固有頻率時(shí)均具有良好的精度。在此基礎(chǔ)上研究了基于3種模型的加筋板在空氣中和水中的聲輻射特性，為加筋板組合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)和低頻聲輻射問題提出了新的簡(jiǎn)化思路。

正交加筋板；李茲法；正交異性板理論；相當(dāng)板厚理論；聲振特性

0　引　言

加筋薄板結(jié)構(gòu)被廣泛地用于艦船結(jié)構(gòu)，因而關(guān)于艦船實(shí)際結(jié)構(gòu)的振動(dòng)和聲學(xué)性能研究可以通過先研究加筋薄板的振動(dòng)和聲學(xué)性能來模擬。由于船體本身具有體積龐大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜等特點(diǎn)，在保證計(jì)算的準(zhǔn)確性和可靠性的前提下，是否可以找到一個(gè)代理模型［1］或者簡(jiǎn)化模型，已成為國內(nèi)外學(xué)者們關(guān)注的熱點(diǎn)。Chen等［2］使用有限差分法研究了單筋矩形加筋板的自由振動(dòng)特性。Mead等［3］采用二維周期結(jié)構(gòu)的波傳播方法對(duì)常規(guī)正交陣列均勻梁鋼筋進(jìn)行了研究。Mace［4］在研究流體載荷下正交異性加筋板的聲輻射問題中，用板梁的變形表征筋的作用力響應(yīng)，得到點(diǎn)激勵(lì)作用下遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓特性表達(dá)式。曾子平等［5］應(yīng)用拉格朗日乘子法，通過引入拉格朗日乘子將板、梁組合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析問題處理成一類無約束能量泛函變分問題，通過建立組合結(jié)構(gòu)的廣義特征值問題求解此類問題。朱翔等［6］在船用加筋板低頻聲輻射工程計(jì)算研究中，結(jié)合有限元分析軟件給出的計(jì)算結(jié)果，提出了板結(jié)構(gòu)、加筋板結(jié)構(gòu)在低頻激勵(lì)下聲輻射的計(jì)算方法和計(jì)算公式。魏強(qiáng)等［7］針對(duì)兩種大小骨材不同的典型加筋板，通過算例討論了小筋、阻尼等參數(shù)對(duì)輻射效果的影響。李凱等［8］基于結(jié)構(gòu)聲強(qiáng)法研究了加筋板結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量的傳輸和耗散特性。在研究簡(jiǎn)化計(jì)算中，唐銳等［9］基于歐拉梁理論，提出一種水下梁模型等效計(jì)算的方法。對(duì)于加筋板，將骨材平攤到板上時(shí)，其簡(jiǎn)化后各方向剛度不同，可以利用正交異性板理論［10］求解。成祥生［11］對(duì)密加筋板問題進(jìn)行處理，將加強(qiáng)筋的剛度折算到薄板的剛度，將帶有加強(qiáng)筋的各向同性板變換為無筋條的各向異性板，大幅簡(jiǎn)化了計(jì)算。

本文將首先給出四邊簡(jiǎn)支平板振動(dòng)問題的推導(dǎo)，充分考慮板與加強(qiáng)筋在特定邊界條件下的振動(dòng)特性，將正交加筋板的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析問題轉(zhuǎn)化為基于李茲法的能量泛函變分問題處理，推導(dǎo)加筋板組合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析相關(guān)公式，并基于平板的動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)正交異性板的振動(dòng)方程。然后根據(jù)推導(dǎo)的公式以實(shí)際的典型加筋薄板結(jié)構(gòu)為例應(yīng)用3種方法計(jì)算加筋板的固有頻率，并與有限元仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，討論這3種計(jì)算方法求解的基頻誤差隨骨材密度變化的規(guī)律。為進(jìn)一步分析其聲學(xué)特性，還將利用模態(tài)疊加法計(jì)算對(duì)比正交異性板理論和相當(dāng)板厚理論得出的聲輻射特性，并與未簡(jiǎn)化的原始加筋板進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證不同處理方法的合理性。

