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        一道課本復(fù)習(xí)題的解答與應(yīng)用

        2016-08-22 09:24:19趙正祥
        初中生世界 2016年7期
        關(guān)鍵詞:復(fù)習(xí)題旗桿仰角

        趙正祥

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        思維訓(xùn)練營/例題延展
        CHU ZHONG SHENG SHI JIE

        一道課本復(fù)習(xí)題的解答與應(yīng)用

        趙正祥

        蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級下冊第119頁復(fù)習(xí)題中“復(fù)習(xí)鞏固”第1題為:

        在Rt△ABC中,∠C=90°,

        (1)若∠A=45°,則BC∶AC∶AB=_______;

        (2)若∠A=30°,則BC∶AC∶AB=_______.

        【啟迪】根據(jù)這道課本習(xí)題,我們可以得出如下結(jié)論:如圖1,在等腰直角三角形中,兩直角邊與斜邊的比為1∶1;如圖2,含有30°角的直角三角形中,30°角所對的直角邊與相鄰的直角邊以及斜邊的比為1∶∶2.應(yīng)用這兩個(gè)特殊直角三角形的三邊之間的數(shù)量關(guān)系,可以幫助我們在解決含有30°、45°和60°角的直角三角形問題時(shí),直接揭示其三邊之間的數(shù)量關(guān)系,使問題的解答簡捷、迅速、靈活、明快.

        圖1

        圖2

        應(yīng)用一 解直角三角形中的應(yīng)用

        例1如圖3,在△ABC中,∠B= 45°,∠C=30°,BC= 2+,求AC的長.

        圖3

        【分析】根據(jù)條件,可以確定△ABC不是直角三角形,我們不妨過點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足為D,將∠B、∠C分別放置到兩個(gè)直角三角形中,并應(yīng)用邊與邊之間的數(shù)量關(guān)系建立方程進(jìn)行求解.

        解:過點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足為D.

        在Rt△ABD中,∠ADB=90°,∠B=45°,

        ∴AD∶BD=1∶1.

        在Rt△ACD中,∠ADC=90°,∠C=30°,

        ∴AC=2x=4.

        【點(diǎn)評】在解答這類非直角三角形的問題時(shí),常作出一邊上的高,將三角形看成兩個(gè)直角三角形,并把其中公共的直角邊作為橋梁建立等量關(guān)系,從而列出方程或方程組解決問題.

        例2如圖4,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D,AD=6,求AB的長.

        圖4

        【分析】由條件可以知道圖形中隱含著兩個(gè)直角三角形,且都含有30°角,因而這兩個(gè)直角三角形的三邊都具有1∶∶2的數(shù)量關(guān)系,且BC是這兩個(gè)直角三角形的公共邊,具有橋梁作用.

        解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC= 60°,BD平分∠ABC,

        在Rt△BCD中,∠BCD=90°,∠DBC=30°,

        在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,

        ∵AD=AC-CD=3x-x,AD=6,

        ∴3x-x=6,解得x=3.

        【點(diǎn)評】本題巧妙地根據(jù)含有內(nèi)角為30°的直角三角形所隱含的邊之間的數(shù)量關(guān)系建立方程,從而求得相應(yīng)的線段長.

        應(yīng)用二 解決實(shí)際問題中的應(yīng)用

        例3小敏同學(xué)測量一建筑物CD的高度,她站在B處仰望樓頂C,測得仰角為30°,再往建筑物方向走30 m,到達(dá)點(diǎn)F處測得樓頂C的仰角為45°(B、F、D在同一直線上).已知小敏的眼睛與地面距離為1.5 m,求這棟建筑物CD的高度.

        圖5

        【分析】延長AE交CD于點(diǎn)G,設(shè)CG=x m,在Rt△CGE中利用特殊角,用x表示出EG,然后在Rt△ACG中,利用特殊角,用x表示出AG,根據(jù)AE=AG-EG,即可列方程求得x的值,進(jìn)而求得CD的長.

        解:延長AE交CD于點(diǎn)G,設(shè)CG=x m.

        在Rt△CGE中,∠CGE=90°,∠CEG= 45°,則EG=CG=x.

        在Rt△ACG中,∠CGA=90°,∠CAG=30°,則AG=

        ∵AG-EG=AE,AE=30,

        則CD=40.98+1.5=42.48≈42(m).

        答:這棟建筑物CD的高度約為42 m.

        【點(diǎn)評】利用三角函數(shù)解決具體問題,常常需要把該銳角放到一個(gè)直角三角形中來求出相關(guān)線段的長度.

        例4如圖6所示,體育場內(nèi)一看臺(tái)與地面所成夾角為30°,看臺(tái)最高點(diǎn)B高出地面的距離為5米,A,B兩點(diǎn)正前方有垂直于地面的旗桿DE,在A,B兩點(diǎn)處用儀器測量旗桿頂端E的仰角分別為60°和15°(仰角即視線與水平線的夾角).

        (1)求AE的長;

        (2)已知旗桿上有一面旗在離地面1米的F點(diǎn)處,這面旗以0.5米/秒的速度勻速上升,求這面旗到達(dá)旗桿頂端需要多少秒?

        圖6

        【分析】(1)在Rt△ABC中,根據(jù)∠BAC= 30°和最高點(diǎn)B高出地面的距離,可以求得AB的長,再由題意知BG∥CD,根據(jù)A,B兩點(diǎn)處的仰角,即可證明△ABE是等腰三角形,求出AE的長.

        (2)在Rt△ADE中,利用∠EAD=60°揭示DE與AE之間的數(shù)量關(guān)系求出DE的長,然后求出旗子到達(dá)頂端需要運(yùn)動(dòng)的路程,再利用“時(shí)間=路程÷速度”求出時(shí)間.

        解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,

        ∵BG∥CD,∴∠GBA=∠BAC=30°.

        又∵∠GBE=15°,∴∠ABE=45°.

        ∵∠EAD=60°,∴∠BAE=90°,

        ∴∠AEB=45°,∴∠AEB=∠ABE=45°,

        (2)在Rt△ADE中,∠D=90°,∠EAD= 60°,∴DE∶AE=,

        ∴DE=15.

        又DF=1,∴FE=14,

        答:旗子到達(dá)旗桿頂端需要28秒.

        【點(diǎn)評】解決本題需能夠靈活應(yīng)用圖形中的角度挖掘隱含的直角三角形,利用特殊角揭示的邊與邊之間的數(shù)量關(guān)系解決問題.

        (作者單位:江蘇省建湖縣匯文實(shí)驗(yàn)初中教育集團(tuán)匯文校區(qū))

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