肖世富　陳學(xué)前　劉信恩

中國(guó)工程物理研究院總體工程研究所， 綿陽(yáng) 621999； ? E-mail: sfxiao@pku.org.cn

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簡(jiǎn)支-撓性支撐梁的振動(dòng)特性與軸向壓縮穩(wěn)定性研究

肖世富?陳學(xué)前劉信恩

中國(guó)工程物理研究院總體工程研究所， 綿陽(yáng) 621999； ? E-mail: sfxiao@pku.org.cn

針對(duì)可移動(dòng)簡(jiǎn)支具有撓性/不確定性的簡(jiǎn)支梁系統(tǒng)， 采用柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)相對(duì)描述方式， 建立可描述其整體轉(zhuǎn)動(dòng)和相對(duì)變形的非線性動(dòng)力學(xué)模型， 解析結(jié)合數(shù)值分析了可移動(dòng)簡(jiǎn)支剛度對(duì)系統(tǒng)模態(tài)和軸向壓縮穩(wěn)定性的影響。研究表明， 簡(jiǎn)支梁可移動(dòng)簡(jiǎn)支剛度相對(duì)梁剛度偏小時(shí)， 對(duì)系統(tǒng)低階頻率、低階振型和失穩(wěn)模式影響顯著， 主要體現(xiàn)在梁的整體轉(zhuǎn)動(dòng)特性上， 且相對(duì)描述方式中的低階振型也與經(jīng)典梁的模態(tài)不同， 體現(xiàn)了整體運(yùn)動(dòng)對(duì)相對(duì)變形模態(tài)的影響特性； 簡(jiǎn)支梁可移動(dòng)簡(jiǎn)支剛度相對(duì)梁剛度偏大時(shí)， 主要對(duì)系統(tǒng)高階頻率和振型有一定影響， 而對(duì)低階頻率、振型和失穩(wěn)模式的影響很小。此研究成果和認(rèn)識(shí)對(duì)于梁構(gòu)件約束邊界設(shè)計(jì)與柔性多體動(dòng)力學(xué)理論的應(yīng)用具有重要意義。

柔性多體系統(tǒng)； 簡(jiǎn)支梁； 邊界撓性； 模態(tài)分析； 穩(wěn)定性

北京大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis， Vol. 52， No. 4 （July 2016）

傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)力學(xué)理論和工程領(lǐng)域經(jīng)常將細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件的邊界條件簡(jiǎn)化處理為簡(jiǎn)支、固支、自由等理想邊界條件。然而， 很多實(shí)際結(jié)構(gòu)（特別是復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)中的子結(jié)構(gòu)）中， 由于材料性能不理想、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的缺陷或受限制（重量、幾何空間等）、結(jié)構(gòu)加工工藝、結(jié)構(gòu)承受苛刻的載荷條件等因素， 使得邊界條件具有較大的不確定性， 在實(shí)際工程中體現(xiàn)出固支和簡(jiǎn)支根部的撓性變形， 自由端受單面約束限制，邊界非光滑產(chǎn)生干摩擦、碰撞， 以及發(fā)生干涉而卡死等現(xiàn)象。這些因素可能對(duì)產(chǎn)品的性能和可靠性產(chǎn)生很大程度的影響， 例如很多產(chǎn)品質(zhì)量下降和性能失效的主要原因之一就在于邊界連接問(wèn)題。因此，研究邊界條件不確定性對(duì)結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響， 不僅具有很強(qiáng)的理論價(jià)值， 也是實(shí)際工程問(wèn)題的需要。