1　基本理論

1.1四邊簡(jiǎn)支平板振動(dòng)特性分析

四邊簡(jiǎn)支薄板結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)方程為［12］

式中：a，b分別是沿兩個(gè)方向的長度；m和n分別是沿板兩個(gè)方向的半波數(shù)。

1.2基于李茲法的加筋板振動(dòng)分析

設(shè)一塊四邊簡(jiǎn)支加筋板，長為a，寬為b，板厚為h。板上縱橫加筋，橫向加筋數(shù)為imax，縱向加筋數(shù)為 jmax。以角點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橫向?yàn)閤軸，縱向?yàn)閥軸。加筋板簡(jiǎn)化模型如圖1所示。

圖1　加筋板簡(jiǎn)化模型Fig.1　A simplified model of stiffened plate

薄板彎曲自由振動(dòng)滿足：

式中：，Ep為板的彈性模量；Wp為板的中面法向振動(dòng)位移函數(shù)；Mp=ρph，為板的單位面積質(zhì)量。

橫向等截面梁的自由彎曲振動(dòng)微分方程為

式中：Wb為梁的中線面位移函數(shù)；Eb為梁的彈性模量；Ib為梁的截面慣量矩；ρb為梁?jiǎn)挝婚L度的質(zhì)量。

加強(qiáng)筋可看作兩端簡(jiǎn)支梁，由此，板的撓度，第i根橫向加強(qiáng)筋的撓度，第j根縱向加強(qiáng)筋的撓度可以假設(shè)為

式中：Wp為板的撓度函數(shù)；為橫向加強(qiáng)筋的撓度函數(shù)；為縱向加強(qiáng)筋的撓度函數(shù)；Amn為板的幅值；為橫向加強(qiáng)筋的幅值；為縱向加強(qiáng)筋的幅值。根據(jù)位移連續(xù)條件，在板與加強(qiáng)骨材結(jié)合部滿足：

求解上式可以得到如下方程［5］：

組合梁板按固有頻率作自由振動(dòng)時(shí)，各部分的能量泛函滿足：

加筋板的總能量泛函可以表示為

對(duì)于任意模態(tài)階數(shù)（p，q）滿足最小能量原理

將如式（11）所示系列方程寫成矩陣的形式：

式中：向量A是幅值A(chǔ)pq的集合。當(dāng)p，q選取截?cái)囗?xiàng)數(shù)P，Q時(shí)，可以求解上述方程。

因?yàn)榉礎(chǔ)pq不全為零，所以滿足

從式（13），可以求得一系列頻率值，將頻率代入矩陣C=K-ω2M中，求解CA=0，即得可解的幅值A(chǔ)，其中某不為零的元素Aij，即為該頻率對(duì)應(yīng)的振型（i，j）。

1.3加筋板薄板基于彎曲理論的正交異性板簡(jiǎn)化

對(duì)于正交加筋板，由于正交方向的剛度不一致，可以考慮采用正交異性板理論進(jìn)行簡(jiǎn)化模擬。正交各向異性板的自由振動(dòng)微分方程［11］

式中：E1,E2為正交異性板在x，y方向的楊氏模量；，G為剪切模量；μ1，μ2為x，y方向上的泊松比，文中 μ1=μ2=μ=0.3。

對(duì)四邊簡(jiǎn)支正交異性板推導(dǎo)同理于第1.1節(jié)中的平板，有

式中：M為將所有筋條平鋪在薄板上后所得正交各向異性板的單位面積的質(zhì)量；m，n為整數(shù)，求解不同振型的固有頻率。

設(shè)橫縱骨材的楊氏模量分別為Ebi和Ebj；慣性矩分別為Ibi和Ibj；骨材間距為a1，b1。將加筋板的平板和骨材剛度折算為正交異性板的x，y方向上的主剛度，有［11］

1.4相當(dāng)板厚理論直接平攤的簡(jiǎn)化計(jì)算

根據(jù)船體強(qiáng)度與結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)［13］，對(duì)加筋板的處理也可將加筋板的骨材面積完全平攤到平板上。因此，不改變板的材料屬性，僅改變板厚有

式中：h0為平板厚；Axi，Ayj分別為橫向和縱向骨材的截面面積。

平攤后，平板厚度會(huì)相應(yīng)增加，其剛度和單位面積質(zhì)量也會(huì)增加。得到相當(dāng)板厚后，將骨材參數(shù)轉(zhuǎn)換為板的厚度改變，其固有頻率的計(jì)算推導(dǎo)與第1.1節(jié)中平板的相同。

