姚婉若

最值問(wèn)題是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，也是中考命題的熱點(diǎn)，它是初中數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題出現(xiàn)的試題，內(nèi)容豐富，知識(shí)點(diǎn)多，涉及面廣，解法靈活多樣，且具有一定的難度.它主要是考查變量之間的變化規(guī)律，從而確定其最大值或最小值，一般分為代數(shù)最值問(wèn)題和幾何最值問(wèn)題.代數(shù)最值問(wèn)題是利用函數(shù)的性質(zhì)研究變量之間的變化規(guī)律，從而確定最值；幾何最值是利用幾何的基本性質(zhì)研究變量之間的變化規(guī)律，從而確定最值.

在平面幾何的動(dòng)態(tài)問(wèn)題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)時(shí)，求某幾何量（如線段的長(zhǎng)度、圖形的周長(zhǎng)或面積、角的度數(shù)及它們的和與差）的最大值或最小值問(wèn)題，被稱(chēng)為幾何最值問(wèn)題.解決平面幾何最值問(wèn)題的常用的方法有：（1）應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值；（2）應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值；（3）應(yīng)用軸對(duì)稱(chēng)、平移、折疊的性質(zhì)求最值；（4）應(yīng)用圓求最值；（5）應(yīng)用其他知識(shí)求最值.下面選取近年來(lái)幾道有關(guān)例題，依托例題分析，總結(jié)中考數(shù)學(xué)中關(guān)于幾何最值問(wèn)題的常見(jiàn)解題方法.

1.正方體（長(zhǎng)方體）、圓錐（圓柱）中的最值問(wèn)題：此類(lèi)問(wèn)題往往是將空間圖形沿棱或母線剪開(kāi)，轉(zhuǎn)化為平面圖形，再利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來(lái)找出最短的路線，從而求出最值.

例：如圖圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，一只螞蟻從底面圓周上的B出發(fā)沿圓錐側(cè)面爬到母線AB的軸截面上另一母線AC的中點(diǎn)D，問(wèn)螞蟻沿怎樣的路線爬行，使路程最短？最短路程是多少？

解：圓錐側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示∠BAD==60°

在Rt△ABD中，AD=Atan60°=答：螞蟻爬行的最短路程是.

2.運(yùn)用“三角形兩邊之和大于第三邊”求最值.

例：已知邊長(zhǎng)為α的等邊三角形ABC，兩頂點(diǎn)A、B分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸、y軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C在第一象限，連接OC，則OC的長(zhǎng)的最大值是？搖 ？搖.

解：取AB的中點(diǎn)D，連接OD、CD、OC，則OD=a，且CD⊥AB，∴CD=a，當(dāng)C，D，O三點(diǎn)共線時(shí)，

OC=OD+CD，否則OC

分析：本題求一條線段的最大值，關(guān)鍵是抓住斜邊長(zhǎng)度確定，斜邊上的中線長(zhǎng)也確定，利用三角形兩邊之和大于第三邊，尋找突破口從而求解.

3.運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)或平移，結(jié)合“三角形兩邊之和大于第三邊”求最值.

例：在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（3，2），B（1，5）.

（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，m），當(dāng)m=？搖 ？搖時(shí)，△PAB的周長(zhǎng)最短；

（2）若點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為（0，a）、（0，a+4），則當(dāng)a=？搖 ？搖時(shí)，四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短.

解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B與y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P的位置.

解：（2）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，則A′的坐標(biāo)為（-3，2），把A′向上平移4個(gè)單位得到點(diǎn)B′（-3，6），連接BB′，與y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)D的位置.

分析：?jiǎn)栴}（1）中AB長(zhǎng)度一定，只要AP+BP長(zhǎng)度最小，周長(zhǎng)就最小，△PAB周長(zhǎng)的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)為求一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和的最小值問(wèn)題，通過(guò)作對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的方法，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，兩條線段和最小.

問(wèn)題（2）要使四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小，注意到AB、DC的長(zhǎng)為定值，故只需AC+BD最小，用軸對(duì)稱(chēng)及平移方法設(shè)法將BD、AC集中到一條直線上解決問(wèn)題，此時(shí)AC+BD=B′D+BD=BB′最小.

4.折疊最值：折疊背景下的最值問(wèn)題，考查的是動(dòng)手操作能力和合情推理能力，方法是（1）在折疊中感受大小變化規(guī)律，（2）通過(guò)特殊位置求最值.

例：如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=3，BC=5，點(diǎn)E、F分別在線段AB、BC上，將△BEF沿EF折疊，點(diǎn)B落在B′處.如圖，當(dāng)B′在AD上時(shí)，B′D的取值范圍為？搖 ？搖.

分析：可以想象兩個(gè)極端情況：

①如圖1，當(dāng)F點(diǎn)無(wú)限接近C點(diǎn)，此時(shí)B′F=BC=5，CD=3，所以B′D=4，

這是B′D的最大值.

②如圖2，當(dāng)E點(diǎn)無(wú)限接近A點(diǎn)，此時(shí)B′E=B′A=AB=3，所以B′D=5-3=2.

這是B′D的最小值.

5.運(yùn)用“垂線段最短”求最值.

例：如圖，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ（點(diǎn)Q為切點(diǎn)），則切線PQ的最小值為？搖 ？搖.

分析：連接OQ、OP，可得PQ=OP-OQ，而OQ為定值，所以只需OP最短即可，運(yùn)用“垂線段最短”可知，當(dāng)OP⊥AB時(shí)，OP最短.

6.構(gòu)造圓求最值.

例：如圖，等腰直角三角形ABC，斜邊AC長(zhǎng)為4，D是斜邊AC的中點(diǎn)，直角∠FDE分別交AB、BC于E、F，則線段EF的最小值是？搖 ？搖.

分析：因?yàn)椤螰DE+∠ABC=180°，所以點(diǎn)B、F、D、E四點(diǎn)在以EF為直徑的圓上，在這個(gè)圓中，總有EF≥BD，所以它的最小值等于BD的長(zhǎng).

例：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（，0），B（3，0），C（0，5），點(diǎn)D在第一象限內(nèi)，且∠ADB=60°.線段CD的長(zhǎng)的最小值為？搖 ？搖.

分析：由∠ADB=60°得D在一個(gè)圓的圓周上運(yùn)動(dòng)，該圓為⊿ABD的外接圓，不妨先讓△ABD為等邊三角形，方便求出圓心P（21），連接CP交該圓于點(diǎn)D，且點(diǎn)D在點(diǎn)C、P之間，這時(shí)CD的長(zhǎng)最小.

7.線段差求最大值：可運(yùn)用“三角形兩邊之差小于第三邊”求最值.

例：已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標(biāo)系中，OC=3，BC=2，取AB的中點(diǎn)M，連接MC，把△MBC沿x軸的負(fù)方向平移OC的長(zhǎng)度后得到△DAO.試問(wèn)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)T，使得|TO-TB|的值最大？

分析：存在點(diǎn)T，使得|TO-TB|的值最大.∵點(diǎn)O、點(diǎn)E關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng)，∴TO=TE要使得|TO-TB|的值最大，即是使得|TE-TB|的值最大，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊可知，當(dāng)T、E、B三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，|TE-TB|的值最大.