對(duì)于經(jīng)典邊界條件下梁的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的研究已相當(dāng)成熟。Trail-Nash 等［1］在理論上給出 6 類經(jīng)典邊界條件（簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支、簡(jiǎn)支-自由、自由-自由、固支-固支、固支-自由和固支-簡(jiǎn)支）下的頻率方程及部分振型函數(shù)， Huang［2］系統(tǒng)全面地解決了6類經(jīng)典邊界條件下的頻率方程和振型函數(shù)問(wèn)題。不同于上述6類經(jīng)典邊界條件， 當(dāng)邊界條件具有不確定性時(shí)，首先需要對(duì)其不確定性進(jìn)行描述和量化； 同時(shí)， 邊界的不確定性將使得梁存在整體轉(zhuǎn)動(dòng)和/或平動(dòng)自由度， 以及位移和力邊界條件耦合， 使系統(tǒng)力學(xué)問(wèn)題的求解非常復(fù)雜。對(duì)于懸臂梁根部存在撓性時(shí)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題， 文獻(xiàn)［3-13］將懸臂梁根部退化成線彈性彈簧約束， 分析了根部撓性對(duì)梁動(dòng)態(tài)特性和響應(yīng)的影響， 但沒(méi)有研究梁的整體運(yùn)動(dòng)特性。柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論容易將邊界不確定性參數(shù)化以便于工程分析， 又能同時(shí)描述系統(tǒng)的整體運(yùn)動(dòng)和相對(duì)變形， 所以得到廣泛應(yīng)用?；谌嵝远囿w系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論， 文獻(xiàn)［14］建立了撓性根部梁的嚴(yán)格非線性動(dòng)力學(xué)模型； 文獻(xiàn)［15］進(jìn)一步建立整體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)下?lián)闲愿苛旱膰?yán)格非線性動(dòng)力學(xué)模型， 分析系統(tǒng)的分岔與屈曲行為； 文獻(xiàn)［16］綜合考慮整體轉(zhuǎn)動(dòng)和局部限制約束， 研究繞軸線自轉(zhuǎn)懸臂梁自由端受單側(cè)約束下的穩(wěn)定性， 獲得較豐富的非線性現(xiàn)象； 文獻(xiàn)［17］建立任意邊界梁的動(dòng)力學(xué)模型， 得到廣義邊界條件下梁的橫向振動(dòng)代數(shù)特征方程、特征函數(shù)及特征值的退化表達(dá)式， 通過(guò)算例分析邊界小擾動(dòng)對(duì)固支-固支梁橫向振動(dòng)特征的影響規(guī)律。

本文考慮可移動(dòng)簡(jiǎn)支支撐具有撓性/剛度不確定性時(shí)簡(jiǎn)支梁的振動(dòng)特性與壓縮穩(wěn)定性問(wèn)題， 采用柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論的相對(duì)描述方式， 建立系統(tǒng)的大撓度非線性動(dòng)力學(xué)模型， 分析邊界不確定性/撓性對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性與壓縮穩(wěn)定性的影響規(guī)律， 以提升對(duì)具有邊界不確定性結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的認(rèn)識(shí)。

1　動(dòng)力學(xué)建模

本文只考慮簡(jiǎn)支梁的軸向可移動(dòng)簡(jiǎn)支支撐剛度存在不確定性/撓性（不可移簡(jiǎn)支不確定性可類似處理）， 采用柔性多體系統(tǒng)相對(duì)描述理論， 將移動(dòng)簡(jiǎn)支支撐剛度的不確定性參數(shù)化的思路進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模， 如圖 1 所示。圖 1 中， -OXY~~為慣性坐標(biāo)系， 單位矢量為i和j；O-XY 為描述梁相對(duì)變形的浮動(dòng)坐標(biāo)系， 其運(yùn)動(dòng)由可移動(dòng)簡(jiǎn)支邊不確定性導(dǎo)致的支撐彈性變形引起， 相對(duì)于坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)角為設(shè)梁長(zhǎng)為L(zhǎng)， 橫截面積為A， 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，密度為ρ， 彈性模量為E， 梁在可移動(dòng)簡(jiǎn)支邊受OX方向的壓力F作用。