2　計(jì)算結(jié)果及分析

2.1加筋板的振動(dòng)特性分析

為避免骨材偏置對(duì)結(jié)果分析的影響，本文采用方鋼，且在計(jì)算中不考慮扭矩影響，平板兩側(cè)均加縱橫骨材，平板和骨材均為鋼材，物理屬性相同，如圖2所示。板和梁的尺寸和材料參數(shù)如表1所示。ANSYS求解時(shí)，板結(jié)構(gòu)采用的是Shell 63殼單元，梁結(jié)構(gòu)采用的是Beam 181梁?jiǎn)卧?/p>

首先，選擇四邊簡(jiǎn)支平板分析，利用振動(dòng)方程和有限元法計(jì)算其自由振動(dòng)特性，得出ANSYS有限元仿真和基于解析計(jì)算的前10階固有頻率結(jié)果如表2所示。

圖2　加筋板示意圖Fig.2　Schematic diagram of stiffened plate

表1　加筋板參數(shù)取值表Tab.1　Stiffened plate parameters

表2　四邊簡(jiǎn)支平板前10階固有頻率的仿真和解析解對(duì)比Tab.2　Comparison between simulated and analytical results of the first ten-order natural frequencies

由表2可知，對(duì)于四邊簡(jiǎn)支平板，有限元仿真和解析兩種方法得出的結(jié)果具有很好的吻合度，相互驗(yàn)證了ANSYS有限元仿真結(jié)果和解析結(jié)果的準(zhǔn)確性。因此，本文在應(yīng)用不同的簡(jiǎn)化分析方法計(jì)算加筋板的固有頻率時(shí)，以有限元仿真計(jì)算結(jié)果為基準(zhǔn)，進(jìn)行參照對(duì)比。

對(duì)于加筋板，具體參數(shù)如表1所示，取橫縱骨材數(shù)為imax=15，jmax=7（骨材間距為0.125 m）。應(yīng)用李茲法求解時(shí)，要對(duì)函數(shù)的收斂性進(jìn)行分析，當(dāng)P=Q=5時(shí)，函數(shù)就有較為良好的收斂性，故而在運(yùn)用李茲法計(jì)算時(shí)可以選取截?cái)囗?xiàng)數(shù)P=Q=5。分別應(yīng)用ANSYS仿真結(jié)果對(duì)比李茲法、正交異性板理論和相當(dāng)板厚理論3種不同模型的解析方法得出的結(jié)果如表3所示。

由表3可以發(fā)現(xiàn)，在低階3種解析結(jié)果的誤差都比較小，尤其對(duì)于前幾階；并且利用正交異性板理論計(jì)算的前5階結(jié)果誤差在5%以內(nèi)。因此，驗(yàn)證了3種方法計(jì)算加筋板固有頻率的準(zhǔn)確性。

表3　不同分析方法對(duì)應(yīng)加筋板振動(dòng)固有頻率Tab.3　The natural frequency of stiffened plate with different analysis methods results

同時(shí)考慮到骨材密度對(duì)3種方法求解加筋板振動(dòng)的影響，計(jì)算了不同骨材密度情況下3種方法求解得到的加筋板首階固有頻率，將其與有限元解進(jìn)行對(duì)比，并作圖給出了與有限元解的誤差隨橫縱骨材數(shù)目imax，jmax取值的變化情況，如圖3～圖5所示。

圖3　李茲法計(jì)算加筋板首階固有頻率誤差隨橫縱骨材數(shù)目變化Fig.3　The error of the first natural frequency calculated by the Ritz method changes with the number of transverse and longitudinal stiffeners

圖4　正交異性板簡(jiǎn)化計(jì)算加筋板首階固有頻率誤差隨橫縱骨材數(shù)目變化Fig.4　The error of the first natural frequency calculated by orthotropic plate theory changes with the number of transverse and longitudinal stiffeners

圖5　相當(dāng)板厚板簡(jiǎn)化計(jì)算加筋板首階固有頻率誤差隨橫縱骨材數(shù)目變化Fig.5　The error of the first natural frequency calculated by the equivalent thickness method changes with the number of transverse and longitudinal stiffeners

