張大鵬,薛　雯，朱秀麗，徐中海,

(1.東北電力大學(xué) 理學(xué)院,吉林 吉林 132011；2.東北電力大學(xué) 學(xué)報(bào)編輯部，吉林 吉林 132012)

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一類(lèi)二階常微分方程初值問(wèn)題解的性質(zhì)的完全證明

張大鵬1,薛雯2，朱秀麗1，徐中海1,2

(1.東北電力大學(xué) 理學(xué)院,吉林 吉林 132011；2.東北電力大學(xué) 學(xué)報(bào)編輯部，吉林 吉林 132012)

在文獻(xiàn)[1]的附錄B中，研究了一類(lèi)二階常微分方程初值問(wèn)題古典解的性質(zhì)，并給出了相應(yīng)的理論證明。作者認(rèn)為該證明過(guò)程存在一些疏漏，鑒于其在文獻(xiàn)[1]中的基礎(chǔ)作用，本文給出其相應(yīng)的完整證明。

二階常微分方程；初值問(wèn)題；有界

在文獻(xiàn)[1]的附錄B中，研究了如下問(wèn)題

(BQ)

其中，M0>0， 0

(H1)g(t)≥0，在(-∝,0)∪(0,+∝)上光滑，在(0,+∝)上不增；

(H2)f(t)>0，在(-∝,0)∪(0,+∝)上光滑，在(0,+∝)嚴(yán)格遞減；

文獻(xiàn)[1]中給出如下引理：

引理B設(shè)(H1)-(H3)成立，u(t)∈C2([0,R(a)))是問(wèn)題(BQ)的經(jīng)典解，其中(0,R(a))是解的最大存在區(qū)間。則

(1)u(t)，u′(t)在(0,R(a))上嚴(yán)格遞減；

(7)R(a)≥G(a)。

1　引理B的一個(gè)完整證明

解的存在性和光滑性可由文獻(xiàn)[2]得到。

結(jié)論(1)的證明：

r0=R(a)的情形。顯然(1)獲證。

r0

不妨設(shè)r0>0是u′(t)從0開(kāi)始的第一個(gè)極小值點(diǎn)。則存在r1≤r0u(r2)，g(u(r1))≤g(u(r2))，f(u(r1))

產(chǎn)生矛盾。因此r0=R(a)，則在(0,R(a))上u″(t)≤0，且u′(t)在(0,R(a))上嚴(yán)格遞減。

結(jié)論(2)的證明：

結(jié)論(3)-結(jié)論(7)的證明同文獻(xiàn)[1]。

2　幾點(diǎn)說(shuō)明

文獻(xiàn)[1]中的證明有下面幾點(diǎn)疏漏：

(1)r0的選取未作說(shuō)明。事實(shí)上r0的選取應(yīng)依照u′(t)的最大性嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間長(zhǎng)度，由于文獻(xiàn)[1]中的疏漏，使得接下來(lái)的推理難以理解。

(2)即使把r0的選取理解為按u′(t)的最大性嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間長(zhǎng)度，文獻(xiàn)[1]中的r1

(3)對(duì)選取r1、r2目的及選取條件未作任何說(shuō)明，對(duì)反證法的結(jié)論未作任何解釋?zhuān)@使文章讀起來(lái)晦澀難懂。

還需要指出的是，這個(gè)問(wèn)題在文獻(xiàn)[1]中的作用是基礎(chǔ)性的，而且類(lèi)似形式的問(wèn)題在流體、特別是塑性流體的一些研究中起到一定的基礎(chǔ)作用(見(jiàn)文獻(xiàn)[3-12])，加之我們后面研究工作的需要，我們給出一個(gè)完整，順暢的證明是必要的。

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A Fully Proofs of Nature of Solutions for a Second Order Ordinary Differential Equation Initial Value Problem

ZHANG Da-peng1,XUE Wen2,ZHU Xiu-li1，XU Zhong-hai1,2

(1.Science College,Northeast Dianli University,Jilin Jilin 132012；2.Editorial Department,Northeast Dianli University,Jilin Jilin 132012)

In the Appendix B of [1],the classical solution properties of a class of second order ordinary differential equation initial value problems are researched,and gives the corresponding theoretical proofs.The author thinks that there are some omissions in the proofs.By the proof’s basic role in [1],this paper gives the corresponding complete proofs.

Second order ordinary differential equation;Initial value problem;Bounded

2016-04-12

吉林省自然科學(xué)基金(20150101002JC)

張大鵬(1983-)，男，吉林省吉林市人，東北電力大學(xué)理學(xué)院在讀碩士研究生，主要研究方向：數(shù)學(xué)應(yīng)用.

1005-2992(2016)04-0096-03

O175.1

A