系統(tǒng)的建?；谝韵?個(gè)基本假定: 1） 柔性梁的變形運(yùn)動(dòng)在 O-XY 平面內(nèi)； 2） 只考慮梁的幾何非線性， 而材料本構(gòu)特性仍假設(shè)為線性的； 3） 不考慮梁幾何和物理參數(shù)的不確定性， 僅考慮可移動(dòng)簡(jiǎn)支邊支撐剛度的不確定性， 基于柔性多體系統(tǒng)相對(duì)描述理論將其參數(shù)化， 假設(shè)可移動(dòng)簡(jiǎn)支邊不確定性導(dǎo)致的支撐彈性力滿足非線性強(qiáng)化彈性關(guān)系:其中， K為線彈性剛度， Λ為非線性彈性剛度， 均為不確定性參數(shù)。

引入以下記號(hào): 1） 在浮動(dòng)坐標(biāo)系 O-XY 中， 柔性梁的變形使中軸線上原來(lái)自然狀態(tài)下的（x， 0）點(diǎn)，在t時(shí)刻變?yōu)椋╔， Y）， 且中軸線轉(zhuǎn)角為（，）xtθ； 2） 梁不可移動(dòng)簡(jiǎn)支邊端點(diǎn)到（X， Y）點(diǎn)的弧長(zhǎng)為s（x， t）， 記為梁中軸線的伸長(zhǎng)率。

下面采用廣義 Hamilton 原理， 建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。

在慣性坐標(biāo)系-OXY~~中， 梁的位移場(chǎng)為

受完整幾何約束

作用， 式中X′和Y′表示對(duì)空間坐標(biāo)x的偏導(dǎo)數(shù)。

梁的線性本構(gòu)方程為

式中， N為軸力， M為彎矩。由梁的位移場(chǎng)（式（1））和本構(gòu)關(guān)系（式（3））可計(jì)算得到梁的能量。

梁的動(dòng)能為

式中， X˙和Y˙表示對(duì)時(shí)間坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)。梁的勢(shì)能為

移動(dòng)簡(jiǎn)支不確定性導(dǎo)致的支撐彈性變形勢(shì)能為

移動(dòng)簡(jiǎn)支端壓力P所作的虛功為

由廣義 Hamilton 原理， 并采用 Lagrange 乘子法， 考慮約束方程（式（2））的影響， 有

式中， P和Q為L(zhǎng)agrange乘子， 其物理意義為梁在浮動(dòng)坐標(biāo)系中水平和垂直方向的內(nèi)力， 與梁的軸力和剪力S有以下關(guān)系

將已求得的動(dòng)能、勢(shì)能及虛功表達(dá)式代入式（8）， 即可得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程組:

及其邊界條件

考慮不可拉伸梁， 即（，）1xtγ≡， 引進(jìn)無(wú)量綱化參數(shù)， 設(shè)

顯然， μ和η仍然為不確定性參數(shù)， 且與不確定性剛度參數(shù)K和Λ成正比。

記x為ξ， 則式（10）和（11）無(wú)量綱化為

對(duì)應(yīng)的邊界條件為

不考慮軸向壓縮載荷的作用， 假設(shè)梁及其可移動(dòng)彈性支撐均為小變形， 則對(duì)式（13）及其邊界條件（式（14））進(jìn)行線性化， 可獲得梁橫向振動(dòng)的線性化動(dòng)力學(xué)模型:

做線性變換

則式（15）中梁的變形方程可變換為

此即簡(jiǎn)支-彈性支撐梁的經(jīng)典線性動(dòng)力學(xué)方程， 具有混合邊界條件且未包含描述梁整體轉(zhuǎn)動(dòng)的變量，不能描述剛性梁的轉(zhuǎn)動(dòng)。線性方程組（式（15））采用相對(duì)描述方式， 同時(shí)具有描述梁相對(duì)變形和整體轉(zhuǎn)動(dòng)的變量， 可描述剛性梁的整體轉(zhuǎn)動(dòng)， 且梁變形控制方程的邊界條件非常簡(jiǎn)單， 更有利于近似解析分析。

