李緯華，牛喜山

(1.廣東技術(shù)師范學(xué)院機(jī)電學(xué)院，廣東廣州　510635；2.廣東華方工程設(shè)計有限公司，廣東廣州　510220)

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非線性機(jī)械系統(tǒng)動力分析的辛?xí)r間子域-迭代法

李緯華1，牛喜山2

(1.廣東技術(shù)師范學(xué)院機(jī)電學(xué)院，廣東廣州510635；2.廣東華方工程設(shè)計有限公司，廣東廣州510220)

建立了用于非線性機(jī)械動力響應(yīng)分析的辛?xí)r間子域-迭代法.首先，在任一時間子域內(nèi)，將原非線性動力方程分解為線性和非線性兩部分.對于線性方程，采用基于相空間非傳統(tǒng)Hamilton型變分原理的辛?xí)r間子域法求解.將線性響應(yīng)代入非線性項(xiàng)并視其為載荷，重復(fù)使用辛?xí)r間子域法迭代求解至一定精度，各解疊加即得原方程在當(dāng)前時間子域的數(shù)值解.然后，將這個時間子域的末端值作為下個時間子域的初始值，進(jìn)行下一個時間子域的計算，如此遞推下去直到最后一個時間子域.結(jié)果表明，該方法具有較高的計算精度和計算效率.

非線性動力學(xué)；辛?xí)r間子域法；迭代法；變分原理；機(jī)械系統(tǒng)

非線性動力學(xué)的基礎(chǔ)理論是機(jī)械工程、土木工程、航空航天等工程學(xué)科的重要基礎(chǔ).機(jī)械工程中存在諸多的非線性問題，機(jī)械系統(tǒng)中零部件的間隙、摩擦，非線性元件的存在和構(gòu)件具有的粘彈性質(zhì)，都會影響系統(tǒng)的動力學(xué)行為，繼而影響工作性能和可靠性[1].

對于多自由度非線性動力學(xué)模型，可采用解析法和數(shù)值法求解.雖然解析法在不斷發(fā)展，但目前只能求解一些特殊的問題.因此，為滿足實(shí)際工程需要還需研究高性能的數(shù)值方法.對非線性動力問題，常用的數(shù)值方法可分為兩大類.一類是直接積分法，如Newmark法、Wilson法、Houbolt法等，這類方法簡便易用，但存在能量耗散與相位誤差.另一類是將二階常微分方程組降為一階常微分方程組，再用數(shù)值方法求解，如Runge-Kutta法、Adams多步法、Taylor法和精細(xì)積分法[2]等.對于線性動力問題，基于Hamilton對偶方程的精細(xì)積分法幾乎可得到計算機(jī)上的精確解，將其用于非線性動力問題時，也取得了一定的進(jìn)展.文獻(xiàn)[3]利用同倫變換將非線性方程組轉(zhuǎn)化為線性常微分方程組，然后利用精細(xì)積分法求解.文獻(xiàn)[4]將非線性方程組轉(zhuǎn)化為線性變系數(shù)常微分方程，利用高階乘法攝動法確定傳遞矩陣，然后再用精細(xì)積分法求解.文獻(xiàn)[5-8]將非線性項(xiàng)納入非齊次項(xiàng)，對非齊次項(xiàng)采用鐘-林格式、增維齊次化方法和直接數(shù)值積分方法處理并求解，這幾種處理方法或需要矩陣求逆，或大幅增加計算量，或忽視了矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

動力學(xué)變分原理構(gòu)造算法，簡便易行且具有很好的通用性和較高的計算效率.文獻(xiàn)[9-12]基于離散的變分原理構(gòu)造了一系列能夠保辛和動量或保辛且保能量和動量的算法.高強(qiáng)等[13]通過修正作用量給出了動力學(xué)初值問題的一系列保辛算法;羅恩等[14]基于相空間非傳統(tǒng)Hamilton變分原理提出了求解線性動力方程的辛?xí)r間子域法.其中，辛?xí)r間子域法是一種無條件穩(wěn)定的算法，其計算精度與精細(xì)積分法相當(dāng)，但在非線性動力系統(tǒng)的應(yīng)用研究還不夠深入.本文在此基礎(chǔ)上，將辛?xí)r間子域法與迭代法相結(jié)合，建立求解非線性機(jī)械系統(tǒng)動力響應(yīng)的辛?xí)r間子域-迭代法.算例結(jié)果表明，該方法具有較高的計算精度和計算效率.

1　線性動力體系的辛?xí)r間子域法

一般地，集中質(zhì)量模型的多自由度非線性動力學(xué)方程可表示為

(1)

對(1)式所表示的線性動力方程，當(dāng)初始條件滿足時，其相空間非傳統(tǒng)Hamilton變分原理的泛函可表示為

(2)

其中,p=Mq為動量列陣;p1和q1分別為時間末端點(diǎn)的動量和位移列陣;°表示限制變分;～表示初始值.

對任一時間子域[ti,ti+1]，用m次Lagrange插值多項(xiàng)式近似待求的位移與動量，即

(3)

其中

其中，a和b分別是待定的時間子域插值點(diǎn)的位移和動量列陣;φi(t)為Lagrange插值多項(xiàng)式的表達(dá)形式.此處插值點(diǎn)為高斯積分點(diǎn).

將(3)式代入(2)式，取t1=Δt=ti+1-ti，采用具有m個積分點(diǎn)的高斯積分法積分，可得

(4)

(5)

其中，

從(5)式可以得到

(6)

(6)式為辛?xí)r間子域法的計算遞推格式.計算出各系數(shù)矩陣后，求解線性方程組(6)式即可得到當(dāng)前時間子域內(nèi)各時間點(diǎn)的位移和動量.將該時間子域末端的結(jié)點(diǎn)位移和動量向量作為下一時間子域的初始狀態(tài)值，繼續(xù)計算下去就形成遞推.