由圖3～圖5可知，以有限元數(shù)值解為參考值，分析3種計(jì)算方法所求的基頻誤差與橫縱骨材密度之間的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)，整體上正交異性板簡(jiǎn)化處理加筋板的方法求解的基頻誤差最小，均在7%以內(nèi)。但此法計(jì)算求解的基頻誤差并不隨骨材密度變化而成正相關(guān)關(guān)系，在本例中當(dāng)橫縱骨材密度在5左右時(shí)誤差最小，當(dāng)橫縱骨材過密時(shí)其誤差反而增加。李茲法處理加筋板時(shí)誤差也相對(duì)較小，均在10%以內(nèi)，隨著骨材密度增加，李茲法計(jì)算的誤差會(huì)越來越大。相當(dāng)板厚法簡(jiǎn)化處理加筋板時(shí)則總體誤差相對(duì)較大，并且該方法對(duì)骨材的密度要求較高，只有當(dāng)骨材密度適中時(shí)誤差較小，骨材密度偏大或偏小，帶來的誤差均較大，當(dāng)骨材過密時(shí)其誤差甚至達(dá)到45%。

總體而言，李茲法和正交異性板簡(jiǎn)化方法在處理加筋板振動(dòng)問題時(shí)相對(duì)準(zhǔn)確。應(yīng)用正交異性板理論將加筋板簡(jiǎn)化為平板進(jìn)行計(jì)算，可以在保證計(jì)算精度的同時(shí)很大程度上減小建模和計(jì)算的工作量。

2.2加筋板的低頻聲輻射特性分析

利用正交異性板理論和相當(dāng)板厚理論簡(jiǎn)化計(jì)算加筋板的振動(dòng)特性時(shí)有一定的可靠性，為了進(jìn)一步分析兩種不同簡(jiǎn)化方法的準(zhǔn)確度和適用性，有必要對(duì)3種不同簡(jiǎn)化方法對(duì)應(yīng)的加筋板進(jìn)行聲輻射特性分析。在上節(jié)的模態(tài)計(jì)算基礎(chǔ)上，將結(jié)構(gòu)在模態(tài)空間中采用有限元法描述，聲場(chǎng)采用邊界元模型描述，利用結(jié)構(gòu)和聲場(chǎng)直接聲振耦合的模態(tài)疊加法進(jìn)行聲場(chǎng)的計(jì)算，對(duì)比不同簡(jiǎn)化方法下加筋板在低頻段的聲學(xué)特性。加筋板聲輻射計(jì)算模型與振動(dòng)分析模型相同，其參數(shù)如表1所示。板四邊簡(jiǎn)支約束，在板中心位置施加單位大小且垂直于板面的點(diǎn)激勵(lì)力，取計(jì)算步長為2 Hz，考慮不同簡(jiǎn)化方法在不同的聲場(chǎng)介質(zhì)中的適用性，將聲場(chǎng)介質(zhì)分別設(shè)置為水和空氣，計(jì)算近場(chǎng)聲壓，場(chǎng)點(diǎn)位置距板中心1 m處。

參考聲功率為W0=1×10-12W，空氣中參考聲壓為 P1=2×10-5Pa，水中參考聲壓為P2=1×10-6Pa。計(jì)算得到加筋板的聲壓級(jí)和輻射聲功率級(jí)對(duì)比結(jié)果如圖6所示。

圖6　介質(zhì)分別為空氣和水時(shí)，3種分析方法對(duì)應(yīng)的聲壓級(jí)和聲功率級(jí)對(duì)比Fig.6　Comparison of the sound pressure level and sound power level corresponding to three kinds of analysis method in the case of air or water medium