2　邊界不確定性對(duì)梁橫向振動(dòng)特性的影響

當(dāng)簡(jiǎn)支梁可移動(dòng)簡(jiǎn)支支撐剛度存在不確定性時(shí)， 其線性動(dòng)力學(xué)模型為式（15）， 其中μ是表征可移動(dòng)簡(jiǎn)支支撐剛度不確定性的無(wú)量綱化參數(shù)。令

將式（18）代入式（15）， 即可得到系統(tǒng)線性自由振動(dòng)的無(wú)量綱化特征方程組:

將式（20）代入式（19）， 可得到代數(shù)特征值方程:

對(duì)應(yīng)的振型函數(shù)為

由線性變換（式（16））， 可得到梁在慣性坐標(biāo)系中的振型函數(shù):

顯然， 由于μ是不確定性參數(shù)， 因此特征值λ具有不確定性， 從而振型函數(shù)也具有不確定性。由于代數(shù)特征方程（式（21））不存在解析解， 所以采用數(shù)值方法分析移動(dòng)簡(jiǎn)支不同支撐剛度對(duì)系統(tǒng)前3階特征值的影響。為簡(jiǎn)單， 本文假設(shè)支撐剛度具有區(qū)間型不確定性， 且取不確定性參數(shù)2μβ均值的±10%區(qū)間進(jìn)行分析。

在不確定性參數(shù)2μβ均值的±10%區(qū)間內(nèi)對(duì)代數(shù)特征值方程（式（21））進(jìn)行數(shù)值求解， 該不確定性參數(shù)均值對(duì)系統(tǒng)前3階均值（No.1， No.2和No.3）頻率的影響如圖2所示。

數(shù)值計(jì)算與圖2表明: 1） 系統(tǒng)前3階特征值隨可移動(dòng)簡(jiǎn)支支撐剛度的增加而升高， 隨著支撐剛度的增加， 趨近于簡(jiǎn)支梁的前3階特征值； 2） 移動(dòng)簡(jiǎn)支支撐剛度的分散性對(duì)不同階特征值的影響不同，隨特征值階數(shù)的升高逐漸向支撐剛度增加的方向偏移（曲線斜率最大的區(qū)域）， 即簡(jiǎn)支支撐剛度小時(shí)，對(duì)低階（特別是第一階）頻率影響大， 簡(jiǎn)支支撐剛度大時(shí)， 對(duì)高階頻率影響大， 支撐剛度達(dá)到一定值后，簡(jiǎn)支支撐的撓性對(duì)低階頻率的影響可忽略； 3） 在不確定性參數(shù)2

μβ均值的±10%區(qū)間內(nèi)， 第 1 階特征值的分散性在±3%以內(nèi)， 第 2 階特征值的分散性在±1.5%以內(nèi)， 第 3 階特征值的分散性在±1.1%以內(nèi)，即隨著特征值階數(shù)的升高， 其相對(duì)分散性將下降。

下面分析可移動(dòng)簡(jiǎn)支支撐剛度對(duì)簡(jiǎn)支梁振型的影響。對(duì)于不同的支撐剛度， 梁在慣性坐標(biāo)系中的振型函數(shù)如圖3所示， 各振型采用均方模1的方式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。實(shí)線是撓性簡(jiǎn)支支撐梁的振型， 虛線是理想簡(jiǎn)支梁的振型。