2　非線性動力體系的辛?xí)r間子域-迭代法

集中質(zhì)量模型的多自由度非線性動力學(xué)方程可表示為

(7)

記(7)式的解為q(t)，對弱非線性問題，可設(shè)

(8)

其中q0(t)是對應(yīng)線性方程(1)的解.

將(8)式代入(7)式

(9)

原非線性動力方程可以分離為線性和非線性兩部分，即

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

將(10)～(11)式的解疊加，即得到原非線性動力方程在當(dāng)前時間子域的解.將這個時間子域的末端值作為下一時間子域的初始值，進(jìn)行下一個時間子域的計算，如此遞推下去直到最后一個時間子域，這就是本文建立的辛?xí)r間子域-迭代法.

3　數(shù)值仿真

3.1非線性單擺

表1　非線性單擺幅角計算結(jié)果比較(rad)

3.2非線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)

對非平衡的Jeffcott轉(zhuǎn)子，如圖1所示.該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為軸對稱系統(tǒng)，故只考慮其在一個平面內(nèi)的振動.設(shè)盤的位移為x，支承質(zhì)量的位移為y，則轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動方程為[15]

(15)

圖1　非線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)示意圖

(a)x方向位移響應(yīng)

(b)y方向位移響應(yīng)

時間/s200300400500本文方法(Δt=0.01s)-8.912781.958729.0601111.41802-2.142960.476012.183982.73173RK-4法(Δt=0.001s)-8.912691.958989.0605711.41793-2.143010.475832.184012.73196

兩者結(jié)果吻合.說明本文方法取較大時間步長，經(jīng)長時間計算(t=0～500s)后，仍可保持較高精度，是一種高性能的算法.

3.3非線性平行不對中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)

在旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，轉(zhuǎn)子不對中是不可避免的，是引起機(jī)械故障的重要原因.對圖3所示平行不對中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，其無量綱化后的動力方程組為[16]

圖3　不對中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)示意圖

(16)

取ω0=0.2,ζ=0.2,ε=0.5，零初始條件，采用本文方法(m=2,Δt=0.08)計算得到系統(tǒng)的位移響應(yīng)及軸心軌跡如圖4所示(響應(yīng)均是經(jīng)過充分衰減后的穩(wěn)態(tài)解)，可以看出此時系統(tǒng)的振動是準(zhǔn)周期的；若ε=2，其他參數(shù)不變，從圖5所示的結(jié)果可以看出，此時的振動具有周期性，這與實(shí)際情況比較相符.

(a)x方向位移響應(yīng)圖

(b)軸心軌跡圖

(a)x方向位移響應(yīng)圖

(b)軸心軌跡圖

4　結(jié)論

將非線性機(jī)械系統(tǒng)的動力方程從形式上分離為線性和非線性兩部分，結(jié)合哈密頓系統(tǒng)的辛?xí)r間子域法和迭代法，建立了計算系統(tǒng)動力響應(yīng)的辛?xí)r間子域-迭代法.該法繼承和發(fā)展了辛?xí)r間子域法，也補(bǔ)充和豐富了非線性機(jī)械系統(tǒng)動力響應(yīng)的分析方法.通過對非線性單擺、轉(zhuǎn)子系統(tǒng)和不對中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力響應(yīng)計算，可以看出該法具有較高的計算精度和計算效率，是求解非線性機(jī)械系統(tǒng)動力問題的一種有效方法.

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(責(zé)任編輯孫對兄)

Symplectic time subdomain iterative method formechanicalsystemswithnonlinearities

LIWei-hua1,NIUXi-shan2

(1.College of Electromechanical Engineering,Guangdong Polytechnic Normal University,Guangzhou 510635,Guangdong,China;2.GuangdongHuafangArchitectural&EngineeringDesignCo.,LTD,Guangzhou510220,Guangdong,China)

Asymplectictime-subdomainiterativemethodfornonlinearmechanicalsystemisproposedinthispaper.Firstly,theresponseofthenonlineardynamicequationisdividedintothelinearpartandnonlinearpartinanytime-subdomain.Forthelinearpart,symplectictime-subdomainalgorithmbasedonunconventionalHamiltonincrementalvariationalprincipleinphasespace,isusedtosolvethelinearequation.Thenonlineartermistreatedasloadbysubstitutingwiththelinearresponse,thusthesymplectictime-subdomainalgorithmisusedrepeatedlyuntiltheerrorissatisfied.Thesolutionsoftwopartscanbecomposedtogethertogetthenumericalresultsoforiginalequationincurrenttime-subdomain.Then,theobtainedendvaluesarealsoregardedastheinitialvaluesofthenexttimesubdomainandtheiterationwillberepeateduntilthevaluesofthefinaltimesubdomain.Numericalexampleispresentedtodemonstratetheaccuracyandthecomputationalefficiency.

nonlineardynamics;symplectictimesubdomainalgorithm;iterativemethod;variationalprinciple;mechanicalsystems

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.04.006

2016-03-10;修改稿收到日期:2016-05-03

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11202247)

李緯華(1978—)，女，甘肅慶陽人，講師，博士.主要研究方向?yàn)楣茴D體系下工程結(jié)構(gòu)動力分析的理論和方法.E-mail:lwh927@163.com

O313.2

A

1001-988Ⅹ(2016)04-0022-05