由圖6（a）和圖6（b）結(jié)果對(duì)比可知，當(dāng)介質(zhì)為空氣時(shí)，應(yīng)用相當(dāng)板厚理論平攤簡(jiǎn)化加筋板的方法計(jì)算的聲壓級(jí)和聲功率級(jí)與原始加筋板計(jì)算結(jié)果吻合較好，應(yīng)用正交異性板理論計(jì)算結(jié)果在頻域上變化趨勢(shì)一致，曲線往高頻方向偏移。由圖6（c）和圖6（d）可知，當(dāng)介質(zhì)為水時(shí)，應(yīng)用正交異性板理論簡(jiǎn)化加筋板的方法計(jì)算的結(jié)果，除25 Hz處的峰值點(diǎn)有出入外，整體隨頻率變化趨勢(shì)與原始加筋板計(jì)算結(jié)果吻合得較好，而應(yīng)用相當(dāng)板厚理論計(jì)算結(jié)果則與原始加筋板計(jì)算結(jié)果偏差較大，說明當(dāng)介質(zhì)為水時(shí)，考慮附連水作用后，相當(dāng)板厚理論簡(jiǎn)化方法不再適用。

3　結(jié)　論

本文基于工程實(shí)際，從簡(jiǎn)化模型的角度出發(fā)，對(duì)雙向加筋板提出了兩種簡(jiǎn)化方法，并通過推導(dǎo)，得到采用不同簡(jiǎn)化模型求解加筋板的固有頻率的解析解，然后基于模態(tài)疊加法，分別研究了加筋板不同簡(jiǎn)化方法在低頻段相同激勵(lì)下，不同介質(zhì)中的聲輻射特性并得到如下結(jié)論：

1）在低階情況下，李茲法、正交異性理論和相當(dāng)板厚理論3種解析計(jì)算結(jié)果和仿真結(jié)果對(duì)比的誤差都比較小，為加筋板組合結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)問題提出了新的簡(jiǎn)化思路。

2）通過骨材布置密度對(duì)首階固有頻率的影響分析可知，應(yīng)用正交異性板理論和相當(dāng)板厚理論兩種簡(jiǎn)化方法時(shí)，為保證計(jì)算結(jié)果的精度與可靠性，需要考慮在加筋密度適當(dāng)?shù)那闆r下應(yīng)用。

3）不同介質(zhì)中加筋板的聲輻射特性不一，不同簡(jiǎn)化方法所適用的情況也不一：當(dāng)介質(zhì)為空氣時(shí)，介質(zhì)耦合較弱，應(yīng)用相當(dāng)板厚理論簡(jiǎn)化加筋板在低頻可以得到較好的結(jié)果，但是隨著頻率增大，誤差也會(huì)變大；當(dāng)介質(zhì)為水時(shí)，介質(zhì)耦合較強(qiáng)，正交異性板理論簡(jiǎn)化加筋板結(jié)果吻合度更好，因此在工程實(shí)際中，考慮船體加筋密度和介質(zhì)屬性，可以對(duì)船體加筋板進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化求解。

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Vibration and acoustic radiation characteristics of orthogonal stiffened plates based on different models

GAO Shuang，ZHU Xiang，LI Tianyun，WANG Di
School of Naval Architecture and Ocean Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China

The orthogonal stiffened plate is widely used in the field of marine engineering.Taking a simplified model of stiffened plates as the research target，and based on the Ritz method and the energy functional variation principle，the energy formulations of stiffened plates are deduced in this paper.For the orthogonal stiffened plate，two kinds of simplified methods（the orthotropic plate theory and the equivalent thickness method）are proposed.The analytical formulations of natural frequency of three stiffened plate models are discussed.It is observed that the analytical natural frequencies agree well with those from FEM results. Finally，the acoustic radiation characteristics of three stiffened plate models in the water，as well as in the air，are calculated.Overall，the proposed simplified method presents a new perspective for the vibration and low frequency acoustic radiation problem of orthogonal stiffened plates.

orthogonal stiffened plate；Ritz method；orthotropic plate theory；equivalent thickness method；vibration and acoustic radiation

U661.44

A

10.3969/j.issn.1673-3185.2016.04.011

2015-09-02網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2016-7-29 9:45

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51479079）；船舶預(yù)研支撐技術(shù)基金資助項(xiàng)目（13J1.3.2）

高雙，男，1990年生，碩士生。研究方向：結(jié)構(gòu)振動(dòng)與噪聲控制。

E-mail：gaoshuang2010@hust.edu.cn

朱翔（通信作者），男，1980年生，博士，副教授。研究方向：結(jié)構(gòu)振動(dòng)與噪聲控制。

E-mail：zhuxiang@hust.edu.cn