圖3表明: 1） 當(dāng)簡(jiǎn)支梁可移動(dòng)簡(jiǎn)支支撐剛度較?。▽?shí)際的簡(jiǎn)支-彈性支撐梁）時(shí)， 系統(tǒng)的第1階振動(dòng)形態(tài)主要體現(xiàn)為梁的整體轉(zhuǎn)動(dòng)， 對(duì)第 2， 3 階端部的約束也較小， 與簡(jiǎn)支梁相應(yīng)模態(tài)差別較大， 基本上破壞了其相對(duì)梁中間的對(duì)稱或反對(duì)稱性質(zhì)； 2） 隨著簡(jiǎn)支梁可移動(dòng)簡(jiǎn)支支撐剛度的增加， 其對(duì)梁端部的約束逐漸增強(qiáng)， 系統(tǒng)的第 1 階振動(dòng)形態(tài)逐漸體現(xiàn)為梁的第 1 階橫向彎曲振型， 各階振型也逐漸趨近理想簡(jiǎn)支梁的振型， 且低階比高階趨近速度更快， 與前面的特征值隨支撐剛度變化的趨勢(shì)一致。

對(duì)于不同的支撐剛度， 梁在相對(duì)坐標(biāo)系中的振型函數(shù)如圖 4 所示， 各振型同樣采用均方模 1 的方式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。

圖 4 表明: 可移動(dòng)簡(jiǎn)支支撐剛度對(duì)簡(jiǎn)支梁相對(duì)坐標(biāo)系中的第 1 階振型影響很小， 但對(duì)第 2， 3 階等高階振型的影響非常顯著， 在支撐剛度偏低的較大范圍內(nèi)， 前兩階振型都沒(méi)有節(jié)點(diǎn)（與經(jīng)典梁模態(tài)節(jié)點(diǎn)的基本定性性質(zhì)［18］不同）， 表明多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)離散建模時(shí)， 需慎重采用結(jié)構(gòu)的經(jīng)典模態(tài)進(jìn)行離散。

3　邊界不確定性對(duì)簡(jiǎn)支梁軸向壓縮穩(wěn)定性的影響

移動(dòng)簡(jiǎn)支支撐剛度具有不確定性的簡(jiǎn)支梁的無(wú)

量綱化靜力學(xué)方程組及其邊界條件可由式（13）和（14）獲得:

方程組（24）是強(qiáng)非線性連續(xù)體微分-代數(shù)方程組， 無(wú)解析解。本文僅考慮其梁的一階失穩(wěn)， 依據(jù)上節(jié)分析， 可采用簡(jiǎn)支梁的一階模態(tài)離散方程組（24）的連續(xù)體微分方程組， 即設(shè)

式中，1v為廣義坐標(biāo)。方程組（24）中的幾何約束方程

在保留到廣義坐標(biāo)1v的3階項(xiàng)時(shí)， 可近似為

仍然保留廣義坐標(biāo)1v、轉(zhuǎn)角α及其耦合的3階項(xiàng)， 則方程組（24）中梁的變形勢(shì)能為

將式（25）和（28）代入式（29）， 對(duì)廣義坐標(biāo)1v變分， 并結(jié)合方程組（24）中轉(zhuǎn)角滿足的代數(shù)方程， 可獲得移動(dòng)簡(jiǎn)支支撐剛度具有不確定性簡(jiǎn)支梁的無(wú)量綱化近似靜態(tài)平衡方程組:

由式（30）可得到移動(dòng)簡(jiǎn)支支撐剛度具有不確定性時(shí)壓縮簡(jiǎn)支梁的穩(wěn)定性。

平衡方程（30）的穩(wěn)定性分析表明: 當(dāng)移動(dòng)簡(jiǎn)支支撐剛度較小， 使得無(wú)量綱參數(shù)滿足時(shí)，軸向壓縮簡(jiǎn)支梁首先發(fā)生整體轉(zhuǎn)動(dòng)失穩(wěn)， 隨著壓縮載荷的進(jìn)一步增大， 梁才可能發(fā)生彎曲失穩(wěn)； 當(dāng)移動(dòng)簡(jiǎn)支支撐剛度加大， 使得無(wú)量綱參數(shù)滿足μ≥時(shí)， 只發(fā)生梁的彎曲失穩(wěn)， 而沒(méi)有整體轉(zhuǎn)動(dòng)，即簡(jiǎn)支梁支撐剛度的小不確定性不影響其軸向壓縮穩(wěn)定性。

