薛　紜　翁德瑋

1. 上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 上海201418; 2. 上海大學(xué), 上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所,上海200072; ? E-mail: xy@sit.edu.cn

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Kirchhoff彈性桿不連續(xù)量的奇異函數(shù)表達(dá)

薛紜1，?翁德瑋2

1. 上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 上海201418; 2. 上海大學(xué), 上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所,上海200072; ? E-mail: xy@sit.edu.cn

彈性細(xì)桿靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)的Kirchhoff方程要求在外力、質(zhì)量幾何以及本構(gòu)方程的間斷或不光滑點(diǎn)處分段表達(dá), 這不利于數(shù)值計(jì)算。根據(jù)計(jì)算梁彎曲變形的奇異函數(shù)法, 將奇異函數(shù)引入Kirchhoff方程, 將彈性桿分段定義的量拓展為沿全桿的連續(xù)函數(shù)。借助 Mathematica 軟件, 對(duì)存在側(cè)向集中載荷的彈性桿進(jìn)行數(shù)值模擬, 結(jié)果表明, 引入奇異函數(shù)可以避免分段導(dǎo)致的繁瑣計(jì)算, 提高計(jì)算效率。

Kirchhoff彈性桿; 不連續(xù)量; 奇異函數(shù); 局部載荷; 平衡位形

北京大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis, Vol. 52, No. 4 (July 2016)

彈性細(xì)桿靜力學(xué)的一般理論由Kirchhoff[1–2]、Clebsch[3–4], Love[5–6]以及Dill[7]的工作形成。在忽略彈性桿的伸縮和截面的剪切變形的條件下(Kirchhoff 彈性桿模型), 用彈性桿中心線的 Frenet軸系隨弧坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)表達(dá)彈性桿的位形, 導(dǎo)出的以弧坐標(biāo)為自變量, 以曲率和撓率為未知函數(shù)的平衡微分方程與剛體動(dòng)力學(xué)的 Euler 方程, 在數(shù)學(xué)形式上完全相同, 由此產(chǎn)生“Kirchhoff動(dòng)力學(xué)比擬”思想, 為連續(xù)彈性細(xì)桿的離散化提供了新的研究思路和方法[8–15], 開(kāi)創(chuàng)了用剛體動(dòng)力學(xué)的概念和方法研究彈性細(xì)桿靜力學(xué)的新思路。將Cosserat有向介質(zhì)理論中的方向子取代Frenet軸系作為截面主軸坐標(biāo)系的基矢量[9], 此方向子隨弧坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)同樣形成彈性桿的位形, 以彎扭度的主軸分量為未知函數(shù)列出的平衡微分方程仍具有 Euler 方程的形式, 在體現(xiàn)“Kirchhoff動(dòng)力學(xué)比擬”思想的同時(shí), 可以在概念和方法上進(jìn)行更廣泛的動(dòng)力學(xué)比擬, 還可以方便地考慮彈性桿存在伸縮和截面剪切變形的一般情況,稱為Cosserat彈性桿精確模型。

Kirchhoff 方程要求外力、質(zhì)量幾何以及本構(gòu)方程沿桿長(zhǎng)連續(xù)。實(shí)際上, 間斷或不光滑點(diǎn)的存在是不可避免的, Kirchhoff 方程只能分段表達(dá), 導(dǎo)致邊界條件增加, 使得計(jì)算繁瑣。在求解梁的彎曲變形中引入奇異函數(shù), 很好地解決了此問(wèn)題[16–17]。

采用間斷多項(xiàng)式表述梁的彎矩和撓度方程由Clebsch[3]提出, Macauley[18]建議用括號(hào)〈〉表示。然而, 他們的建議未引起注意。直到Dirac提出δ 函數(shù), Schwartz闡明了δ 函數(shù)并創(chuàng)立廣義函數(shù)論后, Pilkey[19]首次用于求解梁的變形。奇異函數(shù)法是將集中力或集中力偶, 以及局部分布力, 用奇異函數(shù)統(tǒng)一表達(dá)成沿全梁的分布量, 從而避免分段計(jì)算的麻煩。王燮山[17]系統(tǒng)闡述了奇異函數(shù)及其在材料力學(xué)、高等材料力學(xué)、彈性薄板等力學(xué)中的應(yīng)用, 冷坳坳等[20]用奇異函數(shù)研究了船舶推進(jìn)軸系的變形問(wèn)題, 吳阿林[21]用奇異函數(shù)給出單跨梁的影響線表達(dá)式和連續(xù)階梯梁影響線方程, 徐彬等[22]討論了框架結(jié)構(gòu)分析的奇異函數(shù)方法。

