嚴(yán)冬梅

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熱點聚焦：特殊四邊形與圖形變換考題

嚴(yán)冬梅

【編者按】本篇之前，我們已刊發(fā)一篇平行四邊形與翻折的輔導(dǎo)文章，然而初中階段的另外兩種變換，即平移、旋轉(zhuǎn)，也常常以特殊四邊形為載體設(shè)計考題，這里我們再選用一篇文章介紹特殊四邊形與平移、旋轉(zhuǎn)變換相結(jié)合的考題，希望啟發(fā)同學(xué)們對這類考題的思考.

初中階段主要學(xué)習(xí)了三種圖形變換（平移、翻折、旋轉(zhuǎn)），這三種變形在中考卷中都會考查，而且常常與特殊四邊形結(jié)合在一起進(jìn)行考查.下面圍繞特殊四邊形與平移、旋轉(zhuǎn)兩種變換的綜合考查做些輔導(dǎo)講解.

例1（2015·鎮(zhèn)江）如圖1，△ABC和△DBC是兩個具有公共邊的全等三角形，AB=AC=3 cm，BC=2 cm，將△DBC沿射線BC平移一定的距離得到△D1B1C1，連接AC1，BD1.如果四邊形ABD1C1是矩形，那么平移的距離為_______cm.

圖1

【思路講解】如圖2，過點A作AE⊥BC于點E，

圖2

∵∠AEB=∠AEC1=90°，

∴∠BAE+∠ABC=90°.

∵四邊形ABD1C1是矩形，∴∠BAC1=90°，∴∠ABC+∠AC1B=90°，

∴∠BAE=∠AC1B，

∴CC1=BC1-BC=9-2=7，即平移的距離為7 cm.

【反思回顧】從上面的思路來看，破題的關(guān)鍵點至少有三處：第一利用等腰三角形三線合一性質(zhì)作出輔助線；第二，在草稿本上畫出相對精準(zhǔn)平移后的圖形；第三，利用所得矩形的性質(zhì)捕捉和利用相似三角形性質(zhì)解題.當(dāng)然，在圖2中，“△ABE∽△C1BA”是經(jīng)典的“射影定理”基本圖形，同學(xué)們應(yīng)該積累這樣的常見模式，看到這種圖形，還應(yīng)該很快得出“比例中項”的式子：AB2=BE· BC1.熟悉這些模式，對于提高填空、選擇題的解題效率無疑是很有作用的.

例2（2015·連云港，有刪減）在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動，將邊長為2的正方形ABCD與邊長為2的正方形AEFG按圖3位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上.

（1）小明發(fā)現(xiàn)DG⊥BE，請你幫他說明理由.

基于數(shù)據(jù)挖掘探討含“桔梗-甘草”藥對成方制劑的證治規(guī)律…………………………………………………… 呂建軍等（20）：2813

（2）如圖4，小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點B恰好落在線段DG上時，請你幫他求出此時BE的長.

圖3

圖4

【思路講解】

（1）由四邊形ABCD與四邊形AEFG為正方形，利用正方形的性質(zhì)得到△ADG和△ABE的兩對邊相等，且夾角相等，利用SAS得到△ADG≌△ABE，利用全等三角形對應(yīng)角相等得∠AGD=∠AEB，作輔助線“延長EB交DG于點H”，利用等角的余角相等得到∠DHE=90°，再由垂直的定義即可得DG⊥BE.

（2）由四邊形ABCD與四邊形AEFG為正方形，利用正方形的性質(zhì)得到△ADG和△ABE兩對邊相等，且夾角相等，利用SAS得到△ADG≌△ABE，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到DG=BE，作輔助線“過點A作AM⊥DG 交DG于點M”，則∠AMD=∠AMG=90°，在Rt △AMD中，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AM的長，即為DM的長，根據(jù)勾股定理求出GM的長，進(jìn)而確定出DG的長，即為BE的長.

【規(guī)范解答】

（1）∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都為正方形，∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE，

∴△ADG≌△ABE（SAS），

∴∠AGD=∠AEB.

圖5

延長EB交DG于點H，如圖5，

∴∠AEB+∠ADG=90°.

在△EDH中，∵∠AEB+∠ADG+∠DHE= 180°，

∴∠DHE=90°，∴DG⊥BE.

（2）∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都為正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠GAE=90°，AG=AE，

∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG，即∠DAG=∠BAE，

∴△ADG≌△ABE（SAS），∴DG=BE.

圖6

過點A作AM⊥DG交DG于點M，如圖6，則∠AMD=∠AMG=90°，

∵BD為正方形ABCD的對角線，

∴∠MDA=45°.

在Rt△AMD中，∵∠MDA=45°，AD=2，

在Rt△AMG中，根據(jù)勾股定理得：

【反思回顧】第（2）問有一定的難度，但可以由（1）中的經(jīng)驗確認(rèn)DG=BE，注意體會這里的轉(zhuǎn)化思想.接下來重點突破DG的長，求解時體現(xiàn)了“化整為零”“逐個突破”（比如利用DG=DM+GM=的策略.

（作者單位：江蘇省如東縣岔河中學(xué)）