下面對(duì)上述軸向壓縮穩(wěn)定性問(wèn)題的近似解析分析進(jìn)行初步驗(yàn)證和補(bǔ)充。首先是臨界失穩(wěn)值， 由于方程組（24）的初始平衡解是平凡解， 在其鄰域線性化可得特征值問(wèn)題:

特征方程（34）的特征值為

顯然， 近似分析的臨界值與式（35）的前兩階相同，即近似解析分析的失穩(wěn)臨界值是正確的。

當(dāng)壓縮載荷進(jìn)一步增大， 特別是桿的整體剛性轉(zhuǎn)動(dòng)和屈曲耦合時(shí)， 需要由方程組（24）數(shù)值求解，壓桿的整體剛性轉(zhuǎn)動(dòng)和屈曲值有一定修正， 但分岔和屈曲的模式不會(huì)有太大的變化（可以由式（31）和（32）近似表示）， 本文不再做進(jìn)一步的分析。

4　結(jié)束語(yǔ)

本文面向?qū)嶋H工程普遍存在的邊界不確定性，應(yīng)用柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)相對(duì)描述理論， 建立了可移動(dòng)簡(jiǎn)支剛度具有不確定性簡(jiǎn)支梁的非線性動(dòng)力學(xué)模型， 解析結(jié)合數(shù)值分析了可移動(dòng)簡(jiǎn)支剛度不確定性對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性和軸向壓縮穩(wěn)定性的影響， 得到以下結(jié)論和認(rèn)識(shí)。

1） 應(yīng)用相對(duì)描述方式建立具有邊界不確定性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型， 可以刻畫邊界不確定性導(dǎo)致的系統(tǒng)整體運(yùn)動(dòng)特性， 而絕對(duì)描述方式難以直觀刻畫此特性。

2） 可移動(dòng)簡(jiǎn)支支撐剛度對(duì)系統(tǒng)不同階特征值的影響不同， 小剛度簡(jiǎn)支支撐相對(duì)對(duì)低階（特別是第 1 階）頻率的影響大， 大剛度簡(jiǎn)支支撐相對(duì)對(duì)高階頻率的影響大， 支撐剛度達(dá)到一定值后， 可移動(dòng)簡(jiǎn)支支撐的撓性對(duì)低階頻率的影響即可忽略。對(duì)于支撐剛度不確定性對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)頻率的影響， 當(dāng)移動(dòng)簡(jiǎn)支支撐剛度參數(shù)KL3/EI的分散性在均值的±10%區(qū)間內(nèi)時(shí)， 簡(jiǎn)支梁無(wú)量綱特征值參數(shù)λ（4λ=的第 1 階的分散性在±3%以內(nèi)， 第 2階的分散性在±1.5%以內(nèi)， 第 3 階的分散性在±1.1%以內(nèi)， 即隨著特征值階數(shù)的升高， 其相對(duì)分散性將下降。

3） 對(duì)于慣性坐標(biāo)系中的振型， 當(dāng)簡(jiǎn)支梁可移動(dòng)簡(jiǎn)支支撐剛度較?。▽?shí)際的簡(jiǎn)支-彈性支撐梁）時(shí)， 系統(tǒng)第 1 階振動(dòng)形態(tài)主要體現(xiàn)為梁的整體轉(zhuǎn)動(dòng)， 第 2，3 階也與簡(jiǎn)支梁相應(yīng)模態(tài)差別較大， 基本上破壞了梁模態(tài)的對(duì)稱或反對(duì)稱性質(zhì)； 隨著簡(jiǎn)支梁可移動(dòng)簡(jiǎn)支支撐剛度的增加， 各階振型也逐漸趨近理想簡(jiǎn)支梁的振型， 且低階比高階趨近速度更快。