Kirchhoff彈性桿的特點(diǎn)是受空間力系作用, 位形的空間形態(tài)復(fù)雜, 因此, 將奇異函數(shù)法引入Kirchhoff彈性桿力學(xué)很有必要。這樣, 可以為涉及的分段或局部定義的幾何和物理參數(shù)給出一個(gè)沿桿長(zhǎng)連續(xù)的表達(dá)式, 給數(shù)值計(jì)算帶來(lái)方便。

1　Kirchhoff動(dòng)力學(xué)方程

依據(jù) Kirchhoff 彈性桿力學(xué)理論, 以桿的截面為對(duì)象, 建立慣性坐標(biāo)系-Oξηζ以及與截面固結(jié)的形心主軸坐標(biāo)系-Pxyz, 沿坐標(biāo)軸的單位基矢量分別為和其中為中心線弧坐標(biāo)s和時(shí)間t的函數(shù),e3為切向基矢量,指向弧坐標(biāo)增加方向。兩組基的關(guān)系為式中H為單位正交陣。-Pxyz的位置用截面形心相對(duì)慣性系的矢徑的坐標(biāo)陣和截面姿態(tài)的 Euler 角列陣T()描述。截面的運(yùn)動(dòng)方程為

設(shè)6個(gè)位形坐標(biāo)關(guān)于s和t為2階連續(xù)可微。對(duì)于除端部外不受約束的自由彈性桿, 6個(gè)廣義坐標(biāo)為獨(dú)立變量, 根據(jù)Kirchhoff假定, 其偏導(dǎo)需滿足方程[8]:

式中, 撇號(hào)表示對(duì)弧坐標(biāo)s的偏導(dǎo)數(shù)。式(2)的投影式為

方程(3)是不可積的, 構(gòu)成內(nèi)約束而無(wú)需約束力。彎扭度(,)stω和角速度(,)st?用Euler角表示為

其中, ω = (ω1ω2ω3)T, Ω = (Ω1Ω2Ω3)T, ωi= ω · ei, Ωi= Ω · ei, 矩陣Θ的定義[8]為

其中,iq依次為3個(gè)Euler角,iΞ為Euler角的矢值函數(shù), 變量頂部的點(diǎn)號(hào)表示對(duì)t的偏導(dǎo)數(shù)。式(4)在截面主軸坐標(biāo)系中的矩陣式為

其中, 假定桿的原始形態(tài)為直桿,iM和iω為截面內(nèi)力的主矩和彎扭度的主軸分量; B1和B2為關(guān)于主軸 x 和y的抗彎剛度,3B為關(guān)于主軸z的抗扭剛度。彈性細(xì)桿動(dòng)力學(xué)方程為

假設(shè)彈性細(xì)桿服從虎克定律, 本構(gòu)關(guān)系表示為

其中, F為截面內(nèi)力的主矢; ρ為桿的密度; A為截面積;為截面對(duì)質(zhì)心的慣量并矢, 在主軸坐標(biāo)系下的坐標(biāo)陣為, 可表示為為截面對(duì)主軸x和y的慣性矩,為對(duì)z軸的極慣性矩, 且有

方程(8)要求質(zhì)量幾何參數(shù) ρ, Jj, Ij, A以及外力f, m沿桿長(zhǎng)都是連續(xù)的。當(dāng)出現(xiàn)集中質(zhì)量、集中力和集中力偶以及局部分布載荷等時(shí), 這些參數(shù)對(duì)弧坐標(biāo)不連續(xù), 需分段列出動(dòng)力學(xué)方程。求解分段連續(xù)微分方程的工作量較大, 用奇異函數(shù)表達(dá)這些量就可以避免分段列寫和求解動(dòng)力學(xué)方程。

2　奇異函數(shù)的定義及其微分和積分

奇異函數(shù)的定義[17]為

式中, 1n=-時(shí)稱為δ函數(shù)、脈沖函數(shù)或 Dirac 函數(shù), 0n=時(shí)稱為單位階躍函數(shù)或 Heaviside 函數(shù),奇異函數(shù)的微分和積分公式為

Kirchhoff彈性桿是以弧坐標(biāo)為自變量, 因此,將奇異函數(shù)用于表達(dá)空間形態(tài)的Kirchhoff彈性桿的幾何和物理參數(shù)時(shí), 自變量x和xi用弧坐標(biāo)s和si表示。

3　彈性細(xì)桿不連續(xù)量沿桿長(zhǎng)的表達(dá)

3.1彈性細(xì)桿分段連續(xù)量沿桿長(zhǎng)的表達(dá)