4） 對(duì)于相對(duì)坐標(biāo)系中的振型， 與慣性坐標(biāo)系中的影響不同， 可移動(dòng)簡(jiǎn)支支撐剛度對(duì)第 1 階振型影響很小， 但對(duì)第 2， 3 階等高階振型的影響非常顯著，在支撐剛度偏低的較大范圍內(nèi)， 前兩階振型都沒(méi)有節(jié)點(diǎn)（與經(jīng)典梁模態(tài)節(jié)點(diǎn)基本定性性質(zhì)不同）， 體現(xiàn)了整體運(yùn)動(dòng)對(duì)梁固有振動(dòng)行為的影響特性， 表明在多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)離散建模時(shí)， 需要慎重采用結(jié)構(gòu)的經(jīng)典模態(tài)進(jìn)行離散。例如應(yīng)用假設(shè)模態(tài)法離散連桿機(jī)構(gòu)時(shí)， 若簡(jiǎn)單采用梁的經(jīng)典模態(tài)進(jìn)行離散， 其計(jì)算精度可能難以保障。

5） 對(duì)于可移動(dòng)簡(jiǎn)支支撐剛度不確定性對(duì)軸向壓縮簡(jiǎn)支梁穩(wěn)定性的影響， 當(dāng)移動(dòng)簡(jiǎn)支支撐剛度較小， 滿足時(shí)， 軸向壓縮簡(jiǎn)支梁首先發(fā)生整體轉(zhuǎn)動(dòng)失穩(wěn)， 隨著壓縮載荷的進(jìn)一步增大， 梁才可能發(fā)生彎曲失穩(wěn)； 當(dāng)移動(dòng)簡(jiǎn)支支撐剛度加大， 滿足時(shí)， 系統(tǒng)只發(fā)生梁的彎曲失穩(wěn)， 而沒(méi)有整體轉(zhuǎn)動(dòng)， 即簡(jiǎn)支梁支撐剛度的小不確定性不影響其軸向壓縮穩(wěn)定性。

本文研究成果和認(rèn)識(shí)對(duì)于梁構(gòu)件約束邊界設(shè)計(jì)、柔性多體動(dòng)力學(xué)理論的建模及其應(yīng)用具有重要意義。

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Study on the Vibration Characteristic and Axial-Compressive Stability of the Beam with Simple and Flexible Supports

XIAO Shifu?， CHEN Xueqian， LIU Xinen
Institute of Systems Engineering， China Academy of Engineering Physics， Mianyang 621999； ? E-mail: sfxiao@pku.org.cn

For the beam with simple and flexible supports， a nonlinear dynamic model is established by applying the flexible multi-body dynamic theory. The model can describe both the global rotation and the relative deformation of the beam. The modal and axial-compressive stability of the system are investigated by using analytical and numerical method， and the effect of the movable support stiffness are obtained. The results show that there is great influence on the lower-order frequencies， vibration shape and the buckling mode of the system while the movable support stiffness is smaller than the beam. In this case， they behave to the global rotation characteristic and the lower-order vibration shape in the floating coordinate system is also different to the classical beam， which is affected by the global rotation. However， when the movable support is very stiff， the influence on the lowerorder frequencies， vibration shape and the buckling mode of the system are extremely slight and the uncertainty of the movable support stiffness only lightly affects the higher-order frequencies and vibration shape of the system. The results are important to the constraint boundary design of the beam and the application of the flexible multibody dynamic theory.

flexible multi-body systems； simply-supported beam； boundary flexibility； modal analysis； stability

O317

10.13209/j.0479-8023.2016.085

中國(guó)工程物理研究院重點(diǎn)學(xué)科項(xiàng)目“計(jì)算固體力學(xué)”和中國(guó)工程物理研究院科學(xué)技術(shù)發(fā)展基金（2013A0203007）資助

2015-11-23；

2016-02-25； 網(wǎng)絡(luò)出版日期: 2016-07-12