考慮長(zhǎng)為l的彈性細(xì)桿, 分為n段, 段長(zhǎng)從端面開(kāi)始依次為il, 其中彈性細(xì)桿分段連續(xù)量包括幾何量和物理量。如階梯桿, 其截面尺寸、截面積、截面對(duì)主軸的二次矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在每一桿段上為常值; 再如, 分段連續(xù)的分布載荷, 等等。分段連續(xù)量用 Zi表示, 借助單位階躍函數(shù)(式(11)中0n=), 將定義在彈性桿上的同一性質(zhì)的分段連續(xù)量拓展到全桿, 統(tǒng)一表示為

這里,iZ亦可為矢量, 例如分布力。方向不變的常值矢量要指明是相對(duì)慣性參照系-Oξηζ還是與截面固結(jié)的形心主軸坐標(biāo)系-Pxyz(后者稱為隨動(dòng)矢量)。

3.2彈性細(xì)桿的集中量沿桿長(zhǎng)的表達(dá)

彈性細(xì)桿的集中量包括集中質(zhì)量和集中載荷,例如, 彈性桿的某一階梯段長(zhǎng)度極短可看做集中質(zhì)量, 作用于彈性桿側(cè)向的集中力和集中力偶等都是集中載荷。集中量用iY表示, 借助脈沖函數(shù)(式(9)中1n=-), 將定義在彈性桿上一點(diǎn)的集中量拓展到全桿。集中量沿彈性桿軸線的分布密度為

則彈性桿上 n 個(gè)同一性質(zhì)的集中量iY沿彈性桿軸線的分布密度為

這里,iY可以為矢量。

等號(hào)右邊的兩項(xiàng)可化為

兩式相減得

令0Δ→,得到集中力偶的線分布集度:

數(shù)值計(jì)算時(shí), 集中量的上述表述過(guò)于理想化,并不適合數(shù)值計(jì)算。集中力是力分布區(qū)域極小的抽象, 因此將集中量還原為分布區(qū)域很小的分布量,這樣, 可用式(12)來(lái)表達(dá)在彈性桿弧坐標(biāo)處作用的集中力或集中力偶iP, 則集度為(Δ為小量), 用單位階躍函數(shù)表示為

4 彈性桿平衡位形算例

令v=0, Ω =0, 式(8)即為Kirchhoff彈性桿的平衡微分方程(仍記為式(8))。下面將變量和參數(shù)無(wú)量綱化:

式中省略了所有無(wú)量綱記號(hào),iF為截面主矢在Résal坐標(biāo)系的投影, ω30為ω3=ω ·e3的起始值。

考慮如下參數(shù)和起始值, 借助 Mathematica 軟件求數(shù)值解。

1) λ=0.5, b=0.02, s1=0.3, s2=0.6, s∈(0, 3),

5 結(jié)語(yǔ)

Kirchhoff彈性細(xì)桿靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程要求物理和幾何參數(shù)沿桿全長(zhǎng)連續(xù)分布, 然而一般情形下, 連續(xù)的彈性細(xì)桿上常存在不連續(xù)的質(zhì)量幾何、作用力以及物理參數(shù)。利用奇異函數(shù), 將這些不連續(xù)量拓展到全桿定義, 借助數(shù)學(xué)軟件, 可以方便地進(jìn)行數(shù)值模擬, 由此避免了分段計(jì)算帶來(lái)的繁瑣和工作量, 提高了計(jì)算效率。

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Discontinuous Quantities of Kirchhoff Elastic Rod Expressed by Singularity Function

XUE Yun1，?， WENG Dewei2
1. School of Mechanical Engineering, Shanghai Institute of Technology, Shanghai 201418; 2. Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Shanghai University, Shanghai 200072; ? E-mail: xy@sit.edu.cn

Kirchhoff equation of thin elastic rod statics and dynamics must be written in piecewise at section with discontinuous or nonsmooth quantities such as external forces, mass geometry and physical parameters, which leads to inconvenience to the numerical calculation. According to singular function method in calculation of beam bending deformation, these discontinuous or nonsmooth quantities of the rod are expressed by singular function and become continues quantities alone centerline of the rod. Numerical simulations of equilibrium configuration of the rod acted by lateral concentrated load are made by means of Mathematics software. Results explain that introducing singular function to express discontinuous or nonsmooth quantities can avoid complicated calculation and improve the computational efficiency.

Kirchhoff elastic rod; discontinuous quantities; singularity function; local loads; equilibrium configuration

O31; O33

10.13209/j.0479-8023.2016.086

國(guó)家自然科學(xué)基金(11372195, 10972143)資助

2015-10-10;

2016-03-16; 網(wǎng)絡(luò)出版日期: 2016-07-12